等比数列简单知识点及二级结论--------填空练习
一.通项公式
1．已知数列满足：对任意的m，，都有，且，则___________
【答案】
【详解】对于，
令，则，
再令，则，可知，
故数列是以首项为，公比为的等比数列，则，
∴.
2．设是等比数列，且，，则=___________
【答案】48
【详解】设等比数列的公比为，
则，
，
两式相除，得，
因此，.
二.等比中项
3．等比数列中，，，则与的等比中项为___________
【答案】
【详解】与的等比中项满足：，故.
4．已知数列为等差数列，且，3，成等比数列，则为___________
【答案】1
【详解】设数列的公差为，
因为，3，成等比数列，所以，
所以+，
所以，
三.若,则
5．在等比数列中，，，则等于___________
【答案】128
【详解】由题意， ， ；
6．已知等比数列，，则___________
【答案】4
【详解】
7．已知等比数列满足：，，则___________
【答案】
【详解】是等比数列，所以
，
四.与不等式结合
8．已知等比数列满足，，（其中，），则的最小值为___________
【答案】2
【详解】由题意，
在等比数列中，，，
由等比数列的性质，可得，，
当且仅当，时，等号成立，
因此，的最小值为2.
9．为公比大于1的正项等比数列，且和是方程的两根，若正实数x，y满足，则的最小值为___________
【答案】
【详解】由题意得：，，
因为为公比大于1的正项等比数列，所以，
故，，
由得，将其代入得：，
解得：或4，
设公比为，则，
当时，，所以，因为，解得：
当时，，所以，因为，不合题意，舍去；
所以，即，
，
当且仅当，即时，等号成立，
五.前项积
10．已知数列是等比数列，若，且数列的前n项乘积，n的最大值为___________
【答案】20
【详解】数列是等比数列， ，
，
，
所以使的n的最大值为20.
11．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，数列中的最大值时=__________
【答案】2021
【详解】
为前项的积，，，
六.单调性和充要条件结合
12．已知是公比为q的等比数列，则“”是“为递增数列”的___________条件
【答案】必要而不充分
【详解】当时，数列不一定为递增数列，如数列，公比，而此数列为递减数列，
当为递增数列时，，则
或，
所以当为递增数列时，成立，
所以“”是“为递增数列”的必要不充分条件，
13．设是首项大于零的等比数列，则“”是“数列是递增数列”的___________条件
【答案】充分必要条件
【详解】若已知，则设数列的公比为，因为，所以有，解得又，所以数列是递增数列；反之，若数列是递增数列，则公比且，所以，即，所以是数列是递增数列的充分必要条件．
14．数列是等比数列，首项为，公比为q，则是“数列递减”的___________条件
【答案】必要不充分条件
【详解】由已知，解得或，，
此时数列不一定是递减数列，
所以是“数列递减”的非充分条件；
若数列为递减数列，可得或，所以，
所以是“数列递减”的必要条件.
所以“”是“数列为递减数列”的必要不充分条件.
七.项数为偶数的等比数列,偶数项和与奇数项和比值为公比
15．已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前4项之积为64，则___________
【答案】1或
【详解】设首项为，公比为，数列共有项，则满足首项为，公比为，项数为项，设所有奇数项之和为，
因为所有项之和是奇数项之和的3倍，所以，
所以，，
故满足，解得，
又，
所以.
16．设无穷等比数列所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，为其首项，则_________
【答案】
【详解】设无穷等比数列所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，根据题意得，解得：，
八.成等比数列
17．记为等比数列的前n项和．若，则的值为___________
【答案】39
【详解】∵为等比数列的前n项和，∴，，等成比数列，
∴，，∴，∴．
18．已知各项为正的等比数列的前5项和为3，前15项和为39，则该数列的前10项和为__________
【答案】12
【详解】解：由等比数列的性质可得也为等比数列，
又，故可得即，
解得或，因为等比数列各项为正，所以，
九.
19．等比数列的前n项和，则k的值为___________
【答案】-1
【详解】解：设等比数列的前项和为，
当时，
当时，
所以，
所以，解得；
20．在数列中，（为非零常数），且其前n项和，则实数的值为（ ）
【答案】
【详解】解：若，则，又，显然不满足条件，
所以，又（为非零常数），所以，即是以为公比的等比数列，
当时，即，
当时，所以
又，所以，解得．等比数列简单知识点及二级结论--------填空练习
一.通项公式
1．已知数列满足：对任意的m，，都有，且，则___________
2．设是等比数列，且，，则=___________
二.等比中项
3．等比数列中，，，则与的等比中项为___________
4．已知数列为等差数列，且，3，成等比数列，则为___________
三.若,则
5．在等比数列中，，，则等于___________
6．已知等比数列，，则___________
7．已知等比数列满足：，，则___________
四.与不等式结合
8．已知等比数列满足，，（其中，），则的最小值为___________
9．为公比大于1的正项等比数列，且和是方程的两根，若正实数x，y满足，则的最小值为___________
五.前项积
10．已知数列是等比数列，若，且数列的前n项乘积，n的最大值为___________
11．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，数列中的最大值时=__________
六.单调性和充要条件结合
12．已知是公比为q的等比数列，则“”是“为递增数列”的___________条件
13．设是首项大于零的等比数列，则“”是“数列是递增数列”的___________条件
14．数列是等比数列，首项为，公比为q，则是“数列递减”的___________条件
七.项数为偶数的等比数列,偶数项和与奇数项和比值为公比
15．已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前4项之积为64，则___________
16．设无穷等比数列所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，为其首项，则_________
八.成等比数列
17．记为等比数列的前n项和．若，则的值为___________
18．已知各项为正的等比数列的前5项和为3，前15项和为39，则该数列的前10项和为__________
九.
19．等比数列的前n项和，则k的值为___________
20．在数列中，（为非零常数），且其前n项和，则实数的值为（ ）
