黑龙江省绥化市庆安县2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2022高二上·庆安期中）若直线经过两点，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021高二上·湖北月考）点 的直线中，被圆 截得的最长弦所在的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2018高二上·湘西月考）抛物线 的准线方程是 ，则 的值为（ ）
A． B． C．8 D．-8
4．（2022高二上·庆安期中）椭圆的一个焦点是，那么等于（ ）
A．-1 B．1 C． D．
5．（2022高二上·庆安期中）直线与圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切
6．（2020高二上·南昌月考）椭圆 的两个焦点为 、 ，过 作垂直于 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则 （ ）
A． B． C． D．4
7．（2022高二上·庆安期中）已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为的直线与抛物线C上相交于P，Q两点，且P，Q两点在准线上的投影分别为M，N两点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高二上·庆安期中）已知双曲线的两个焦点为、，点在双曲线第一象限的图象上，若的面积为1，且，，则双曲线方程为
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2022高二上·庆安期中）方程表示的圆，则以下叙述不正确的是（ ）
A．关于直线对称 B．关于直线对称
C．其圆心在轴上，且过原点 D．其圆心在轴上，且过原点
10．（2022高二上·庆安期中）（多选）已知方程表示曲线，则（ ）
A．当时，曲线一定是椭圆
B．当或时，曲线一定是双曲线
C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则
D．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则
11．（2021高二上·定州期中）如图所示，一个底面半径为4的圆柱被与其底面所成的角的平面所截，截面是一个椭圆，则下列正确的是（ ）
A．椭圆的长轴长为8
B．椭圆的离心率为
C．椭圆的离心率为
D．椭圆的一个方程可能为
12．（2022高二上·庆安期中）已知两点，，则在下列曲线上存在点满足的方程有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．（2016高二上·自贡期中）直线x+2y=0被曲线x2+y2﹣6x﹣2y﹣15=0所截得的弦长等于 ．
14．（2022高二上·庆安期中）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴，则该圆的标准方程是 ．
15．（2022高二上·庆安期中）已知抛物线方程为y2＝﹣4x，直线l的方程为2x+y﹣4＝0，在抛物线上有一动点A，点A到y轴的距离为m，点A到直线l的距离为n，则m+n的最小值为 ．
16．（2022高二上·庆安期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是 .
四、解答题
17．（2022高二上·庆安期中）若直线经过直线与直线的交点，且点到直线的距离为1，求直线的方程．
18．（2022高二上·庆安期中）以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？求出坐标，并求出此时的椭圆方程．
19．（2022高二上·庆安期中）已知，点，，点是圆上的动点，求的最大值、最小值及对应的点坐标．
20．（2022高二上·庆安期中）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1，0)的距离减去它到y轴距离的差都是1
（1）求曲线C的方程.
（2）是否存在正数m，对于过点M(m，0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有 若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由.
21．（2022高二上·庆安期中）已知焦点在轴上的双曲线的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切，又知的一个焦点与关于直线对称．
（1）求双曲线的方程；
（2）设直线与双曲线的左支交于、两点，另一直线经过及的中点，求直线在轴上的截距的取值范围．
22．（2022高二上·庆安期中）已知椭圆过点，且离心率为，直线与椭圆交于、两点．若直线上存在点，使得四边形是平行四边形，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】直线的倾斜角；斜率的计算公式
【解析】【解答】设直线的倾斜角为，α直线经过两点，所以，
即，
又因为0°≤α＜180°，
所以α=60°
【分析】根据斜率公式即可得即可得到直线的斜率，然后根据斜率和倾斜角的关系即可得到答案.
2．【答案】A
【知识点】斜率的计算公式；圆的一般方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由题意，圆 ，可得圆心坐标为 ，
要使得直线被圆 截得的弦长最长，则直线必过圆心，
可得直线的斜率为 ，所以直线的方程为 ，
即所求直线的方程为 .
故答案为：A.
