24.2圆的基本性质（3） 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
沪科版 九年级下册
24.2圆的基本性质(3)
教学目标： 1．理解圆的轴对称性，会运用垂径定理解决有关的 　 证明、计算和作图问题； 2．感受类比、转化、数形结合、方程等数学思想和 　 方法，在实验、观察、猜想、抽象、概括、推理 　 的过程中发展逻辑思维能力和识图能力．
教学重点： 垂径定理及其推论．
课件说明
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧
CD⊥AB，
∴ AE=BE，
∵ CD是直径，
AC
BC
=
AD
BD
=
O
D
C
A
B
E
复习旧知
O
O
O
O
垂径定理的几个基本图形：
CD过圆心
CD⊥AB于E
AE=BE
A
B
A
B
C
D
E
E
C
A
B
E
A
B
C
E
AD
BD
=
AC
BC
=
C
D
定理 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
O
A
B
O
A
B
C
D
CD⊥AB
AC
BC
=
AD
BD
=
E
AE=BE
·
D
A
C
B
O
E
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论一定正确的个数有 ( ).
①CE=DE；②BE=OE；③ CB=BD ；
④∠CAB=∠DAB；⑤AC=AD.
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
︵
︵
A
2．如图，AB，AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别是点M，N，如果MN=3，那么BC= .
●
O
M
N
C
B
A
6
∵ ON⊥AC，
∴ AM=BM.
∵ OM⊥AB，
∴ AN=CN.
∴ BC=2MN
　　例3 赵州桥建于1 400 年前的隋朝，是我国石拱桥的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形，桥的跨度(弧所对的弦长)是 37 .4m，拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.2 m，求赵州桥桥拱所在圆的半径.(精确到 0.1 m)．
A
B
O
解：如图，用弧AB表示主桥拱，
设弧AB所在的圆的圆心为O，半径为R.
R
37.4m
7.2m
A
B
O
C
D
解：如图，用弧AB表示主桥拱，设弧AB所在的圆的圆心为O，半径为R.
A
B
O
C
D
解：如图，用弧AB表示主桥拱，设弧AB所在的圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC,垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.
∴ AB=37.4m，CD=7.2m.
∴ AD= AB=18.7m，
∵OA2 =AD2＋OD2
OD=OC－CD=R－7.2.
∴R2 =18.72＋(R－7.2)2
1
2
∵OA2 =AD2＋OD2
∴R2 =18.72＋(R－7.2)2
∴R2 =349.69＋R2－14.4R ＋51.84.
∴14.4R =401.53
∴ R ≈ 27.9.
(18＋0.7)2
18.72=
=182＋2×18×0.7 ＋0.72
=324＋25.2 ＋0.49
=349.69
(7＋0.2)2
7.22=
=72＋2×7×0.2 ＋0.22
=49＋2.8 ＋0.04
=51.84
A
B
O
C
D
解：如图，用弧AB表示主桥拱，设弧AB所在的圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC,垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.
∴ AB=37.4m，CD=7.2m.
∴ AD= AB=18.7m，
∵OA2 =AD2＋OD2
OD=OC－CD=R－7.2.
∴R2 =18.72＋(R－7.2)2
1
2
∴ R ≈ 27.9.
答：赵州桥桥拱所在圆的半径约为27.9m.
关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线.
弦心距、半径、半弦构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题.
A
B
O
C
D
B
A
O
C
1.某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB=16m，半径OA=10m，则中间柱CD
的高度为 m.
4
练习巩固
　　 2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆弦 AB 交小圆于 C，D两点，求证： AC = BD .
D
O
C
A
B
证明：
过点O作OE⊥AB于E，
E
∴AE=BE ，
CE=DE .
∴AE－CE=BE－DE ，
∴AC=BD .
　　 变式1
　 如图，连接 OA，OB，设 AO=BO，
求证:AC=BD．
D
O
C
A
B
过点O作OE⊥AB于E，
则有：
∴CE=DE ，
E
∵AO=BO，
OE⊥AB，
∴AE=BE ，
∴AE－CE=BE－DE ，
∴AC=BD .
证明：
　　变式2
　　连接 OC，OD，设 OC=OD，求证:AC=BD．
D
O
C
A
B
E
过点O作OE⊥AB于E，
则有：
∴AE=BE ，
∵OC=OD，
OE⊥CD，
∴CE=DE ，
∴AE－CE=BE－DE ，
∴AC=BD .
证明：
3．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE是正方形．
D
·
O
A
B
C
E
证明：
∴四边形ADOE为矩形，
AC=AB，
∴ AE=AD，
∴ 四边形ADOE为正方形.
∴ ∠OEA=90°，
∠ODA=90°，
∠DAE=90°，
∵ OE⊥AC，
OD⊥AB，
AB⊥AC，
∵AE= AC，
1
2
AD= AB，
1
2
1.垂径定理的内容是什么？
2.用垂径定理解决有关证明、计算问题的思路是什么？
①构造直角三角形，垂径定理和勾股定理有机结合是计算弦长、半径和弦心距等问题的方法．
②技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线．
　（由）垂径定理—构造直角三角形—
（结合）勾股定理—建立方程．
课堂小结
1.如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H. 已知sin∠CDB = ，BD= 5 ，则AH的长是( ).
A. B. C. D.
巩固提高
3
5
O
H
B
C
D
A
3
25
3
16
6
25
6
16
B
2.如图，AB是⊙O的弦，OC ⊥ AB，垂足为点C. 将AB沿弦AB折叠交于OC的中点D，若AB ，则的半径为 .
100
=2
10
3.某居民区一处圆形下水管道破裂，维修人员准备更换一段新管道.如图，污水水面宽度AB为60 cm，水面到管道顶部距离为10 cm.求修理人员应准备内径为 厘米的管道(内径指内部直径).
O
B
C
D
A
O
B
A
3
2
C
︵
今天作业
课本P26页第8题
课本P25页第5题
谢谢
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