函数的性质
一、单调性
1、定义在上的奇函数，在上单调递增，且，则满足的的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】除了需判断范围外，还需判断在0的左边哈范围，需根据单调性求范围
函数是定义在上的奇函数，在区间上单调递增，且(1)，
可得，，在递增，在递增
若时，成立；
若，则成立；
若，即，可得(1)，即有，可得；
若，则，，可得，解得；
若，则，，可得，解得．
综上可得，的取值范围是．
2、若函数满足对任意，都有成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】∵对任意，都有成立，
∴与同号，根据函数单调性的定义，可知在R上是单调递增函数，
∴当时为增函数，则 ，即a＜3，①
且当时，有最小值 ；
当时为二次函数，图象开口向下，对称轴为，
若在(-∞，2)上为增函数，且< ；
又由题意，函数在定义域R上单调递增，
则，，解得 ；②
综合①②可得a的取值范围： ，
3、(多选)定义在上的函数满足，当时，，则满足( )
A． B．是偶函数
C．在上有最大值 D．的解集为
【答案】CD
【解析】∵定义在R上的函数满足，
令得：，解得：，
令得：= 0，故，即是奇函数，B错误；
任取，，且，则令，，代入得：，
因为当时，，而，所以，
故，即，从而在R上单调递减，
所以，A错误；
所以函数在上有最大值为，C正确；
由， 在R上单调递减，故，解得
故的解集为，D正确.
4、已知函数对任意的m，都有，且时，．
(1)求的值：
(2)证明在R上为增函数；
(3)设，若在上的最小值和最大值分别为a，b，且，证明：．
【解析】(1)令，则，所以；
(2)令，，且，则，所以，
故，所以在R上是增函数；
(3)因为在上为增函数，所以在上为增函数，
故，，
所以，
因为，，所以，
又因为，所以上述等号不成立，故．
5、已知函数的定义域是，对定义域的任意都有，且当时，，；
(1)求证：；
(2)试判断在的单调性并用定义证明你的结论；
(3)解不等式
【解析】(1)令，得，解得
再令，则，所以
(2)在上为增函数，证明如下：
设，则，因为时，
所以
由(1)知，所以
所以在上为增函数.
(3)因为，
所以，得，
又因为，所以，
所以
由上可知，是定义在上为增函数
所以，原不等式，解得，即原不等式的解集为.
6、已知函数，，实数，满足，则的最大值为______.
【答案】
【解析】∵函数，，实数，满足，
∴，可得，，，又，
∴，则，，
所以当时，，即，时，取得最大值.
7、为了加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室的后背靠墙，无需建造费用，公司甲给出的报价为：应急室正面的报价为每平方米400元，左右两侧报价为每平方米300元，屋顶和地面报价共计9600元，设应急室的左右两侧的长度均为x米()，公司甲的整体报价为y元．
(1)试求y关于x的函数解析式；
(2)现有公司乙也要参与此应急室建造的竞标，其给出的整体报价为元，若采用最低价中标规则，哪家公司能竞标成功？请说明理由．
【解析】(1)因应急室的左右两侧的长度均为x米，则应急室正面的长度为米，
于是得，，
所以y关于x的函数解析式是.
(2)由(1)知，对于公司甲，
当且仅当，时取“=”，则当左右两侧墙长度为4米时，公司甲最低报价为28800元，
对于乙，函数在上单调递增
，即乙公司最高报价为22900元，
因，因此，无论x取何值，公司甲的报价都比公司乙的高，
所以公司乙能竞标成功.
8、设函数若存在最小值，a的取值范围___________.
【答案】
【解析】若时，，∴；
若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求；
若时，
当时，单调递减，，
当时，
∴或，解得，
综上可得；
9、设函数．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)当时，不等式对一切恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】(1)由题意得，当时，不等式化为，即，
令，则方程的根为．
①当时，不等式不成立，∴解集为．
②当时，，∴不等式的解集为．
③当时，，∴不等式的解集为．
综上，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为；
(2)当时，对一切恒成立，
即在上恒成立，
即在上恒成立，即．
又(当且仅当即时，取“=”)．∴．
二、奇偶性
10、若函数是偶函数，函数是奇函数，则( )
A．函数是奇函数 B．函数是偶函数
C．函数是偶函数 D．函数是奇函数
【答案】C
【解析】因为函数是偶函数，函数是奇函数，所以、，
对于A：令，则，故是非奇非偶函数，故A错误；
对于B：令，则，故为奇函数，故B错误；
对于C：令，则，故为偶函数，故C正确；
对于D：令，则，故为偶函数，故D错误；
11、已知函数的定义域为，在上为增函数，且对任意的，都有．
(1)试判断的奇偶性；
(2)若，求实数的取值范围．
【解析】(1)因为函数的定义域为，
令，得．令，得，
即，所以函数为奇函数．
(2)由(1)知函数为奇函数，又知函数的定义域为，在上为增函数
所以函数在上为增函数
因为，即，
所以，解得，所以实数的取值范围为．
12、定义在上的函数是单调函数，满足，且，.