【分析】首先把圆的一般方程化为标准方程，由此求出圆心坐标以及半径，然后由已知条件即可得出要使得直线被圆 截得的弦长最长，则直线必过圆心，然后由斜率的坐标公式代入计算出斜率的值，然后结合点斜式即可求出直线的方程。
3．【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】 方程 表示的是抛物线, ， ， 抛物线 的准线方程是 ，解得 ，
故答案为：B.
【分析】将抛物线方程转化成标准方程，从而求出抛物线的准线方程，再利用已知的准线方程结合对应法求出a的值。
4．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由得，
又因为椭圆的一个焦点是，所以，，
又，所以，解得，
故.
故答案为：A.
【分析】把椭圆化为标准方程，根据题意可得，求解可得k的值.
5．【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】圆，即，表示以为圆心、半径等于3的圆．
圆心到直线的距离．
再根据，
而的判别式Δ，
故有，即，故直线和圆相交，
故答案为：B．
【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径r，求出圆心到直线的距离d，再根据而的判别式Δ，求解可得d的范围，可得答案.
6．【答案】C
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】 ，所以当 时， ，
而 ,所以 ,
故答案为：C.
【分析】利用椭圆的标准方程求出a,b的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，从而求出c的值，从而结合椭圆的标准方程求出两焦点坐标，再利用过 作垂直于 轴的直线，从而求出直线的方程，再利用直线与椭圆相交的位置关系结合椭圆的定义，从而求出的值。
7．【答案】D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】依题意可得，过的直线为，
联立，消去并整理得，
设、，
则，，
所以，
所以的面积为.
故答案为：D
【分析】 求出直线PQ的方程，与抛物线 联立，求出P， Q的坐标，得到MN，然后求解三角形的面积，可得答案.
8．【答案】B
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：如图，作垂足为，
因为，因为的面积为1，所以
，所以，在直角中，，所以，则，，，又，所以，解得，，所以，，所以，，根据双曲线定义得
，所以，则，，
所以双曲线方程为，即；
故答案为：B
【分析】根据题意，在直角中，可得，在直角中，可得，即可求出c，根据勾股定理结合双曲线的定义可求出a，b，可得双曲线方程.
9．【答案】A,C,D
【知识点】二元二次方程表示圆的条件
【解析】【解答】由题意知，方程表示圆，则有
将方程进行配方可得，圆心坐标为
对A选项，圆心不满足直线方程，故不关于直线对称，所以A错误，符合题意；
对B选项，圆心满足直线方程，故关于直线对称，所以B正确，不符合题意；
对C选项，由可知圆心不可能在轴上所以C错误，符合题意；
对D选项，由可知圆心不可能在轴上所以D错误，符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】将圆的方程化为标准方程，可得圆心坐标和半径，再根据圆方程的性质逐项进行判断，可得答案.
10．【答案】B,D
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】对于A，当时，曲线是圆，A不符合题意；
对于B，当时，曲线是焦点在轴上的双曲线，
当时，曲线是焦点在轴上的双曲线，B符合题意；
对于C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，C不符合题意；
对于D，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，D符合题意．
故答案为：BD．
【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的标准方程，逐项进行判断，可得答案.
11．【答案】B,D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意易知椭圆的短半轴长，
∵截面与底面所成的角为，
∴椭圆的长轴长为，则a=8，
所以，
离心率为，
当建立坐标系以椭圆中心为原点，椭圆的长轴为轴，短轴为轴时，
则椭圆的方程为.
故答案为：BD.
【分析】由题意可知椭圆的长轴与圆柱的直径的关系，进而可得椭圆的长轴长，短轴长等于圆柱的直径，进而可得短轴长即半焦距c的值，进而判断出所给命题的真假
12．【答案】B,C,D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：要使这些曲线上存在点满足，需曲线与的垂直平分线相交．
因为，，所以的中点坐标为，斜率为，
的垂直平分线为，即，
，即与，斜率相同、纵截距不相同，故两直线平行，可知两直线无交点，进而可知A不符合题意．
由与，联立消去得，，可知B中的曲线与的垂直平分线有交点，B符合题意；
与，联立消去得，
，可知C中的曲线与的垂直平分线有交点，C符合题意；
与，联立消去得，
，可知D中的曲线与的垂直平分线有交点，D符合题意；
故答案为：BCD．
【分析】要使这些曲线上存在点P满足|MP|=|NP|，需曲线与MN的垂直平分线相交，根据M， N的坐标求得MN垂直平分线的方程，分别与题设中的方程联立，求解有无交点即可得答案.
