《随机事件的概率》核心素养专练
必备知识练
必备知识1 概率的性质
1.下列说法正确的有（ ）
①随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值.
②一次试验中不同的基本事件不可能同时发生.
③任意事件A发生的概率总满足.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
2.下列正确的结论是（ ）
A.事件A的概率的值满足
B.如，则A为必然事件
C.灯泡的合格率是，从一批灯泡中任取一个，这是合格品的可能性为
D.如，则A为不可能事件
必备知识2 古典概型的特征
3.下列概率模型中，古典概型的个数为（ ）
①从区间内任取一个数，求取到1的概率
②从中任取一个整数，求取到1的概率；
③向正方形ABCD内任意投一点P，求点P刚好与点A重合的概率；
④抛掷一枚质地不均匀的骰子，求向上点数为3的概率.
A.1
B.2
C.3
D.4
4.下列试验中，属于古典概型的是（ ）
A.从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率
B.从规格直径为的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径d
C.抛一枚质地均匀的硬币至首次出现正面为止
D.某人射击一次，求射中环数的概率
5.下列试验是古典概型的为（ ）
①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，求每人被选中的概率；
②同时掷两颗骰子，点数和为7的概率；
③近三天中有一天降雨的概率
④10人站成一排，其中甲、乙两人相邻的概率
A.①②
B.②④
C.①②④
D.③④
必备知识3 古典概型概率的计算
6.若将一颗骰子随机掷两次，设前后两次得到的点数分别为x，y，则事件的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
7.从分别写有的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽取的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
8.已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，2件都是合格品的概率为（ ）
A.0.3
B.0.4
C.0.5
D.0.6
9.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如，在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
必备知识4 频率与概率的关系
10.下列关于概率的说法正确的是（ ）
A.频率就是概率
B.任何事件的概率都是在之间
C.概率是客观存在的，与试验次数无关
D.概率是随机的，与试验次数有关
11.若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率，则随着n的逐渐增大，有（ ）
A.与某个常数相等
B.与某个常数的差逐渐减小
C.与某个常数的差的绝对值逐渐减小
D.在某个常数的附近摆动并趋于稳定
12.下列说法正确的是（ ）
A.甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场
B.某医院治疗一种疾病的治愈率为，前19个病人没有治愈，则第20个病人一定治愈
C.随机试验的频率与概率相等
D.天气预报中，预报明天降水概率为，是指降水的可能性是
关键能力练
关键能力1 古典概型的综合应用
13.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
14.如图所示，现有一迷失方向的小青蛙在3处，它每跳动次可以等可能地进入相邻的任意一格（若它在5处，跳动一次只能进入3处；若它在3处，则跳动一次可以等可能地进入1,2,4,5处），则它在第三次跳动后，首次进入5处的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
15.用红、黄、蓝三种不同颜色给下图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则3个矩形颜色都相同的概率是_____，3个矩形颜色都不同的概率是_____.
关键能力2 有放回与无放回的概率
16.从含有两件正品和一件次品的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次.
（1）求取出的两件产品中恰有一件次品的概率;
（2）如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？
17.一个盒子中装有6个完全相同的小球，分别标号为.
（1）一次取出两个小球，求其号码之和能被3整除的概率；
（2）有放回地取球两次，每次取一个，求两个小球号码是相邻整数的概率.
关键能力3 利用古典概型求参数
18.在一个不透明的袋中，装有6个红球和若干个绿球，若再往此袋中放入5个白球（袋中所有球除颜色外完全相同）摇匀后摸出一球，摸到红球的概率恰好为，那么此袋中原有绿球
_____个.
19.为估计池塘中鱼的数量，负责人将50条带有标记的同品种鱼放入池塘，几天后，随机打捞40条鱼，其中带有标记的共5条利用统计与概率知识可以估计池塘中原来有鱼_____条.
关键能力4 古典概型的实际应用
20.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，若双方均不知道对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
21.某区的区大代表中有教师6人，分别来自甲、乙、丙、丁四个学校，其中甲校教师记为，，乙校教师记为，，丙校教师记为C，丁校教师记为D现从这6名教师代表中选出3名教师组成十九大报告宣讲团，要求甲、乙、丙、丁四个学校中，每校至多选出1名.
（1）请列出十九大报告宣讲团组成人员的全部可能结果；
（2）求教师被选中的概率；
（3）求宣讲团中没有乙校教师代表的概率.
关键能力5 古典概型与统计的结合
22.某校高一、高二、高三年级的人数分别是为调查该校同学的学习情况，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本已知从高一年级的同学中抽取8人.
（1）求样本容量n的值和从高二年级抽取的同学的人数；
（2）已知分层抽样时高二年级被抽取的同学中有2名女生，若从高二年级抽取的同学中选出2人参加某活动，求至少有1名女生被选中去参加该活动的概率.
