江苏省南京市雨花台区高级中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学试卷（Word版含解析）

雨花台区高级中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学试卷
单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则的元素个数为　　
1 2 3 4
2．若复数，在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数　　
3．若，都是实数，则“”是“”的　　
充分不必要条件 必要不充分条件
充要条件 既不充分也不必要条件
4．设，均为非零向量，且，，则与的夹角为　　
5．2022年11月19日23时08分，长征二号遥十五运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，582秒后，神舟十五号载人飞船进入预定轨道，顺利将费俊龙、邓清明、张陆三名航天员送入太空．在不考虑空气阻力的条件下，从发射开始，火箭的最大飞行速度满足公式：，其中为火箭推进剂质量，为去除推进剂后的火箭有效载荷质量，为火箭发动机喷流相对火箭的速度．当时，千米秒．在保持不变的情况下，若吨，假设要使超过第一宇宙速度达到8千米秒，则至少约为（结果精确到1，参考数据：，　　.
135吨 160吨 185吨 210吨
6．设双曲线的左右焦点分别为，，过的直线分别交双曲线的左、右两支于，．若以为直径的圆经过右焦点，且，则双曲线的离心率为　　
.
7．定义：，,当时，称这个五位数为波动数．由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数中，波动数的概率为 　　
8．已知是定义在区间上的函数，是的导函数，且，，则不等式的解集是　　
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分.
9．是衡量空气质量的重要指标．如图是某地9月1日到10日的日均值（单位：的折线图，则下列说法正确的是 　　
这10天中日均值的众数为33
这10天中日均值的中位数是32
这10天中日均值的中位数大于平均数
这10天中日均值前4天的方差大于后4天的方差
10．已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是
　
函数的图像关于点中心对称
函数的图像关于直线对称
函数在上单调递减
函数的图像向右平移个单位可得函数的图像
11．已知抛物线与圆，点在抛物线上，点在圆上，点，则　　
的最小值为 最大值为
的最小值是 当最大时，四边形的面积为
12．已知点为正方体的棱的中点，过的平面截正方体，，下列说法正确的是(　　
若与底面所成角的正切值为，则截面为正六边形或正三角形
与底面所成角为，则截面不可能为六边形
若截面为正三角形时，三棱锥的外接球的半径为
若截面为四边形，则截面与平面所成角的余弦值的最小值为
三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.
13．某圆台下底半径为2，上底半径为1，母线长为2，则该圆台的表面积为　　．
14. 已知，则的值为　　.
已知，则_______
16. 定义为与距离最近的整数（当为两相邻整数算术平均数时，取较大整数）.令函数，如．则　　；　　.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．．已知菱形的边长为2，．是边上一点，线段交于点．
（1）若的面积为，求的长；
（2）若，求．
18. 已知公差大于0的等差数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前21项和．
19. 如图，是边长为的等边三角形，，分别为，的中点，是的中心，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且平面．
（1）证明：；
（2）试求平面与平面所成二面角的平面角的正弦值．
20．2022年是中国共产主义青年团成立100周年，某市团委决定举办一次共青团史知识竞赛．该市县团委为此举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表县参加市共青团史知识竞赛．已知县甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为，，，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响．
（1）求这3人中至少有1人通过初赛的概率；
（2）求这3人中至少有1人参加市共青团史知识竞赛的概率；
（3）某品牌商赞助了县的这次共青团史知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案：
方案一：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖1次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖励1000元；
方案二：只参加了初赛的选手奖励300元，参加了决赛的选手奖励1000元．
若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好．
21．已知椭圆的右顶点为，过左焦点的直线交椭圆于，两点，交轴于点，，，记，，为的右焦点）的面积分别为，，．
（1）证明：为定值；
（2）若，，求的取值范围．
22．设函数，，为实数，若有最大值为．
（1）求的值；
（2）若，求实数的最小整数值．
试卷答案
单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则的元素个数为　　
1 2 3 4
【答案】
【解析】，
，0，1，，
，，
故的元素个数为2，
故选：．
2．若复数，在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数　　
【答案】
【解析】复数，在复平面内对应的点关于轴对称，且，
，．
3．若，都是实数，则“”是“”的　　
充分不必要条件 必要不充分条件
充要条件 既不充分也不必要条件
【答案】
【解析】当，时，
成立，但不成立；
，
，
，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选：．
4．设，均为非零向量，且，，则与的夹角为　　
【答案】
【解析】根据题意，设与的夹角为，，则，
若，则，解可得，
又由，则，故选：．
5．2022年11月19日23时08分，长征二号遥十五运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，582秒后，神舟十五号载人飞船进入预定轨道，顺利将费俊龙、邓清明、张陆三名航天员送入太空．在不考虑空气阻力的条件下，从发射开始，火箭的最大飞行速度满足公式：，其中为火箭推进剂质量，为去除推进剂后的火箭有效载荷质量，为火箭发动机喷流相对火箭的速度．当时，千米秒．在保持不变的情况下，若吨，假设要使超过第一宇宙速度达到8千米秒，则至少约为（结果精确到1，参考数据：，　　.