13．【答案】4
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】
解：过点A作AC⊥弦BD，垂足为C，连接AB，可得C为BD的中点．
由x2+y2﹣6x﹣2y﹣15=0，得（x﹣3）2+（y﹣1）2=25．
知圆心A为（3，1），r=5．
由点A（3，1）到直线x+2y=0的距离AC= = ．
在直角三角形ABC中，AB=5，AC= ，
根据勾股定理可得BC= = =2 ，
则弦长BD=2BC=4 ．
故答案为：4
【分析】根据圆的方程找出圆心坐标和半径，过点A作AC⊥弦BD，可得C为BD的中点，根据勾股定理求出BC，即可求出弦长BD的长．
14．【答案】
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】由题意，设圆心坐标为，且该圆经过，且，则，即，解得，故半径为，故该圆方程为.
故答案为：
【分析】 利用椭圆的方程求出顶点坐标，然后求出圆心坐标，求出半径，即可得到圆的方程.
15．【答案】－1
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】由题意，点A到准线的距离等于点A到焦点F的距离，从而A到y轴的距离等于点A到焦点F的距离减1．
过焦点F作直线2x+y﹣4＝0的垂线，此时m+n＝|AF|+n﹣1最小，∵F（﹣1，0），
则＝，则m+n的最小值为﹣1．
故答案为：﹣1．
【分析】点A到准线的距离等于点A到焦点F的距离，从而A到y轴的距离等于点A到焦点F的距离减1，过焦点F作直线2x+y-4 =0的垂线，此时m+n=|AF|+n-1最小，根据抛物线方程求得F，进而利用点到直线的距离公式求得m+n的最小值.
16．【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；正弦定理
【解析】【解答】因为在中，由正弦定理得，
则由已知，得，即，，
由双曲线的定义知
，
由双曲线的几何性质知
所以解得
又，故双曲线的离心率
【分析】在中，由正弦定理得，进而根据双曲线定义表示出，，由双曲线的几何性质可知，进而求出求得e的范围.
17．【答案】解：由得两直线的交点为，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，
由点到直线距离公式可得，解得，此时直线的方程为；当直线的斜率不存在时，，点(2，2)到直线的距离等于1，满足条件．
综上，直线的方程为或﹒
【知识点】两条直线的交点坐标；平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】联立两直线方程，求出交点坐标，再由点(2，2)到直线的距离等于1，求出直线的方程．
18．【答案】解：椭圆的焦点为，，如图所示，
要求所作椭圆的长轴最短，即求的最小值，
设关于直线的对称点为，则，即共线时，取得最小值，
设，则有，解得，故，
所以，故直线的方程为，即，
联立，解得，故，
故所求椭圆的长轴，
所以，又，故，
此时椭圆的方程为，
所以的坐标为，此时椭圆的方程为．
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程
【解析】【分析】 要求所作椭圆的长轴最短，即求的最小值，设关于直线的对称点为 ，当 共线时，取得最小值，求出点F，M的坐标，所求椭圆的长轴，求出a，进而求出b，进而求出椭圆的方程，可得点M的坐标.
19．【答案】解：设点的坐标为，
.
当时，即时，取最大值74，
解得，，点坐标为.
当时，即，取最小值34，
解得，，点坐标为．
【知识点】正弦函数的性质；平面内两点间的距离公式
【解析】【分析】利用圆的参数方程，结合两点间的距离公式即可求出d的最大值、最小值及对应的点坐标．
20．【答案】（1）解：设P（x，y）是曲线C上任意一点，那么点P（x，y）满足：
化简得.
