《概率的性质和古典概型》智能提升
课时智能提升
一、选择题
1.从集合中随机选取一个数记为,从集合中随机选取一个数记为,则直线不经过第三象限的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
2.设是从集合中随机取出的一个数,是从集合中随机取出的一个数,构成一个样本点.记“这些样本点中,满足”构成事件,则发生的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.连掷两次骰子分别得到点数m，n，则向量与向量的夹角的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
4.从这四个数中一次随机地取两个数,则其中一个数是另一个数的两倍的概率是_____.
5.为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量,调查人员 到这种动物1200只做过标记后放回,一星期后,调查人员再次逮到该种动物1000只,其中做过标记的有100只,估算保护区有这种动物_____只.
6.名高一学生,25名高二学生和30名高三学生在一起进行座谈,如果任意抽其中1名学生讲话,抽到高一学生的概率是_____,抽到高二学生的概率是抽到高三学生的概率是_____,
三、解答题
7.一个盒中装有编号分别为的四个形状大小完全相同的小球.
(1)从盒中任取两球,列出所有的样本点并求取出的球的编号之和大于5的概率;
（2）从盒中任取一球,记下该球的编号,将球放回,再.从盒中任取一球,记下该球的编号,列出所有的样本点并求的概率.
8.一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共24个,除颜色外完全相同,已知蓝色球3个.若从袋子中随机取出1个球,取到红色球的概率是.
(1)求红色球的个数;
(2)若将这三种颜色的球分别进行编号,并将1号红色球、1号白色球、2号蓝色球和3号蓝色球这四个球装人另一个袋子中,甲乙两人先后从这个袋子中各取一个球(甲先取,取出的球不放回),求甲取出的球的编号比乙的大的概率.
9.一个袋中有4个大小相同的小球,其中红球1个,白球2个,黑球1个,现从袋中有放回地取球,每次随机取一个,求
(1)连续取两次都是白球的概率;
(2)若取一个红球记2分,取一个白球记1分,取一个黑球记0分,连续取三次分数之和为4分的概率.(本小题样本空间包含的样本点总数较多不要求列举,但是所求事件包含的样本点要列举)
参考答案
1.
答案：A
解析:直线不经过第三象限,即取出的两个数记为,则所有可能的情况有(-1,,,,共9种,符合题意的有,
,共2种,所以所求概率为.
2.
答案：B
解析:分别从两个集合中取两个数字,则样本空间包含样本点个，可以列举出满足包含的样本点,即当时,,当时,,4,共有个,根据古典概型的概率公式得到概率是.
3.
答案：A
解析:连掷两次 子得到点数的所有可能结果有,共36个.若两向量夹角,则,所以符合要求的样本点有,,,共15个，所以所求概率为.
二、填空题
4.
答案：
解析:从这四个数中随机取两个数的取法有,共6种,其中一个数是另一个数的两倍的取法有这2种,因此所求概率为.
5.
答案：12000
解析:设保护区内有这种动物只,每只动物被逮到的概率是相同的,,解得.即保护区约有这种动物12000只.
6.
答案：
解析:任意抽取1名学生是等可能事件,样本空间包含的样本点总数为75,记事件分别表示“抽到高一学生"“抽到高二学生”“抽到高三学生”,则它们包含的样本点的个数分别为,故.
三、解答题
7.
答案：见解析
解析：(1)从盒中任取两球包含的样本点有:
,共6个.编号之和大于5包含的样本点有,共2个，故编号之和大于5的概率为.
(2)有放回地连续取球包含的样本点有:
,4),,,共16个.
而包含的样本点有,1),,共6个,所以的概率为.
8.
答案：见解析
解析：(1)设红色球有个,依题意得,解得,故红色球有4个.
(2)记“甲取出的球的编号比乙的大”为事件,
所有的样本点有(红1,白1),(红1,蓝2),(红1,蓝(白1,红1),(白1,蓝2),(白1,蓝3),(蓝2,白1），（蓝2,蓝3），（蓝3,红1），（蓝3,白1），（蓝3,蓝2），共12个，
事件包含的样本点有(蓝2,红1),(蓝2,白1),(蓝3,红1),(蓝3,白1),(蓝3,蓝2),共5个.
所以.
9.
答案：见解析
解析：(1)设连续取两次包含的样本点总数为,包含的样本点如下：
(红,红),(红,白1),(红,白2),(红,黑),(白1,红),(白1,白1)(白1,白2),(白1,黑),(白2,红),(白2,白1),(白2,白2),(白2,黑),(黑,红),(黑,白1),(黑,白2),(黑,黑),故个.
设事件:连续取两次都是白球,包含的样本点有:(白1,白1),(白1,白2),(白2,白1),(白2,白2),共4个.
