2022-2023学年山东省滨州市沾化实验高级中学高二（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省滨州市沾化实验高级中学高二（上）期中数学试卷
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
已知圆：与圆：，则两圆的位置关系为( )
A. 内切 B. 外切 C. 相交 D. 外离
双曲线的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
在，轴上的截距分别为，的直线方程为( )
A. B. C. D.
已知直线的方向向量是，平面的法向量是，则与的位置关系是( )
A. B.
C. 或 D. 与相交但不垂直
已知，两点到直线：的距离相等，则( )
A. B. C. 或 D. 或
如图，在平行六面体中，设，，，则下列与向量相等的表达式是( )
A.
B.
C.
D.
圆关于直线对称的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
命题：方程表示焦点在轴上的椭圆，则使命题成立的充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
经过点的抛物线的标准方程为( )
A. B. C. D.
已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，若，则( )
A. B. C. D. 的坐标为
已知双曲线：的一条渐近线方程为，则下列说法正确的是( )
A. 的焦点在轴上 B.
C. 的实轴长为 D. 的离心率为
已知曲线：( )
A. 若，则是椭圆，其焦点在轴上
B. 若，则是圆，其半径为
C. 若，则是双曲线，其渐近线方程为
D. 若，，则是两条直线
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
已知，，，则的坐标为______．
已知平面内两定点，，动点满足，则点的轨迹方程是______．
焦点在轴上，焦距等于，且经过点的椭圆标准方程是______ ．
抛物线型塔桥的顶点距水面米时，水面宽米，若水面上升米，则此时水面宽为______米．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
设圆的方程为，
求该圆的圆心坐标及半径；
若此圆的一条弦的中点为，求直线的方程．
本小题分
已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是，，，求点的坐标．
本小题分
已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上．
求圆的方程；
已知直线：与圆相交于、两点，求所得弦长的值．
本小题分
如图，在直三棱柱中，，，为的中点，试用向量的方法证明：
；
平面．
本小题分
如图，从椭圆上一点向轴引垂线，恰好通过椭圆的一个焦点，这时椭圆长轴的端点和短轴的端点的连线满足平行于若椭圆过点，求椭圆的标准方程．
本小题分
已知抛物线：的焦点与椭圆：的一个焦点重合．
求抛物线的方程；
若直线：交抛物线于，两点，为原点，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：圆：的圆心坐标为，半径为；
圆：，的圆心坐标，半径为．
由，
两圆的位置关系是外切．
故选：．
由已知圆的方程求出圆心坐标与半径，再由两圆的圆心距与半径的关系得答案．
本题考查圆与圆位置关系的判定，考查两点间距离公式的应用，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：双曲线的标准方程为，
所以，，
所以双曲线的渐近线方程为
故选：．
化双曲线的方程为标准方程，求出，的值，即可求解双曲线的渐近线方程．
本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意在，轴上的截距分别为，的直线方程为．
故选：．
直接利用直线方程的截距式即可求解．
本题主要考查了直线方程的截距式，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为直线的方向向量是，平面的法向量是，
则，
所以，
则或．
故选：．
利用向量垂直的坐标表示，得到，由此可得答案．
本题考查了空间向量数量积的坐标表示以及空间向量垂直的充要条件的应用，利用空间向量的位置关系判断线面位置关系的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查点到直线的距离公式，考查方程思想，属于基础题．
根据已知条件，结合点到直线的距离公式，即可求解．
【解答】
解：，两点到直线：的距离相等，
，解得或．
故选：．

6.【答案】
【解析】解：在平行六面体中，
．
故选：．
根据已知条件，结合空间向量的运算法则，即可求解．
本题主要考查空间向量的运算法则，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：圆的圆心坐标为，半径为，
设点关于直线的对称点为，
则，解之得，
则圆关于直线对称的圆的圆心坐标为，
则该圆的方程为，
故选：．
先求得圆关于直线对称的圆的圆心坐标，进而即可得到该圆的方程．
本题考查圆关于直线对称的圆的性质、圆的圆心坐标、圆半径等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
8.【答案】
【解析】解：命题：方程表示焦点在轴上的椭圆，解得．
则使命题成立的充分不必要条件是．
故选：．
命题：方程表示焦点在轴上的椭圆，解得范围，