（2）解：设过点M（m，0）（m>0）的直线l与曲线C的交点为A，B．
设l的方程为x=ty+m，由得，△=16（+m）>0，
于是①
又．
=+1+<0②
又，于是不等式②等价于
③
由①式，不等式③等价于
④
对任意实数t，的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于
，即．
由此可知，存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有，且m的取值范围．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1) 设P（x，y）是曲线C上任意一点， 然后根据等量关系列方程，整理可得曲线C的方程；
(2)首先由于过点M (m， 0)的直线与开口向右的抛物线有两个交点A、B，则设该直线的方程为x=ty+m (包括无斜率的直线)，与抛物线方程联立方程组，进而通过消元转化为一元二次方程，再根据韦达定理及向量的数量积公式，使 的等价转化，再通过m、t的不等式求出m的取值范围.
21．【答案】（1）解：设双曲线的渐近线方程为，则，
由题可知，，
故双曲线为等轴双曲线，设双曲线的方程为，
由题可知双曲线的一个焦点为，∴c＝，，，
：；
（2）解：设，，
由得，
直线与双曲线左支交于两点，
∴，
，
∴中点为，即，
则直线l的斜率为：，
直线的方程为：，
令，得，
，，
．
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1) 设双曲线的渐近线方程为，利用双曲线C的一个焦点为 ，可得 ，从而可求出双曲线C的方程；
(2) 设，， 直线与双曲线方程联立消去y，利用韦达定理表示出AB中点的坐标，进而表示出直线l的方程，令x=0求得b，再利用二次函数的性质可得截距的取值范围．
22．【答案】解：由题意得，， 所以．
因为， 所以，所以椭圆的方程为．
若四边形是平行四边形，则且.
所以直线的方程为，所以，．
设，．
由，消去整理得，
由，解得．
且，．
所以
．
因为， 所以．
整理得，解得或．
经检验均符合，但时不满足是平行四边形，舍去．
所以或．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】利用已知条件求出a，b，即可得到椭圆的方程， 设，， 直线的方程为得到 ，求出 ，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式转化求解出 的值．
1 / 1黑龙江省绥化市庆安县2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2022高二上·庆安期中）若直线经过两点，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线的倾斜角；斜率的计算公式
【解析】【解答】设直线的倾斜角为，α直线经过两点，所以，
即，
又因为0°≤α＜180°，
所以α=60°
【分析】根据斜率公式即可得即可得到直线的斜率，然后根据斜率和倾斜角的关系即可得到答案.
2．（2021高二上·湖北月考）点 的直线中，被圆 截得的最长弦所在的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】斜率的计算公式；圆的一般方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由题意，圆 ，可得圆心坐标为 ，
要使得直线被圆 截得的弦长最长，则直线必过圆心，
可得直线的斜率为 ，所以直线的方程为 ，
即所求直线的方程为 .
故答案为：A.
【分析】首先把圆的一般方程化为标准方程，由此求出圆心坐标以及半径，然后由已知条件即可得出要使得直线被圆 截得的弦长最长，则直线必过圆心，然后由斜率的坐标公式代入计算出斜率的值，然后结合点斜式即可求出直线的方程。
3．（2018高二上·湘西月考）抛物线 的准线方程是 ，则 的值为（ ）
A． B． C．8 D．-8
【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】 方程 表示的是抛物线, ， ， 抛物线 的准线方程是 ，解得 ，
故答案为：B.
【分析】将抛物线方程转化成标准方程，从而求出抛物线的准线方程，再利用已知的准线方程结合对应法求出a的值。
4．（2022高二上·庆安期中）椭圆的一个焦点是，那么等于（ ）
A．-1 B．1 C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由得，
又因为椭圆的一个焦点是，所以，，
又，所以，解得，
故.
故答案为：A.
【分析】把椭圆化为标准方程，根据题意可得，求解可得k的值.