所以.
（2）设连续取三次的包含的样本点总数为N，包含的样本点如下：
（红,红,红），（红,红,白1），（红,红，白2），（红,红,黑）；
（红,白1,红），（红,白1,白1），……，如此，N=64个.
设事件B：连续取三次分数之和为4分，因为取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，则连续取三次分数之和为4分包含的样本点有:
（红,白1,白1），（红,白1,白2），（红,白2,白1），（红,白2,白2），
（白1,红,白1），（白1,红,白2），（白2,红,白1），（白2,红,白2），
（白1,白1,红），（白1,白2,红），（白2,白1,红），（白2,白2,红），
（红,红,黑），（红,黑,红），（黑,红,红），共15个，
所以.
1 / 5《概率的性质和古典概型》提升训练
一、选择题
1.从集合中随机选取一个数记为,从集合中随机选取一个数记为,则直线不经过第三象限的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
2.设是从集合中随机取出的一个数,是从集合中随机取出的一个数,构成一个样本点.记“这些样本点中,满足”构成事件,则发生的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.连掷两次骰子分别得到点数m，n，则向量与向量的夹角的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
4.从这四个数中一次随机地取两个数,则其中一个数是另一个数的两倍的概率是_____.
5.为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量,调查人员逮到这种动物1200只做过标记后放回,一星期后,调查人员再次逮到该种动物1000只,其中做过标记的有100只,估算保护区有这种动物_____只.
6.20名高一学生,25名高二学生和30名高三学生在一起进行座谈,如果任意抽其中1名学生讲话,抽到高一学生的概率是_____,抽到高二学生的概率是_____,抽到高三学生的概率是_____.
三、解答题
7.一个盒中装有编号分别为的四个形状大小完全相同的小球.
(1)从盒中任取两球,列出所有的样本点并求取出的球的编号之和大于5的概率;
(2)从盒中任取一球,记下该球的编号,将球放回,再.从盒中任取一球,记下该球的编号,列出所有的样本点并求的概率.
8.一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共24个,除颜色外完全相同,已知蓝色球3个.若从袋子中随机取出1个球,取到红色球的概率是.
(1)求红色球的个数;
(2)若将这三种颜色的球分别进行编号,并将1号红色球、1号白色球、2号蓝色球和3号蓝色球这四个球装入另一个袋子中,甲乙两人先后从这个袋子中各取一个球(甲先取,取出的球不放回),求甲取出的球的编号比乙的大的概率.
9.一个袋中有4个大小相同的小球,其中红球1个,白球2个,黑球1个,现从袋中有放回地取球,每次随机取一个,求
(1)连续取两次都是白球的概率;
(2)若取一个红球记2分,取一个白球记1分,取一个黑球记0分,连续取三次分数之和为4分的概率.(本小题样本空间包含的样本点总数较多不要求列举,但是所求事件包含的样本点要列举)
参考答案
1.
答案：A
解析:直线不经过第三象限,即选取出的两个数记为,则所有可能的情况有,共9种,符合题意的有,
,共2种,所以所求概率为.
2.
答案：B
解析:分别从两个集合中取两个数字,则样本空间包含样本点个，可以列举出满足包含的样本点,即当时,,当时,,4,共有个,根据古典概型的概率公式得到概率是.
3.
答案：A
解析：连掷两次骰子得到点数的所有可能结果有,共36个.若两向量夹角,则,所以.符合要求的样本点有,,共15个，所以所求概率为.
二、填空题
4.
答案：
解析:从这四个数中随机取两个数的取法有,共6种,其中一个数是另一个数的两倍的取法有这2种,因此所求概率为.
5.
答案：12000
解析:设保护区内有这种动物只,每只动物被逮到的概率是相同的,,解得.即保护区约有这种动物12000只.
6.
答案：
解析：任意抽取1名学生是等可能事件,样本空间包含的样本点总数为75,记事件分别表示“抽到高一学生”“抽到高二学生”“抽到高三学生”,则它们包含的样本点的个数分别为,故.
三、解答题
7.
答案：见解析
解析：(1)从盒中任取两球包含的样本点有:,共6个.编号之和大于5包含的样本点有,共2个,故编号之和大于5的概率为.
(2)有放回地连续取球包含的样本点有:
,4),,,共16个.
而包含的样本点有,1),,共6个,所以的概率为.
8.
答案：见解析
解析：(1)设红色球有个,依题意得,解得,故红色球有4个.
