函数的零点问题
1、函数的零点所在区间为( )
B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可知，的定义域为，
令，则，由在上单调递减，
在定义域内单调递增，所以在单调递减.
所以函数在上单调递减.
所以
，
故，由零点存在性定理，可得函数的零点所在区间为.
2、函数的零点所在区间为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数，
函数在上单调递减，
，
，
故，∴函数的零点所在区间为，
3、函数的零点所在区间是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由函数，显然函数在为减函数，
又，，，.
4、函数的零点为，则不等式的最小整数解为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】的定义域为，且易知在上单调递增，
又，，可知，
关于的不等式，可转化为，故不等式的最小整数解为6
5、二次函数的部分对应值如下表：
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
6 -4 -6 -6 -4 6
可以判断方程的两根所在的区间是( )
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】A
【解析】由表格可知：，
所以，
结合零点存在性定理可知：二次函数的零点所在区间为和
所以方程的两根所在的区间是和，
6、函数的零点个数是( ).
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题意，函数，
当时，令，解得或(舍去)；
当时，令，即，解得，所以函数有2个零点.
7、已知函数，在下列说法中正确的是( )
A．是函数的一个零点 B．函数只有两个零点
C．函数在上至少有一个零点 D．函数在上没有零点
【答案】C
【解析】对于A选项，函数的零点不是坐标，故错误；
令得，即函数有三个零点，故B选项错误；
对于C、D选项，，故函数在上至少有一个零点，故C正确，D错误；
8、已知函数，若关于的方程有7个不等的实数根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设，则原方程即或
函数的图像如图所示：
方程有7个不等的实数根，
则方程必有两根(若只有一根，则最多只有4个不同实根)为、，
且其中一个根为1，不妨设，即与图象有3个交点，方程有4个根
由图知，，即.
9、(多选)已知函数，下列说法中正确的有( )
A．
B．函数单调减区间为
C．若，则的取值范围是
D．若方程有三个解，则的取值范围是
【答案】ACD
【详解】，A正确；
画出函数的图像，如图所示：
根据图像知函数单调减区间为和，B错误；
当时，，解得；
当时，，解得，故，C正确；
，方程有三个解，根据图像知，，D正确.
10、(多选)已知函数有两个零点，则( )
A． B．且
C．若，则 D．函数有四个零点或两个零点
【答案】AC
【详解】由有两个零点可知：，故，故A正确
由韦达定理可得：，，由于，故可正可负可为0，因此无法判断，的正负，故B错误；
时，则，故C正确，
，比如当时，令，可得,此时有3个零点，故D错误，故选：AC
11、(多选)已知定义域为R的函数，及关于x的方程，则下列说法正确的是( )
A．当时，若方程有且仅有3个不同解，则
B．当时，若方程有且仅有3个不同解，则
C．当时，方程最多有4个不同解，当k>0时，方程最多有5个不同解
D．当时，若方程有且仅有5个不同解，则实数b的取值范围是
【答案】AC
【详解】当时，，则关于直线对称
当时，，其图象如图：
当时，，其图象如图：
对于A，由方程有且仅有3个不同解，可得为其中的一个解，则，，故A正确；
对于B，由方程有且仅有3个不同解，则有两个值，
由，结合图象，则其中一个为，另外一个小于零，有，但另一根不一定是-1，故B错误；
对于C，由图象，当时，若存在两个不相等且小于零的值满足方程，则方程有四个根；
当时，当存在一个不为且大于零的值与1满足方程时，方程有个根，故C正确；
对于D，若方程有个不同的根，则且有两个不相等的值，其中一个为满足方程，
等价于方程有两个不相等且大于零的根，其中一个为，则，
将，代入，则，
由两个根大于零，则，故，故D错误.
12、已知函数，则函数的零点个数为__________.
【答案】2
【解析】解方程，当时，，而，于是得，即，
当时，，解得，所以函数的零点个数为2.