5．（2022高二上·庆安期中）直线与圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切
【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】圆，即，表示以为圆心、半径等于3的圆．
圆心到直线的距离．
再根据，
而的判别式Δ，
故有，即，故直线和圆相交，
故答案为：B．
【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径r，求出圆心到直线的距离d，再根据而的判别式Δ，求解可得d的范围，可得答案.
6．（2020高二上·南昌月考）椭圆 的两个焦点为 、 ，过 作垂直于 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则 （ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】 ，所以当 时， ，
而 ,所以 ,
故答案为：C.
【分析】利用椭圆的标准方程求出a,b的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，从而求出c的值，从而结合椭圆的标准方程求出两焦点坐标，再利用过 作垂直于 轴的直线，从而求出直线的方程，再利用直线与椭圆相交的位置关系结合椭圆的定义，从而求出的值。
7．（2022高二上·庆安期中）已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为的直线与抛物线C上相交于P，Q两点，且P，Q两点在准线上的投影分别为M，N两点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】依题意可得，过的直线为，
联立，消去并整理得，
设、，
则，，
所以，
所以的面积为.
故答案为：D
【分析】 求出直线PQ的方程，与抛物线 联立，求出P， Q的坐标，得到MN，然后求解三角形的面积，可得答案.
8．（2022高二上·庆安期中）已知双曲线的两个焦点为、，点在双曲线第一象限的图象上，若的面积为1，且，，则双曲线方程为
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：如图，作垂足为，
因为，因为的面积为1，所以
，所以，在直角中，，所以，则，，，又，所以，解得，，所以，，所以，，根据双曲线定义得
，所以，则，，
所以双曲线方程为，即；
故答案为：B
【分析】根据题意，在直角中，可得，在直角中，可得，即可求出c，根据勾股定理结合双曲线的定义可求出a，b，可得双曲线方程.
二、多选题
9．（2022高二上·庆安期中）方程表示的圆，则以下叙述不正确的是（ ）
A．关于直线对称 B．关于直线对称
C．其圆心在轴上，且过原点 D．其圆心在轴上，且过原点
【答案】A,C,D
【知识点】二元二次方程表示圆的条件
【解析】【解答】由题意知，方程表示圆，则有
将方程进行配方可得，圆心坐标为
对A选项，圆心不满足直线方程，故不关于直线对称，所以A错误，符合题意；
对B选项，圆心满足直线方程，故关于直线对称，所以B正确，不符合题意；
对C选项，由可知圆心不可能在轴上所以C错误，符合题意；
对D选项，由可知圆心不可能在轴上所以D错误，符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】将圆的方程化为标准方程，可得圆心坐标和半径，再根据圆方程的性质逐项进行判断，可得答案.
10．（2022高二上·庆安期中）（多选）已知方程表示曲线，则（ ）
A．当时，曲线一定是椭圆
B．当或时，曲线一定是双曲线
C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则
D．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则
【答案】B,D
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】对于A，当时，曲线是圆，A不符合题意；
对于B，当时，曲线是焦点在轴上的双曲线，
当时，曲线是焦点在轴上的双曲线，B符合题意；
对于C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，C不符合题意；
对于D，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，D符合题意．
故答案为：BD．
【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的标准方程，逐项进行判断，可得答案.
11．（2021高二上·定州期中）如图所示，一个底面半径为4的圆柱被与其底面所成的角的平面所截，截面是一个椭圆，则下列正确的是（ ）
A．椭圆的长轴长为8
B．椭圆的离心率为
C．椭圆的离心率为
D．椭圆的一个方程可能为
【答案】B,D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意易知椭圆的短半轴长，
∵截面与底面所成的角为，
∴椭圆的长轴长为，则a=8，
所以，
离心率为，
当建立坐标系以椭圆中心为原点，椭圆的长轴为轴，短轴为轴时，
则椭圆的方程为.
故答案为：BD.