(1)求，；
(2)判断的奇偶性，并证明；
(3)在下列两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答.
①②若_____________，，求实数的取值范围.
【解析】(1)取，得，即，∴，
取x=1，y=2，得，又
故，可得；
(2)∵函数是定义在上的函数，定义域关于原点对称，取，得
，移项得，∴函数是奇函数；
(3)选①：∵是奇函数，且在上恒成立
∴在上恒成立，
又，是单调函数，∴在R上是增函数
∴在上恒成立，∴在上恒成立
令. 由于，∴. ∴，∴.
选②：是奇函数，且在上有解，
∴在上有解
又，∴在R上是增函数
∴在上有解，即在上有解，
令. 由于，∴.∴，∴.
13、已知，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则______.
【答案】2
【解析】因为，所以取x=-1，有，
因为，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，
所以，
因此由，
14、已知是定义在R上的奇函数，当时，，则当时，______．
【解析】时，，是奇函数，
此时
故答案为：
15、已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，则单调递减的区间是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当时，函数，
根据二次函数的图形与性质，可得单调递减的区间是，
又因为函数为定义域上的奇函数，其图象关于原点对称，
所以当时，函数单调递减的区间是，
综上可得，函数单调递减的区间是.
16、若函数是上的偶函数，则的值为______.
【答案】
【解析】函数是定义在上的偶函数，
，即．
，
，，
∴
17、若函数是定义在上的偶函数，( )
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】C
【解析】因为偶函数的定义域关于原点对称，则，解得.又偶函数不含奇次项，
所以，即，所以，所以
18、已知函数为奇函数.
(1)求的值；
(2)判断并证明在的单调性.
【解析】(1)因为是奇函数，所以
因为，所以是奇函数，因此；
(2)在上单调递增，在上单调递减，证明如下：
设是上的任意两个实数，且，
，
当时，，
所以在上单调递增，
当时，，
所以在上单调递减.
19、已知函数与的函数图象如图所示，则函数的图象可能是( )
A B C D
【答案】D
【解析】由图知，的定义域为，
令时，或，
由为奇函数，为偶函数，
所以为奇函数，关于原点对称，
对A，B：当时，，，所以，故A，B错误；
对C：由分析知，是奇函数，关于原点对称，故C错误；
对D：由图知，当时，，，，
当时，，，，
结合奇函数的对称性可得时的图象，故D正确；
20、已知函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为______．
【答案】1
【解析】，
令，则，
∴函数在上为奇函数，则，
即，∴，
∴
21、设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为______.
【答案】1
【解析】由题意知，()，
设，则，
因为，
所以为奇函数，
在区间上的最大值与最小值的和为0，
故，
所以
22、(多选)已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则( )
A．的最小值为 B．在上单调递减
C．的解集为 D．存在实数满足
【答案】ACD．
【解析】函数是定义在上的偶函数，当时，，
设，则，所以，因为是偶函数，所以，
所以，所以，
函数图象如下所示：
可得在，-1时取得最小值，故在上取得最小值，故A正确；
在上单调递减，在上单调递增，故B错误；
由或，得或，综上的解集为，故C正确；
由，，即存在实数满足，故D正确；
23、(多选)已知函数是定义在上的奇函数，当时，单调递减，则( )
A． B．当时，单调递减
C．当时， D．，
【答案】ABD
【解析】因为函数是定义在上的奇函数，所以，则，所以，故A正确．
因为当时，单调递减，所以当时，单调递减，所以，故B正确，C错误；
当时，，所以，，D正确．
24、(多选)已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，；③. 则下列选项成立的是( )
A． B．若，则
C．若，则 D．，，使得
【答案】ACD
【解析】由，得：函数是R上的偶函数，
由，，得：在上单调递增，
对于A，，A正确；
对于B，，又函数的图象是连续不断的，
则有，解得，B不正确；
对于C，由及得，，解得或，
由得：，解得，
化为：或，解得或，即，C正确；
对于D，因上的偶函数的图象连续不断，且在上单调递增，
因此，，，取实数，使得，则，，D正确.
三、周期性
25、已知是定义在上的函数，满足.
(1)若，求；
(2)求证：的周期为4；
(3)当时，，求在时的解析式.
【解析】(1)∵，∴.
(2)∵对任意的，满足
∴，
∴函数是以4为周期的周期函数.
(3)设，则，
∵当时，，∴当时，，
又∵，∴，∴
26、设函数的定义域为，则函数与函数的图象关于( )
A．直线对称 B．直线对称
C．直线对称 D．直线对称
【答案】D
【解析】法一：设函数的图象上任意一点，则，
关于直线的对称点为．
又函数中，当时，，
所以在的图象上.故函数与函数的图象关于直线对称
法二：两直线互对称让两个( )里的值相等解方程，没有负号故是轴对称
27、已知函数满足，函数与图像的交点分别为，，，，，则( )
A．-10 B．-5 C．5 D．10
【答案】C
【解析】因为函数满足，
所以，即函数的对称轴为，因为，
所以由题知，函数与图像的5个交点满足，
即，故A，B，D错误.
