2022-2023学年高一上数学人教A版（2019）必修第一册第四章 指数函数与对数函数测试题（含答案）

第四章 指数函数与对数函数测试题
一、单选题
1．函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
2．设，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数有四个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知,,,则（ ）
A． B． C． D．
5．函数的单调递增区间是
A． B．
C． D．
6．函数在的图像大致为
A． B．C． D．
7．已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A的坐标满足关于x，y的方程，则的最小值为（ ）
A．8 B．24 C．4 D．6
8．已知函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在区间，使在上的值域为，那么就称函数为“成功函数”．若函数（，且）是“成功函数”，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A．函数的定义域为R B．函数的值域为
C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减
10．已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
11．定义在上的奇函数和偶函数满足：，下列结论正确的有（ ）
A．，且
B．，总有
C．，总有
D．，使得
12．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是奇函数
B．的图象关于点对称
C．若函数在上的最大值、最小值分别为、，则
D．令，若，则实数的取值范围是
三、填空题
13．计算： _______.
14．已知是奇函数，且当时，.若，则__________.
15．设不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是_______．
16．设函数，若对任意的，不等式恒成立，则a的取值范围是_______.
四、解答题
17．函数，
(1)求函数的定义域；
(2)求函数的零点；
(3)若函数的最小值为，求的值
18．已知函数
（1）若，求函数的单调区间
（2）若有最大值3，求a的值
（3）若的值域是，求实数a的取值范围.
19．已知函数（，）
（1）当时，求函数的定义域；
（2）当时，求关于的不等式的解集；
（3）当时，若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围.
20．碳14是碳的一种具有放射性的同位素，它常用于确定生物体的死亡年代，即放射性碳定年法.在活的生物体内碳14的含量与自然界中碳14的含量一样且保持稳定，一旦生物死亡，碳14摄入停止，生物体内的碳14会按指数函数的规律衰减，大约经过5730年衰减为原来的一半，通过测定生物遗体内碳14的含量就可以测定该生物的死亡年代.设生物体内的碳14的含量为P，死亡年数为t.
（1）试将P表示为t的函数；
（2）不久前，科学家发现一块生物化石上的碳14的含量为自然界中碳14的含量的，请推算该生物死亡的年代距今多少年？（参考数据：）
21．已知函数，.
(1)若函数的定义域为R求实数的取值范围；
(2)若函数的值域为R求实数的取值范围．
22．已知函数对一切实数，都有成立，且， .
（1）求的值；
（2）求的解析式；
（3）若关于x的方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围.
参考答案：
1．C 2．B 3．C 4．A 5．D 6．B 7．C 8．D
9．ABD 10．BC 11．ABC 12．BCD
13． 14．-3 15． 16．
17．(1) (2) (3)
解：（1）
要使函数有意义，则，解得：
所以函数的定义域为：
（2）解：
令，得：
即
解得：
因为
所以函数的零点为.
（3）解：
且函数的最小值为
即，得
即.
18．解：当时，，
令，
则在上单调递增，在上单调递减，
而在R上单调递减，
所以在上单调递减，在上单调递增，
即函数的单调增区间是，单调减区间是；
令，，
由于有最大值3，所以有最小值，
因此必有，解得，
即当有最大值3时，实数a的值为1；
在（2）基础上，由指数函数的性质知，
要使的值域为，应使的值域为R，
因为二次函数的值域不可能为R，所以．
19．（1）；（2）；（3）.
解：（1）当时，，故：，解得：，故函数的定义域为；
（2）由题意知，（），定义域为，用定义法易知为上的增函数，由，知：，∴.
（3）设，，设，，
故，，故：，
又∵对任意实数恒成立，
故：.
20．解：（1）已知碳14含量与死亡年数成指数函数关系，设，
由经过5730年衰减为原来的一半，可得，
故碳14的含量P与死亡年数t的函数关系式为；
（2），
,
所以推算该生物死亡的年代距今21010年.
21．(1) (2)
解：(1)若函数的定义域为R，
即对任意的x，恒成立，
令.
，当时，解得或，
经验证，当时，，不满足题意，舍去；
当时，，满足题意．
，当时
为二次函数，只需
解得或，
综上可知，实数的取值范围为．
(2)若函数的值域为R，
则对数的真数能取到任意的正数，
令.
当时，解得或经验证，
不合题意舍去，当时满足题意．
当时，
由二次函数知识知
解得.
综上可知，实数的取值范围为.
22．（1）；（2）；（3）.
解：（1）在中，
令，得，又，所以.
（2）在中，
令，得，得，
所以.
（3）令，则，
则函数的图象如图：
方程化为，即，即，
因为方程有三个不同的实数解，由函数的图象可知，
方程有两个不等实根，不妨设，则，，
令，
则，此时解得，或，此时无解，
综上所述：实数k的取值范围是.