【分析】由题意可知椭圆的长轴与圆柱的直径的关系，进而可得椭圆的长轴长，短轴长等于圆柱的直径，进而可得短轴长即半焦距c的值，进而判断出所给命题的真假
12．（2022高二上·庆安期中）已知两点，，则在下列曲线上存在点满足的方程有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：要使这些曲线上存在点满足，需曲线与的垂直平分线相交．
因为，，所以的中点坐标为，斜率为，
的垂直平分线为，即，
，即与，斜率相同、纵截距不相同，故两直线平行，可知两直线无交点，进而可知A不符合题意．
由与，联立消去得，，可知B中的曲线与的垂直平分线有交点，B符合题意；
与，联立消去得，
，可知C中的曲线与的垂直平分线有交点，C符合题意；
与，联立消去得，
，可知D中的曲线与的垂直平分线有交点，D符合题意；
故答案为：BCD．
【分析】要使这些曲线上存在点P满足|MP|=|NP|，需曲线与MN的垂直平分线相交，根据M， N的坐标求得MN垂直平分线的方程，分别与题设中的方程联立，求解有无交点即可得答案.
三、填空题
13．（2016高二上·自贡期中）直线x+2y=0被曲线x2+y2﹣6x﹣2y﹣15=0所截得的弦长等于 ．
【答案】4
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】
解：过点A作AC⊥弦BD，垂足为C，连接AB，可得C为BD的中点．
由x2+y2﹣6x﹣2y﹣15=0，得（x﹣3）2+（y﹣1）2=25．
知圆心A为（3，1），r=5．
由点A（3，1）到直线x+2y=0的距离AC= = ．
在直角三角形ABC中，AB=5，AC= ，
根据勾股定理可得BC= = =2 ，
则弦长BD=2BC=4 ．
故答案为：4
【分析】根据圆的方程找出圆心坐标和半径，过点A作AC⊥弦BD，可得C为BD的中点，根据勾股定理求出BC，即可求出弦长BD的长．
14．（2022高二上·庆安期中）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴，则该圆的标准方程是 ．
【答案】
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】由题意，设圆心坐标为，且该圆经过，且，则，即，解得，故半径为，故该圆方程为.
故答案为：
【分析】 利用椭圆的方程求出顶点坐标，然后求出圆心坐标，求出半径，即可得到圆的方程.
15．（2022高二上·庆安期中）已知抛物线方程为y2＝﹣4x，直线l的方程为2x+y﹣4＝0，在抛物线上有一动点A，点A到y轴的距离为m，点A到直线l的距离为n，则m+n的最小值为 ．
【答案】－1
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】由题意，点A到准线的距离等于点A到焦点F的距离，从而A到y轴的距离等于点A到焦点F的距离减1．
过焦点F作直线2x+y﹣4＝0的垂线，此时m+n＝|AF|+n﹣1最小，∵F（﹣1，0），
则＝，则m+n的最小值为﹣1．
故答案为：﹣1．
【分析】点A到准线的距离等于点A到焦点F的距离，从而A到y轴的距离等于点A到焦点F的距离减1，过焦点F作直线2x+y-4 =0的垂线，此时m+n=|AF|+n-1最小，根据抛物线方程求得F，进而利用点到直线的距离公式求得m+n的最小值.
16．（2022高二上·庆安期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是 .
【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；正弦定理
【解析】【解答】因为在中，由正弦定理得，
则由已知，得，即，，
由双曲线的定义知
，
由双曲线的几何性质知
所以解得
又，故双曲线的离心率
【分析】在中，由正弦定理得，进而根据双曲线定义表示出，，由双曲线的几何性质可知，进而求出求得e的范围.