13、已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，则函数的零点个数是___________.
【答案】4
【解析】因为当时，，故在上的零点为，
因为为偶函数，故在上的零点的个数为4，故答案为：4.
14、函数的零点的个数
【答案】3
【解析】由题意，
即函数的零点的个数即为的交点的个数，在同一直角坐标系中画出两个函数图像
数形结合可知，两个函数有3个交点，故函数的零点的个数是3
15、在平面直角坐标系中，对于函数的图像上不重合的两点A、B，若A与B关于原点对称，则称点对是函数的一组“奇点对”(规定与是相同的“奇点对”)．函数的“奇点对”的组数是
【答案】2
【解析】由题可知，当时，关于原点对称的图象为，
即，当时，，令，即，
则，所以和在范围内有两个交点，
故函数的“奇点对”的组数是2.
16、若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】函数的对称轴为，
则要使函数在区间上有零点，
需满足，解得.
17、若函数在上有两个不同的零点，则的取值范围是
【答案】
【解析】函数在上有两个不同的零点等价于方程在上有两个不同的解，即在上有两个不同的解.
此问题等价于与有两个不同的交点.
由下图可得.
18、已知.
(1)若，，求方程的解；
(2)若关于的方程在上有两解，.
①求的取值范围； ②证明：.
【答案】(1)； (2)①；②证明见解析
【详解】(1)当时，，
当时，方程化为，解得，因为舍去，所以；
(2)，
因为方程在上至多有1个实根(，另一根在上)，
方程，在上至多有一个实根，
结合已知，可得方程在上的两个解，中的1个在，1个在，
不妨设，，设，
数形结合可分析出，解得，
可得，，，，
令，，在上递增，当时，，
因为，所以
19、已知，为常数，函数．
(1)当时，求关于的不等式的解集；
(2)对于给定的，，且，，证明：关于的方程在区间内有一个实根；
(3)若为偶函数，且，设，若对任意，均成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析；
(3)或.
【详解】（1）
当时，；
当时，；
当时，，
综上，当时，；当时，；当时，.
（2）设，
则，
，．
因为，所以，
又函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，由零点的判定定理可得：在内有一个实数根，
故关于的方程在区间内有一个实根得证.
（3）由题意得，，，则
因为对任意恒成立，
即对恒成立，
则，即对恒成立，
令，则，，该二次函数开口向下，对称轴为，
所以当时，，故，或.
20、已知函数有两个不同的零点．
(1)求实数m的取值范围；
(2)甲同学在探究“若恰有一个在区间内，求实数的取值范围”这一问题时，经过分类讨论研究后甲同学给出了如下解答：
由，解得.
据此他得出实数的取值范围为．请你评判甲同学的解答完整吗？
如果不够完整．请你补充甲同学遗漏的情况，并给出满足题意的实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)甲同学解答不完整，满足题意的.
【详解】（1）由题设，，可得.
（2）甲同学解答不完整，补充如下：
由恰有一个在区间内，
所以（不能同时为0），
解得，经检验或满足题意，
所以.
21、设函数，（，）.
(1)若函数有且只有一个零点，求实数a值及相应的零点；
(2)当a＝1时，若，总，使得成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）函数有且只有一个零点，
所以方程有且仅有一个根，
当时，，即，满足题设；
当时，，即，此时，满足题设；
综上，时，零点为2；，零点为4.
（2）因为对任意的，总，使得成立，
所以的值域是的值域的子集，
可得时， 在上单调递增，且，
所以的值域为.
当时，在上单调递增，故，即，
所以可得 解得；
当时，，不满足题意；
当时，在上单调递减，故，即，
所以可得，解得；
综上，m的取值范围为.
22、已知函数，．
(1)若函数在上单调，求实数a的取值范围；
(2)用表示m，n中的最小值，设函数，试讨论函数的图象与函数的图象的交点个数．
【答案】(1)
(2)答案详见解析.
