苏教版（2019）高中数学必修第二册 15.1随机事件和样本空间 教学设计

第十五章　概率
15.1　随机事件和样本空间
本章教材是按“随机事件和样本空间－随机事件的概率－互斥事件和独立事件”的流程编写的，其中“随机事件的概率”一节包含概率的统计定义和古典概型．这种结构安排基于下面的认识：先让学生增加对随机现象的感性认识，在此基础上通过实验操作与生活经验相结合的方式，使学生感受到大量重复进行的随机试验中事件的频率具有稳定性这一特性，再由这种稳定性揭示出的随机现象的内在性质，给出随机事件的概率的概念．接着，由大量重复试验操作的烦琐、成本的昂贵自然引出，自然随机事件的概率是随机现象自身的本质属性的数量体现，那么，能否由随机现象自身的特点求相应的概率呢？进而研究古典概型．这种概率模型因有学生的生活经验作基础，学习难度较小，而有了这样的经验基础，再研究互斥事件、独立事件就更容易进行了．
课程目标 学科素养
1.理解随机试验、样本点与样本空间，会写试验的样本空间. 2.了解随机事件的有关概念，掌握随机事件的表示方法及含义. 3.理解事件的关系与运算． 能够在实际问题中抽象出随机现象与随机事件的概念，能够用样本空间去解释相关问题，发展数学抽象及逻辑推理素养.
1.教学重点：理解随机试验、样本点与样本空间，会写试验的样本空间.
2.教学难点：理解事件的关系与运算．
多媒体调试、讲义分发。
观察几幅图片：
事件一：常温下石头在一天内被风化.
事件二：木柴燃烧产生热量.
事件三：射击运动员射击一次中十环.
问题　以上三个事件一定会发生吗？
提示　事件一在常温下不可能发生，是不可能事件；事件二一定发生，是必然事件；事件三可能发生，也可能不发生，是随机事件.
知识点一　现象、试验、事件
1．现象
2．试验、事件：对于某个现象，如果能让其条件实现1次，那么就是进行了1次试验．而试验的每一种可能的结果都是一个事件．
知识点二　样本空间
样本点：不可能再细分的结果称为样本点．
样本空间：所有样本点组成的集合，记为Ω.
思考　如何确定试验的样本空间？
答案　确定试验的样本空间就是写出试验的所有可能的结果并写成Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}的形式．
知识点三　随机事件
事件类型 定义
随机事件 样本空间的子集，简称事件
必然事件 Ω(全集)
不可能事件 (空集)
基本事件 当一个事件仅包含单一样本点时，称该事件为基本事件
知识点四　事件的关系与运算
1．子事件：事件B发生必导致事件A发生，我们称B是A的子事件．
2．事件的运算
定义 符号 图示
并事件 (或和 事件) 一般地，事件A与事件B至少有一个发生，即为事件C发生 C＝A＋B
交事件 (或积 事件) 一般地，事件A与事件B同时发生，即为事件C发生 C＝AB
一、样本空间的求法
例1　写出下列试验的样本空间：
(1)同时抛掷三枚骰子，记录三枚骰子出现的点数之和；
(2)从含有两件正品a1，a2和两件次品b1，b2的四件产品中任取两件，记录抽出产品的结果；
(3)用红、黄、蓝三种颜色给图中3个正方形随机涂色，每个正方形只涂一种颜色，记录正方形涂色的情况．
解　(1)该试验的样本空间Ω1＝{3,4,5，…，18}．
(2)该试验所有样本点如图所示，
因此，该试验的样本空间为
Ω2＝{a1a2，a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，b1b2}．
(3)如图，
用1,2,3分别表示红色、黄色与蓝色三种颜色，则此试验的样本空间为Ω3＝{(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)}．
反思感悟　写样本空间的关键是找样本点，具体有三种方法
(1)列举法：适用样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏．
(2)列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法．列表法的优点是准确、全面、不易遗漏．
(3)树形图法：适用较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树形图法进行列举．
跟踪训练1　写出下列试验的样本空间：
(1)随意安排甲、乙、丙、丁4人在4天节日中值班，每人值班1天，记录值班的情况；
(2)从一批产品中，依次任选三件，记录出现正品与次品的情况．
解　(1)如图，
设甲、乙、丙、丁分别为1,2,3,4，
所以样本空间Ω1＝{(1,2,3,4)，(1,2,4,3)，(1,3,2,4)，(1,3,4,2)，(1,4,2,3)，(1,4,3,2)，(2,1,3,4)，(2,1,4,3)，(2,3,1,4)，(2,3,4,1)，(2,4,1,3)，(2,4,3,1)，(3,1,2,4)，(3,1,4,2)，(3,2,1,4)，(3,2,4,1)，(3,4,1,2)，(3,4,2,1)，(4,1,2,3)，(4,1,3,2)，(4,2,1,3)，(4,2,3,1)，(4,3,1,2)，(4,3,2,1)}．
(2)设正品为H，次品为T，
样本空间Ω2＝{HHH，HHT，HTH，THH，HTT，TTH，THT，TTT}．
二、随机事件的表示
例2　试验E：甲、乙两人玩出拳游戏(石头、剪刀、布)，观察甲、乙出拳的情况．
设事件A表示随机事件“甲乙平局”；
事件B表示随机事件“甲赢得游戏”；
事件C表示随机事件“乙不输”．
试用集合表示事件A，B，C.