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，点在第四象限，故抛物线可能开口向右，也可能开口向下．
故可设抛物线的标准方程为，或，
把点代入方程可得或，
故抛物线的标准方程 或，
故选：．
根据题意，分析可得抛物线可能开口向右，也可能开口向下．故可设抛物线的标准方程为，或，把点代入方程可得值，即得抛物线方程．
本题考查抛物线的标准方程的计算，注意分析抛物线的开口方向，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：抛物线：的焦点为，可得，所以不正确；
点在抛物线上，
所以，所以A正确；代入抛物线方程可得所以不正确；
所以C正确；
故选：．
求出抛物线的焦点坐标判断；利用抛物线的定义，求出，判断；求出判断，求解判断．
本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：由，可知双曲线的焦点一定在轴上，故A正确；
由双曲线方程为，得，，
再由双曲线的一条渐近线方程为，
得，，故B错误；
双曲线的实轴长为，故C错误；
双曲线的离心率，故D正确．
故选：．
由双曲线方程判断；由双曲线的渐近线方程求解值判断；求得实轴长判断；由双曲线的离心率公式求得离心率判断．
本题考查双曲线的方程，考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题．
12.【答案】
【解析】
【分析】
根据所给条件，逐一分析对应的方程形式，结合椭圆、圆、双曲线方程的定义进行判断即可．
本题考查圆锥曲线方程的定义，属于中档题．
【解答】
解：若，则，则根据椭圆定义，知表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；
B.若，则方程为，表示半径为的圆，故B错误；
C.若，，则方程为，表示焦点在轴的双曲线，故此时渐近线方程为，
若，，则方程为，表示焦点在轴的双曲线，故此时渐近线方程为，
故C正确；
D.当，时，则方程为表示两条直线，故D正确；
故选：．

13.【答案】
【解析】解：，，
，
，
故答案为：．
直接根据空间向量的坐标运算求解即可．
本题主要考查空间向量的坐标运算，考查计算能力，属于基础题．
14.【答案】，
【解析】解：平面内两定点，，
动点满足，
点的轨迹是双曲线的右支．其中，，则，
所求双曲线方程为：，．
故答案为：，．
利用双曲线的定义求解．
本题考查点的轨迹的求法，双曲线定义的应用，解题时要认真审题，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：由椭圆的焦点在轴上，设椭圆的方程为
焦距等于，且椭圆经过点．
，解之得，舍负
因此，椭圆的标准方程为．
故答案为：
设椭圆的方程为，根据题意建立关于、的方程组，解出、的值，即可得到所求椭圆标准方程．
本题给出椭圆的焦距与经过的定点坐标，求椭圆的标准方程．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：设抛物线方程为，，
由题意可得，
则，
即，
则抛物线方程为，
令，
则，
则，，
即，
即此时水面宽为米，
故答案为：．
设抛物线方程为，，由题意可得抛物线方程为，令，则，则，，即，得解．
本题考查了抛物线的性质，属基础题．
17.【答案】解：将配方得：
圆心坐标为，半经为分
设直线的斜率为．
由圆的知识可知：，
又，．
直线的方程为
即：分
【解析】将圆配方为标准方程，即可求得圆的圆心坐标及半径；
利用，求出的斜率，进而可求直线的方程．
本题考查圆的方程，考查圆的性质，考查计算能力，属于基础题．
18.【答案】解：设，则，且，
四边形是平行四边形，，
，，解得，
．
【解析】可设，然后得出，根据题意可得出，然后解出，即可．
本题考查了根据点的坐标求向量的坐标的方法，相等向量的定义，考查了计算能力，属于基础题．
19.【答案】解：由题意可得，圆心为，半径为．
则圆的方程为．
圆心到的距离为，，
．
【解析】求出圆的圆心与半径，即可得到圆的方程．
利用点到直线的距离，结合半径以及半弦长满足勾股定理，推出结果即可．
本题考查圆的方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．
20.【答案】解：由题以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
不妨设，则，，，，
，，，所以．
，，，，
，
设平面的法向量为，
则，不妨令，则，，
所以平面．
【解析】以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求证即可．
本题考查了空间中的位置关系以及与空间向量的综合应用，属于基础题．
21.【答案】解：把代入椭圆的方程可得，解得，
，
，
，化为，
又，，
解得，，
椭圆的标准方程为．
【解析】把代入椭圆的方程可得，解得，可得坐标，根据，可得，与，联立解得，，即可得出椭圆的标准方程．
本题考查了圆的标准方程及其性质、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：抛物线：的焦点与椭圆：的一个焦点重合，
可得，所以，
所以抛物线的方程为；
证明：联立，整理可得：，
可得：，，
所以，．
即．
【解析】求出椭圆的焦点坐标，然后求出，即可得到抛物线方程；
将待证明的垂直关系转化为平面向量数量积的坐标运算．
本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
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