135吨 160吨 185吨 210吨
【答案】
【解析】因为当时，千米秒，
所以，所以，
所以，当吨，千米秒时，有，所以吨．
故选：．
6．设双曲线的左右焦点分别为，，过的直线分别交双曲线的左、右两支于，．若以为直径的圆经过右焦点，且，则双曲线的离心率为　　
.
【答案】
【解析】若以为直径的圆经过右焦点，
则，又，
可得为等腰直角三角形，
设，则，
由，，
两式相加可得，
即有，
在直角三角形中可得
，
化为，即．
故选：．
7．定义：，,当时，称这个五位数为波动数．由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数中，波动数的概率为 　　
【答案】
【解析】由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数共120个，若要满足条件，则有：32425、31524、41325、41523、51324、51423、32415、32514、42315、42513、52314、52413、21435、21534、53412、43512共16种，所以 波动数的概率为.
8．设函数是定义在区间上的函数，是的导函数，且，，则不等式的解集是　　
【答案】
【解析】令，，则，
，，
，即在，上单调递增，
又，当时，，即，
令，则，不等式等价于，
，即，故，
解得.
故选：．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分.
9．是衡量空气质量的重要指标．如图是某地9月1日到10日的日均值（单位：的折线图，则下列说法正确的是 　　
这10天中日均值的众数为33
这10天中日均值的中位数是32
这10天中日均值的中位数大于平均数
这10天中日均值前4天的方差大于后4天的方差
【答案】
【解析】由图可知，中位数为，众数为33，正确；
平均数为，
这10天中日均值的中位数小于平均数，错误；
又图中数据可得前4天的波动性更大，后4天的波动性小，
这10天中日均值前4天的方差大于后4天的方差，正确.
10．已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是
　
函数的图像关于点中心对称
函数的图像关于直线对称
函数在上单调递减
函数的图像向右平移个单位可得函数的图像
【答案】
【解析】根据函数的部分图像，可得，
，．
再结合五点法作图可得，，．
令，求得，可得函数的图像关于点中心对称，故正确；
令，求得，为最小值，可得函数的图像关于直线对称，故正确；
在上，，，函数不单调，故错误；
函数的图像向右平移个单位可得函数的图像，故错误，
故选：．
11．已知抛物线与圆，点在抛物线上，点在圆上，点，则　　
的最小值为 最大值为
的最小值是 当最大时，四边形的面积为
【答案】
【解析】抛物线的焦点，圆，圆心，半径为，作图如图所示：
对于：点在抛物线上，点在圆上，
根据抛物线的对称性可得要使的长度最小，即与重合时，此时，故正确；
对于：由图形可知要使最大，满足为圆的切线交圆于切点，即，
设，由抛物线的定义得，，则，，
，
，故的最大值为，故错误；
对于：设，，，，
则，，
，
，当且仅当，即时等号成立，
，
的最小值为，故正确；
对于：由图形可知要使最大，此时与抛物线相切，与圆相切，设切点在第一象限，切点在第四象限，
在中，，，，，
设直线的方程为，，
联立，整理得，
△，解得，
，解得，则，
，
故当最大时，四边形的面积为，故正确，
故选：．
12．已知点为正方体的棱的中点，过的平面截正方体，，下列说法正确的是(　　
若与底面所成角的正切值为，则截面为正六边形或正三角形
与底面所成角为，则截面不可能为六边形
若截面为正三角形时，三棱锥的外接球的半径为
若截面为四边形，则截面与平面所成角的余弦值的最小值为
【答案】
【解析】取中点，做底面，则为的四等分点，且，，分别取、的中点，连接交于点，则点为的四等分点，连接，在正方体中，，，此时平面，即平面与底面所成的角为，且，因为平面平面，所以平面与底面所成角的正切值为，再分别取的中点，连接，即过的平面截正方体的截面为正六边形；取的中点，连接，则为等边三角形，，所以即为平面和平面所成的二面角的平面角，且，，，所以和平面所成的二面角的平面角的正切值为，此时为等边三角形，故正确；
当时，，所以,所以，由于，所以为等腰直角三角形，，由于，所以四边形为等腰梯形，必与有交点，则截面为六边形，故错误；
若截面为正三角形时，则是的中点，所以三棱锥为正三棱锥，且，
，设正三角形的外接圆的圆心为，外接球的球心为，连接，则，，因为,所以
, 在中，因为,所以
，解得，故错误；
若截面为四边形，则截面与底面棱的交点必在上，且截面为时与平面所成的角最大，此时的余弦值最小，连接，取的中点，连接，，则，四边形为等腰梯形，，则即为截面时与平面所成平面角，，，，在中，由余弦定理得
，故正确.