解　设石头为w1，剪刀为w2，布为w3，用(i，j)表示游戏的结果，其中i表示甲出的拳，j表示乙出的拳，则样本空间E＝{(w1，w1)，(w1，w2)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w2，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)，(w3，w2)，(w3，w3)}．
因为事件A表示随机事件“甲乙平局”，
则满足要求的样本点共有3个：(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，
所以事件A＝{(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)}．
事件B表示随机事件“甲赢得游戏”，
则满足要求的样本点共有3个：(w1，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)，
所以事件B＝{(w1，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)}．
因为事件C表示随机事件“乙不输”，
则满足要求的样本点共有6个，
(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，(w2，w1)，(w1，w3)，(w3，w2)，
所以事件C＝{(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w3，w2)}．
反思感悟　对于随机事件的表示，应先列出所有的样本点，然后确定随机事件中含有哪些样本点，这些样本点作为元素表示的集合即为所求．
跟踪训练2　如图，从正方形ABCD的四个顶点及其中心O这5个点中，任取两点观察取点的情况，设事件M为“这两点的距离不大于该正方形的边长”，试用样本点表示事件M.
解　M＝{AB，AO，AD，BC，BO，CD，CO，DO}．
三、事件的运算
例3　盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
求：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
解　(1)对于事件D，可能的结果为：1个红球、2个白球或2个红球、1个白球，故D＝A∪B.
(2)对于事件C，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.
延伸探究
在本例中，设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有一个白球}，那么事件C与B，E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？
解　事件C包括的可能结果有1个红球、2个白球，2个红球、1个白球，3个红球三种情况，故B C，E C，而事件F包括的可能结果有1个白球、2个红球，2个白球、1个红球，3个白球，所以C∩F＝{1个红球、2个白球，2个红球、1个白球}＝D.
反思感悟　事件间的运算方法
(1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．
(2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．
跟踪训练3　在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：
(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；
(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．
解　(1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1 D3，C2 D3，C3 D3，C4 D3.
同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.
且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.
(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，
所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．
同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.
1．下列事件是必然事件的是(　　)
A．从分别标有数字1,2,3,4,5的5张标签中任取一张，得到标有数字4的标签
B．函数y＝logax(a>0且a≠1)为增函数
C．平行于同一条直线的两条直线平行
D．随机选取一个实数x，得2x<0
答案　C
解析　A是随机事件，5张标签都可能被取到；B是随机事件，当a>1时，函数y＝logax为增函数，当00.
2．集合A＝{2,3}，B＝{1,2,4}，从A，B中各任意取一个数，构成一个两位数，则所有样本点的个数为(　　)
A．8 B．9 C．12 D．11
答案　D
解析　从A，B中各任意取一个数，可构成12,21,22,24,42,13,31,23,32,34,43，共11个样本点．
3．(多选)下列试验中，随机事件有(　　)
A．某射手射击一次，射中10环
B．同时掷两枚骰子，都出现6点
C．某人购买福利彩票未中奖
D．若x为实数，则x2＋1≥1
答案　ABC
解析　A，B，C为随机事件，D为必然事件．
4．抛掷3枚硬币，试验的样本点用(x，y，z)表示，集合M表示“既有正面朝上，也有反面朝上”，则M＝_____________________________________________________________
________________________________________________________________________.
答案　{(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)}
解析　试验的样本空间为Ω＝{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}，则M＝{(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)}．
5．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，事件M＝{(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)}，则事件M的含义是______________________．
答案　抛掷一枚质地均匀的骰子两次，向上点数之和为8
辨析随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件，在给定的条件下判断是一定发生(必然事件)，还是不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件).
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