(2)记“甲取出的球的编号比乙的大”为事件,
所有的样本点有(红1,白1),(红1,蓝2),(红1,蓝),(白1,红1),(白1,蓝2),(白1,蓝3), (蓝2,红1），(蓝2,白1），（蓝2,蓝3），（蓝3,红1），（蓝3,白1），（蓝3,蓝2），共12个，
事件包含的样本点有(蓝2,红1),(蓝2,白1),(蓝3,红1),(蓝3,白1),(蓝3,蓝2),共5个.
所以.
9.
答案：见解析
解析：(1)设连续取两次包含的样本点总数为,包含的样本点如下：
(红,红),(红,白1),(红,白2),(红,黑),(白1,红),(白1,白1)(白1,白2),(白1,黑),(白2,红),(白2,白1),(白2,白2),(白2,黑),(黑,红),(黑,白1),(黑,白2),(黑,黑),故个.
设事件:连续取两次都是白球,包含的样本点有:(白1,白1),(白1,白2),(白2,白1),(白2,白2),共4个.
所以.
（2）设连续取三次的包含的样本点总数为N，包含的样本点如下：
（红,红,红），（红,红,白1），（红,红,白2），（红,红,黑）；（红,白1,红），（红,白1,白1），……，如此，N=64个.
设事件B：连续取三次分数之和为4分，因为取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，则连续取三次分数之和为4分包含的样本点有:
（红,白1,白1），（红,白1,白2），（红,白2,白1），（红,白2,白2），
（白1,红,白1），（白1,红,白2），（白2,红,白1），（白2,红,白2），
（白1,白1,红），（白1,白2,红），（白2,白1,红），（白2,白2,红），
（红,红,黑），（红,黑,红），（黑,红,红），共15个，
所以.
1 / 5《概率的性质和古典概型》基础巩固
课时基础巩固
一、选择题
1.一个家庭有两个小孩,则所有可能的样本点有（ ）
A.(男,女),(男,男),(女,女)
B.(男,女),(女,男)
C.(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)
D.(男,男),(女,女)
2.从这4个数中,有放回地任意取两个数,两个数都是偶数的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.每年3月为学雷锋活动月,某班有青年志愿者5名,其中男生3人,女生2人,现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣传活动,则选出的2名青年志愿者性别相同的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
4.下列概率模型：
①在平面直角坐标系中,从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点;
②某射手射击一次,可能命中0环、1环、2环、…10环;
③某小组有男生5人、女生3人,从中任选1人做演讲;
④一只使用中的灯光的寿命长短.
其中属于古典概型的是_____.
5.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是____.
6.三张卡片上分别写上字母,将三张卡片随机地排成一行,恰好排成英文单词的概率为_____.
三、解答题
7.甲、乙两人做出拳游戏(石头、剪刀、布).
求:(1)平局的概率;(2)甲为的概率;(3)乙 的概率.
8.某数学兴趣小组有男生3名、女生2名.现从中任选2名学生去参加学校数学竞赛.
(1)求参赛学生中恰好有1名男生的概率;
(2)求参赛学生中至少有1名男生的概率.
9.连续抛掷一颗质地均匀的骰子2次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为,第二次出现的点数为.试就方程组解答下列各题：
（1）求方程组只有一组解的概率;
（2）求方程组只有正数解的概率.
参考答案
一、选择题
1.
答案：C
解析:两个孩子出生有先后之分.
2.
答案：B
解析:从这4个数中,有放回地任意取两个数,共有,,3),,,3),(4,4),共16种.
其中满足条件两个数都是偶数的有,(4,4)四种情况,
故从这4个数中,有放回地任意取两个数,两个数都是偶数的概率为.
3.
答案：B
解析:设3名男生用表示,2名女生用表示,从5人中选出2名青年志愿者的情况有,,,,b),,共10种,其中选出的2名志原者性别相同的情况有,共4种,则选出的2名青年志愿者性别相同的概率为.
二、填空题
4.
答案：③
解析:①不属于,原因是所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个,不满足有限性.
②不属于,原因是命中0环、1环、…,10环的概率不一定相同,不满足等可能性.
③属于,原因是满足有限性,且任选1人与学生的性别无关,是等可能的.
④不属于,原因是灯光的寿命是任何一个非负实数,有无限多种可能,不满足有限性.
5.
答案：
解析:①个位数为时,十位数为;
个位数为时,十位数为,共45个.②个位数为0时,十位数为,共5个,所以个位数为0的概率是.
6.
答案：
解析：三张卡片的排列方法有EEB，EBE，BE共3种，则恰好排成英文单词BEE的概率为.
三、解答题
7.
答案：见解析
解析：设平局为事件A，甲赢为事件B，乙赢为事件C.容易得到下图.
（1）平局包含3个样本点（图中的△），.
（2）甲原包含3个样本点(图中的),.