三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.
13．某圆台下底半径为2，上底半径为1，母线长为2，则该圆台的表面积为　　．
【答案】
【解析】圆台下底半径为2，上底半径为1，母线长为2，
所以圆台的表面积为：
．
故答案为：．
14. 已知，则的值为　　.
【答案】1
【解析】由，得
，
再由，得，可得，
．
已知，则_______
【答案】30
【解析】通项公式，当时，为，当时，为，故.
16. 定义为与距离最近的整数（当为两相邻整数算术平均数时，取较大整数）.令函数，如，．则　　；　　.
【答案】3；
【解析】当时，，则，，
当时，，则，，
当时，，则，，
当时，，则，，
依此类推，
将分组为，，，，，，，，，，，，，，第组有个数，且每组中所有数之和为，
则；
设在第组中，
则，
解得，
当时，则，
即在第45组中，且第45组有个，
则，
故答案为：3；．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．．已知菱形的边长为2，．是边上一点，线段交于点．
（1）若的面积为，求的长；
（2）若，求．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）依题意，得，
因为的面积，
所以，
所以，
解得，
根据余弦定理，得．
（2）依题意，得，，设，则，
在中，由正弦定理得，
因为，所以，
所以，所以．
18. 已知公差大于0的等差数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前21项和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）根据题意，当时，，即①，
当时，，所以②，
设等差数列的公差为，由①②得，解得，
所以；
（2），则，
所以，
所以．
所以，，
故.
19. 如图，是边长为的等边三角形，，分别为，的中点，是的中心，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且平面．
（1）证明：；
（2）试求平面与平面所成二面角的平面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）连接，是边长为的等边三角形，
，分别为，的中点，是的中心，
，，
平面，平面，，
，平面，
平面，；
（2）依题意，，在中，，
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，
过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，0，，，，，，0，，，0，，，，，
由（1）知，，，是平面的一个法向量，
设平面的法向量为，，，
则，令，得，，
，，．
平面与平面所成二面角的正弦值为．
20．2022年是中国共产主义青年团成立100周年，某市团委决定举办一次共青团史知识竞赛．该市县团委为此举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表县参加市共青团史知识竞赛．已知县甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为，，，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响．
（1）求这3人中至少有1人通过初赛的概率；
（2）求这3人中至少有1人参加市共青团史知识竞赛的概率；
（3）某品牌商赞助了县的这次共青团史知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案：
方案一：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖1次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖励1000元；
方案二：只参加了初赛的选手奖励300元，参加了决赛的选手奖励1000元．
若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好．
【答案】（1）；（2）.（3）选方案二，理由见解析
【解析】（1）3人都没通过初赛的概率为，
所以这三人中至少有1人通过初赛的概率为．
（2）设事件表示“甲参加市共青团史知识竞赛”，事件表示“乙参加市共青团史知识竞赛”，事件表示“丙参加市共青团史知识竞赛”，
则（B）（C），（D），
而3人都不能参加市共青团史知识竞赛的事件为，
所以这3人中至少有1人参加市共青团史知识竞赛的概率．
（3）方案一：设三人中奖人数为，所获奖金总额为元，则，且，
所以元；
方案二：记甲、乙、丙三人获得奖金之和为元，则的所有可能取值为900，1600，2300，3000，
，
，
，
，
所以的分布列为
900 1600 2300 3000
则元，
因为，
所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案二更好．
21．已知椭圆的右顶点为，过左焦点的直线交椭圆于，两点，交轴于点，，，记，，为的右焦点）的面积分别为，，．
（1）证明：为定值；
（2）若，，求的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2），
【解析】（1）证明：因为椭圆的右顶点为，故，
直线过左焦点，令，则，
所以左焦点，所以，，
所以椭圆的标准方程为：．
设，，，，
显然，令，则，
则，
由得，解得，
同理，
联立，得，
所以，
，
从而（定值）；
（2）结合图象，
不妨设，
由得，
代入，有，
则，解得
，
，，，
设，则，，则，则，
令，解得，令，解得，
故在上单调递减，在上单调递增，则（2），
且，则，，则，，
所以的取值范围是，．
22．设函数，，为实数，若有最大值为．
（1）求的值；
（2）若，求实数的最小整数值．
【答案】（1）；（2）1
【解析】（1），定义域为，，
当时，，当时，，所以在处取得极大值，也是最大值，所以，解得.
（2），即，，令，定义域为，
，令，
则，可以看出在单调递减，又，
由零点存在性定理可知：，使得，即，
当时，，当时，，在处取得极大值，也是最大值,
，
，，，
故存在使得，
所以当时，，当时，，
所以在上大于0，在上小于0，
所以在单调递增，在上单调递减，
且当时，恒成立，
所以在处取得极大值也是最大值，其中，
，
令，，此时，故，所以实数的最小整数值为1.