高二上学期数学专题复习：第五章《导数及其应用》专题（4）
一、单项选择题
1． 已知函数的导数为，且，则（ ）
A. B. C. 1 D.
1．B
2．曲线在处切线也为的切线，则（ ）
A. 0 B. 1 C. D. 2
2．C
3．以点为切点的曲线的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A. B. C. D.
3．A
4．设，若函数，有大于零的极值点，则
A. B. C. D.
4．B【解析】设，则，若函数在x∈R上有大于零的极值点．
即有正根，当有成立时，显然有，
此时．由，得参数a的范围为．故选B．
考点：利用导数研究函数的极值．
二、多项选择题
5．函数的定义域为，它的导函数为，已知的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 在上函数为增函数 B. 在上函数为减函数
C. 是函数极大值点 D. 是函数的极大值
5．B
6．已知函数，其导函数为，下列命题中为真命题的是（ ）
A. 的单调减区间是
B. 的极小值是﹣6
C. 过点只能作一条直线与的图象相切
D. 有且只有一个零点
6．BCD【分析】求出函数的导数，即可得出其单调性和极值，从而判断ABD的真假，再根据导数的几何意义求切线方程即可判断C的真假．
【详解】因为，令，得或，
则在，上单调递增；令，得，则在上单调递减．
所以极小值为，极大值为，而，
故存在唯一一个零点，A错误，B、D正确；
设过点的直线与的图象相切，切点为，
因为，，
所以切线方程为．
将代入，得．令，则，
所以在，上单调递增，在上单调递减．
因为，，，所以方程只有一解，即过点只能作一条直线与的图象相切，故C正确．故选BCD．
三、填空题
7．已知函数在上不单调，则的取值范围是______.
7．【答案】
8．已知函数，若在定义域内有两个零点，那么实数a的取值范围为___________.
8． 【分析】先求定义域，再求导，针对分类讨论，结合单调性，极值，最值得到，研究其单调性及其零点，求出结果.
【详解】定义域为，，
当时，恒成立，在单调递减，不会有两个零点，故舍去；
当时，在上，单调递增，在上，单调递减，故，又因为时，，时，，故要想在定义域内有两个零点，则，令，，，单调递增，又，故当时，.
故答案为：
二、解答题
9．设函数.
(1)若曲线在点处与直线相切，求a，b的值；
(2)讨论函数的单调性.
9．【分析】（1）根据曲线在点（2，）处与直线y=8相切，建立条件关系即可求，b的值；
（2）令，解出极值点，对参数分类讨论分别求出函数的单调区间即可.
【解析】（1）由题意知，，又
即 ，解得；
（2）已知，令，知，
当时，，此时函数在单调递增，
当时，令或，令，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，令或，令，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
10．函数
(1)若，求函数在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若函数有两个极值点，求的取值范围．
【分析】（1）求导得切线方程，然后根据求出切线与坐标轴的交点，进而可求围成的三角形面积.（2）根据有两个极值点可得，然后对化简，得，即可求解.
(1)当时，，
，则函数在处的切线方程为，
切线与坐标轴的交点为，与坐标轴围成的三角形的面积为
(2)﹐因为函数有两个极值点，
所以方程有两个不相等实数根
故且，故，即，
则，不妨设，
x
正 0 负 0 正
增 减 增
据上表可知，在处取得极大值，在处取得极小值，
设，由于在上恒成立，故在上递增，故，
则的取值范围为高二上学期数学专题复习：第五章《导数及其应用》专题（4）
一、单项选择题
1． 已知函数的导数为，且，则（ ）
A. B. C. 1 D.
2．曲线在处切线也为的切线，则（ ）
A. 0 B. 1 C. D. 2
3．以点为切点的曲线的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A. B. C. D.
4．设，若函数，有大于零的极值点，则
A. B. C. D.
二、多项选择题
5．函数的定义域为，它的导函数为，已知的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 在上函数为增函数 B. 在上函数为减函数
C. 是函数极大值点 D. 是函数的极大值
6．已知函数，其导函数为，下列命题中为真命题的是（ ）
A. 的单调减区间是
B. 的极小值是﹣6
C. 过点只能作一条直线与的图象相切
D. 有且只有一个零点
三、填空题
7．已知函数在上不单调，则的取值范围是______.
8．已知函数，若在定义域内有两个零点，那么实数a的取值范围为___________.
二、解答题
9．设函数.
(1)若曲线在点处与直线相切，求a，b的值；
(2)讨论函数的单调性.
10．函数
(1)若，求函数在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若函数有两个极值点，求的取值范围．