28、设函数的定义域为R，则下列命题：
①若是偶函数，则的图像关于轴对称；
②若是偶函数，则的图像关于直线对称；
③若，则函数的图像关于直线对称；
④与的图像关于直线对称．
其中正确命题的序号为________．
【答案】②④
【解析】若是偶函数，则的图像关于轴对称，故①错误
若是偶函数，则，所以的图象关于对称，②正确；
令，即，所以是偶函数，图象关于轴对称，③错误；
是将的图象向右平移2个单位而得，
是将的图象沿轴对称后再向右平移2个单位而得，
因此与的图象关于对称，④正确.
29、已知函数是定义在上的奇函数，且满足，则( )
A． B．0 C．1 D．2022
【答案】B
【解析】因为，所以，所以的周期为4，
函数是定义在上的奇函数，所以，
所以，.
30、是定义域为R的奇函数，若为偶函数，且，则( )
A．10 B． C． D．5
【答案】C
【解析】因为为偶函数，
所以，即，
因为函数是奇函数，所以
则，即，所以的周期为4．
因为，，，，
所以，
故．函数的性质
一、单调性
1、定义在上的奇函数，在上单调递增，且，则满足的的取值范围是( )
A． B． C． D．
2、若函数满足对任意，都有成立，则实数的取值范围是______.
3、(多选)定义在上的函数满足，当时，，则满足( )
A． B．是偶函数
C．在上有最大值 D．的解集为
4、已知函数对任意的m，都有，且时，．
(1)求的值：
(2)证明在R上为增函数；
(3)设，若在上的最小值和最大值分别为a，b，且，证明：．
5、已知函数的定义域是，对定义域的任意都有，且当时，，；
(1)求证：；
(2)试判断在的单调性并用定义证明你的结论；
(3)解不等式
6、已知函数，，实数，满足，则的最大值为______.
7、为了加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室的后背靠墙，无需建造费用，公司甲给出的报价为：应急室正面的报价为每平方米400元，左右两侧报价为每平方米300元，屋顶和地面报价共计9600元，设应急室的左右两侧的长度均为x米()，公司甲的整体报价为y元．
(1)试求y关于x的函数解析式；
(2)现有公司乙也要参与此应急室建造的竞标，其给出的整体报价为元，若采用最低价中标规则，哪家公司能竞标成功？请说明理由．
8、设函数若存在最小值，a的取值范围___________.
9、设函数．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)当时，不等式对一切恒成立，求实数a的取值范围．
二、奇偶性
10、若函数是偶函数，函数是奇函数，则( )
A．函数是奇函数 B．函数是偶函数
C．函数是偶函数 D．函数是奇函数
11、已知函数的定义域为，在上为增函数，且对任意的，都有．
(1)试判断的奇偶性；
(2)若，求实数的取值范围．
12、定义在上的函数是单调函数，满足，且，.
(1)求，；
(2)判断的奇偶性，并证明；
(3)在下列两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答.
①②若_____________，，求实数的取值范围.
13、已知，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则______.
14、已知是定义在R上的奇函数，当时，，则当时，______．
15、已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，则单调递减的区间是( )
A． B．
C． D．
16、若函数是上的偶函数，则的值为______.
17、若函数是定义在上的偶函数，( )
A．1 B．3 C．5 D．7
18、已知函数为奇函数.
(1)求的值；
(2)判断并证明在的单调性.
19、已知函数与的函数图象如图所示，则函数的图象可能是( )
A B C D
20、已知函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为______．
21、设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为______.
22、(多选)已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则( )
A．的最小值为 B．在上单调递减
C．的解集为 D．存在实数满足
23、(多选)已知函数是定义在上的奇函数，当时，单调递减，则( )
A． B．当时，单调递减
C．当时， D．，
24、(多选)已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，；③. 则下列选项成立的是( )
A． B．若，则
C．若，则 D．，，使得
三、周期性
25、已知是定义在上的函数，满足.
(1)若，求；
(2)求证：的周期为4；
(3)当时，，求在时的解析式.
26、设函数的定义域为，则函数与函数的图象关于( )
A．直线对称 B．直线对称 C．直线对称 D．直线对称
27、已知函数满足，函数与图像的交点分别为，，，，，则( )
A．-10 B．-5 C．5 D．10
28、设函数的定义域为R，则下列命题：
①若是偶函数，则的图像关于轴对称；
②若是偶函数，则的图像关于直线对称；
③若，则函数的图像关于直线对称；
④与的图像关于直线对称．
其中正确命题的序号为________．
29、已知函数是定义在上的奇函数，且满足，则( )
A． B．0 C．1 D．2022
30、是定义域为R的奇函数，若为偶函数，且，则( )
A．10 B． C． D．5