（3）乙原包含3个样本点(图中的※),.
8.
答案：见解析
解析：(1)数学兴趣小组中3名男生分别记为名女生分别记为,从中任选2名学生,
有如下样本点:,共10个样本点,
设“参赛学生中恰好有1名男生”为事件,
则事件包含,共6个样本点,故所求概率为,
(2)设“参赛学生中至少有1名男生”为事件,
则事件包含,共9个样本点,故所求概率为.
9.
答案：见解析
解析：样本空间包含的样本点总数共有36个.
(1)方程组只有一组解,需满足,即.而满足的样本点有,共3个,故满足的样本点有33个.所以方程组只有一组解的概率为.
(2)由方程组可得
方程组只有正数解,需满足且
分两种情况:当时,得当时，得
易得包含的样本点有,,
共13个,因此所求概率为.
1 / 5《概率的性质和古典概型》基础训练
一、选择题
1.一个家庭有两个小孩,则所有可能的样本点有（ ）
A.(男,女),(男,男),(女,女)
B.(男,女),(女,男)
C.(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)
D.(男,男),(女,女)
2.从这4个数中,有放回地任意取两个数,两个数都是偶数的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.每年3月为学雷锋活动月,某班有青年志愿者5名,其中男生3人,女生2人,现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣传活动,则选出的2名青年志愿者性别相同的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
4.下列概率模型：
①在平面直角坐标系中,从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点;
②某射手射击一次,可能命中0环、1环、2环、…、10环;
③某小组有男生5人、女生3人,从中任选1人做演讲;
④一只使用中的灯光的寿命长短.
其中属于古典概型的是_____.
5.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是____.
6.三张卡片上分别写上字母,将三张卡片随机地排成一行,恰好排成英文单词的概率为_____.
三、解答题
7.甲、乙两人做出拳游戏(石头、剪刀、布).
求:(1)平局的概率;(2)甲赢的概率;(3)乙赢的概率.
8.某数学兴趣小组有男生3名、女生2名.现从中任选2名学生去参加学校数学竞赛.
(1)求参赛学生中恰好有1名男生的概率;
(2)求参赛学生中至少有1名男生的概率.
9.连续抛掷一颗质地均匀的骰子2次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为,第二次出现的点数为.试就方程组解答下列各题：
（1）求方程组只有一组解的概率;
（2）求方程组只有正数解的概率.
参考答案
一、选择题
1.
答案：C
解析:两个孩子出生有先后之分.
2.
答案：B
解析:从这4个数中,有放回地任意取两个数,共有(4,4),共16种.
其中满足条件两个数都是偶数的有,(4,4)四种情况,
故从这4个数中,有放回地任意取两个数,两个数都是偶数的概率为.
3.
答案：B
解析:设3名男生用表示,2名女生用表示,从5人中选出2名青年志愿者的情况有,,共10种,其中选出的2名志愿者性别相同的情况有,共4种,则选出的2名青年志愿者性别相同的概率为.
二、填空题
4.
答案：③
解析：①不属于,原因是所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个,不满足有限性.
②不属于,原因是命中0环、1环、…,10环的概率不一定相同,不满足等可能性.
③属于,原因是满足有限性,且任选1人与学生的性别无关,是等可能的.
④不属于,原因是灯光的寿命是任何一个非负实数,有无限多种可能,不满足有限性.
5.
答案：
解析:①个位数为时,十位数为;
个位数为时,十位数为,共45个.②个位数为0时,十位数为,共5个,所以个位数为0的概率是.
6.
答案：
解析：三张卡片的排列方法有EEB，EBE，BEE共3种，则恰好排成英文单词BEE的概率为.
三、解答题
7.
答案：见解析
解析：设平局为事件A，甲赢为事件B，乙赢为事件C.容易得到下图.
（1）平局包含3个样本点（图中的△），.
（2）甲赢包含3个样本点(图中的),.
（3）乙赢包含3个样本点(图中的※),.
8.
答案：见解析
解析：(1)数学兴趣小组中3名男生分别记为名女生分别记为,从中任选2名学生,
有如下样本点:,共10个样本点,设“参赛学生中恰好有1名男生”为事件,
则事件包含共6个样本点,故所求概率为,
(2)设“参赛学生中至少有1名男生”为事件,则事件包含共9个样本点,故所求概率为.
9.
答案：见解析
解析：样本空间包含的样本点总数共有36个.
(1)方程组只有一组解,需满足,即.而满足的样本点有,共3个,故满足的样本点有33个.所以方程组只有一组解的概率为.
(2)由方程组可得
方程组只有正数解,需满足且
分两种情况:当时,得当时，得
易得包含的样本点有,,
共13个,因此所求概率为.
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