四、解答题
17．（2022高二上·庆安期中）若直线经过直线与直线的交点，且点到直线的距离为1，求直线的方程．
【答案】解：由得两直线的交点为，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，
由点到直线距离公式可得，解得，此时直线的方程为；当直线的斜率不存在时，，点(2，2)到直线的距离等于1，满足条件．
综上，直线的方程为或﹒
【知识点】两条直线的交点坐标；平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】联立两直线方程，求出交点坐标，再由点(2，2)到直线的距离等于1，求出直线的方程．
18．（2022高二上·庆安期中）以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？求出坐标，并求出此时的椭圆方程．
【答案】解：椭圆的焦点为，，如图所示，
要求所作椭圆的长轴最短，即求的最小值，
设关于直线的对称点为，则，即共线时，取得最小值，
设，则有，解得，故，
所以，故直线的方程为，即，
联立，解得，故，
故所求椭圆的长轴，
所以，又，故，
此时椭圆的方程为，
所以的坐标为，此时椭圆的方程为．
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程
【解析】【分析】 要求所作椭圆的长轴最短，即求的最小值，设关于直线的对称点为 ，当 共线时，取得最小值，求出点F，M的坐标，所求椭圆的长轴，求出a，进而求出b，进而求出椭圆的方程，可得点M的坐标.
19．（2022高二上·庆安期中）已知，点，，点是圆上的动点，求的最大值、最小值及对应的点坐标．
【答案】解：设点的坐标为，
.
当时，即时，取最大值74，
解得，，点坐标为.
当时，即，取最小值34，
解得，，点坐标为．
【知识点】正弦函数的性质；平面内两点间的距离公式
【解析】【分析】利用圆的参数方程，结合两点间的距离公式即可求出d的最大值、最小值及对应的点坐标．
20．（2022高二上·庆安期中）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1，0)的距离减去它到y轴距离的差都是1
（1）求曲线C的方程.
（2）是否存在正数m，对于过点M(m，0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有 若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：设P（x，y）是曲线C上任意一点，那么点P（x，y）满足：
化简得.
（2）解：设过点M（m，0）（m>0）的直线l与曲线C的交点为A，B．
设l的方程为x=ty+m，由得，△=16（+m）>0，
于是①
又．
=+1+<0②
又，于是不等式②等价于
③
由①式，不等式③等价于
④
对任意实数t，的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于
，即．
由此可知，存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有，且m的取值范围．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1) 设P（x，y）是曲线C上任意一点， 然后根据等量关系列方程，整理可得曲线C的方程；
(2)首先由于过点M (m， 0)的直线与开口向右的抛物线有两个交点A、B，则设该直线的方程为x=ty+m (包括无斜率的直线)，与抛物线方程联立方程组，进而通过消元转化为一元二次方程，再根据韦达定理及向量的数量积公式，使 的等价转化，再通过m、t的不等式求出m的取值范围.
21．（2022高二上·庆安期中）已知焦点在轴上的双曲线的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切，又知的一个焦点与关于直线对称．
（1）求双曲线的方程；
（2）设直线与双曲线的左支交于、两点，另一直线经过及的中点，求直线在轴上的截距的取值范围．
【答案】（1）解：设双曲线的渐近线方程为，则，
由题可知，，
故双曲线为等轴双曲线，设双曲线的方程为，
由题可知双曲线的一个焦点为，∴c＝，，，
：；
（2）解：设，，
由得，
直线与双曲线左支交于两点，
∴，
，
∴中点为，即，
则直线l的斜率为：，
直线的方程为：，
令，得，
，，
．
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1) 设双曲线的渐近线方程为，利用双曲线C的一个焦点为 ，可得 ，从而可求出双曲线C的方程；
(2) 设，， 直线与双曲线方程联立消去y，利用韦达定理表示出AB中点的坐标，进而表示出直线l的方程，令x=0求得b，再利用二次函数的性质可得截距的取值范围．
22．（2022高二上·庆安期中）已知椭圆过点，且离心率为，直线与椭圆交于、两点．若直线上存在点，使得四边形是平行四边形，求的值．
【答案】解：由题意得，， 所以．
因为， 所以，所以椭圆的方程为．
若四边形是平行四边形，则且.
所以直线的方程为，所以，．
设，．
由，消去整理得，
由，解得．
且，．
所以
．
因为， 所以．
整理得，解得或．
经检验均符合，但时不满足是平行四边形，舍去．
所以或．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】利用已知条件求出a，b，即可得到椭圆的方程， 设，， 直线的方程为得到 ，求出 ，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式转化求解出 的值．
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