【详解】（1）的对称轴为，若函数在上单调，则或，
解得或，所以的取值范围是.
（2），
当时，，故此时，
即函数的图象与函数的图象没有交点.
下面只考虑的情形：
当时，由，解得，
的对称轴为，
①当时，在上递增，，
在上递减，，当时，，
故存在，使，所以，所以有唯一零点.
②当时，若，解得，则，所以有唯一零点.
③当时，若，解得，
，令解得，
画出此时的图象如下图所示，由图可知，有个零点（和）.
④当时，若，解得，
（i）若，，，则存在，使，
画出此时的大致图象如下图所示，由图可知，有个零点.
（ii）若，，,
令解得或，
画出此时的大致图象如下图所示，由图可知，有个零点.
（iii）若，，，
此时在区间上有个零点，
画出此时的大致图象如下图所示，由图可知，有个零点.
综上所述，或时，有个零点，
或时，有个零点，
当时，有个零点.函数的零点问题
1、函数的零点所在区间为( )
B． C． D．
2、函数的零点所在区间为( )
A． B． C． D．
3、函数的零点所在区间是( )
A． B． C． D．
4、函数的零点为，则不等式的最小整数解为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
5、二次函数的部分对应值如下表：
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
6 -4 -6 -6 -4 6
可以判断方程的两根所在的区间是( )
A．和 B．和 C．和 D．和
6、函数的零点个数是( ).
A．1 B．2 C．3 D．4
7、已知函数，在下列说法中正确的是( )
A．是函数的一个零点 B．函数只有两个零点
C．函数在上至少有一个零点 D．函数在上没有零点
8、已知函数，若关于的方程有7个不等的实数根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
9、(多选)已知函数，下列说法中正确的有( )
A．
B．函数单调减区间为
C．若，则的取值范围是
D．若方程有三个解，则的取值范围是
10、(多选)已知函数有两个零点，则( )
A． B．且
C．若，则 D．函数有四个零点或两个零点
11、(多选)已知定义域为R的函数，及关于x的方程，则下列说法正确的是( )
A．当时，若方程有且仅有3个不同解，则
B．当时，若方程有且仅有3个不同解，则
C．当时，方程最多有4个不同解，当k>0时，方程最多有5个不同解
D．当时，若方程有且仅有5个不同解，则实数b的取值范围是
12、已知函数，则函数的零点个数为__________.
13、已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，则函数的零点个数是___________.
14、函数的零点的个数
15、在平面直角坐标系中，对于函数的图像上不重合的两点A、B，若A与B关于原点对称，则称点对是函数的一组“奇点对”(规定与是相同的“奇点对”)．函数的“奇点对”的组数是
16、若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是__________.
17、若函数在上有两个不同的零点，则的取值范围是
18、已知.
(1)若，，求方程的解；
(2)若关于的方程在上有两解，.
①求的取值范围； ②证明：.
19、已知，为常数，函数．
(1)当时，求关于的不等式的解集；
(2)对于给定的，，且，，证明：关于的方程在区间内有一个实根；
(3)若为偶函数，且，设，若对任意，均成立，求实数的取值范围．
20、已知函数有两个不同的零点．
(1)求实数m的取值范围；
(2)甲同学在探究“若恰有一个在区间内，求实数的取值范围”这一问题时，经过分类讨论研究后甲同学给出了如下解答：
由，解得.
据此他得出实数的取值范围为．请你评判甲同学的解答完整吗？
如果不够完整．请你补充甲同学遗漏的情况，并给出满足题意的实数的取值范围．
21、设函数，（，）.
(1)若函数有且只有一个零点，求实数a值及相应的零点；
(2)当a＝1时，若，总，使得成立，求实数m的取值范围.
22、已知函数，．
(1)若函数在上单调，求实数a的取值范围；
(2)用表示m，n中的最小值，设函数，试讨论函数的图象与函数的图象的交点个数．