23.海关对同时从三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如下表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
（1）求这6件样品中来自各地区商品的数量；
（2）若从这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进步检测，求抽取的这2件商品来自相同地区的概率.
参考答案
1.
答案：C
解析：由频率与概率的关系知①正确.拋掷一颗骰子出现1点和出现2点是不同的基本事件，在同一次试验中，不可能同时发生，②正确任意事件A发生的概率满足，③错误.
2.
答案：C
解析：因为必然事件的概率为1，所以可排除选项A,B；因为不可能事件的概率为0，所以可排除选项D；根据概率的定义可知，灯泡的合格率是，则从一批灯泡中任取一个是合格品的可能性为.
3.
答案：A
解析：古典概型的特点是样本点的个数是有限的，并且每个基本事件的发生可能性相等.①和③中的样本点是无限的，④中的骰子不均匀，不具有等可能性，故只有②是古典概型.
4.
答案：A
解析：A选项，只有n个等可能的结果，且每条路线被选中的可能性相同，因此是古典概型.B选项，样本点的个数有无限多个，所以不是古典概型.C选项，拋掷次数可能取值有无限多，所以不是古典概型D选项，射击命中环数的概率一般不相等，所以不是古典概型.
5.
答案：C
解析：①②④中样本空间包含的样本点都是有限个，且每个基本事件都是等可能的，符合古典概型的定义和特点③不是古典概型，因为不符合等可能性，受多方面因素影响
6.
答案：A
解析：将一颗骰子随机掷两次，共包含36个样本点，其中包含（1,2），（2,1），（2,3），（3,2），（3,4），（4,3），（4,5），（5,4），（5,6），（6,5）这10个样本点，因此105所求概率为
.
7.
答案：A
解析：从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，包含的样本点总数，抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数包含的样本点有：（1,1），（2,1），（3,1），（4,1），（5,1），（2,2），（3,2），（4,2），（5,2），（3,3），（4,3），（5,3），（4,4），（5,4），（5,5），共有个抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为.
8.
答案：A
解析：设5件产品中2件次品为，剩下的3件合格品为，任取2件产品包含的样本点为，共10种，其中2件都是合格品包含的样本点为：，共3种所以2件都是合格品的概率为=0.3.
9.
答案：D
解析：不超过14的素数有共6个，从这6个素数中任取2个，有2与3，2与5，2与7，2与11，2与13，3与5，3与7，3与11，3与13，5与7，5与11，5与13，7与11，7与13，11与13共15种结果，其中和等于14的只有一组3与11，所以在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为.
10.
答案：C
解析：事件A的频率是指事件A发生的频数与n次试验中事件A出现的次数比.一般来说，随机事件A在每次试验中是否发生是不能预料的，但在大量重复的
试验后,随着试验次数的增加,事件发生的频率会逐 渐稳定在区间的某个常数上,这个常数就是事件发生的概率,故可得:概率是客观存在的,与试验次数无关,故C正确.
11.
答案：D
解析:由频率和概率的关系知,在同等条件下进行次重复试验得到某个事件发生的频率,随着的逐渐增加,频率逐渐趋近于概率.
12.
答案：D
解析:A选项,此概率只说明发生的可能性大小,具有随机性,并非一定是5场胜3场.B选项,此治愈率只说明发生的可能性大小,具有随机性,并非20人一定有1人治愈.C选项,试验的频率可以估计概率,并不等于概率.D选项,概率为,即可能性为.
13.
答案：C
:从中任取3个不同的数,包含有(1,,,共10个样本,点,其中这3个数能构成一组勾股数的只有,所以所求概率为.
14.
答案：A
解析:由题意可知小青蛙三次跳动后的所有情况有，，),,共有16种.
满足题意的有5）,共3种.
由古典概型的概率计算公式可得,青蛙在第三次跳动后,首次进入5处的概率是.
15.
答案：
解析：所有可能的样本点共有27个，如树形图所示：
记“3个矩形颜色都相同”为事件A，由图知，事件A包含的样本点有3个，故.记“3个矩形颜色都不同”为事件B，由图可知，事件B包含的样本点有6个，故.
16.
答案：见解析
解析：（1）每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的样本空间为
，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品.由6个样本点组成，而且可以确定每个基本事件的出现是等可能的用A表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，则.
事件A由4个样本点组成，所以.
（2）有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成的样本空间为
，由9个样本点组成.由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以确定每个基本事件的出现是等可能的用B表示
恰有一件次品”这一事件，则.
事件B由4个样本点组成，所以.
17.
答案：见解析
解析：（1）取出的两个小球号码可能情况为，
，共15种，其号码之和能被3整除的有5种：
故所求概率为
（2）有放回地取球两次，每次取一个，共有6×6=36种结果其中两个小球号码是相邻整数的情况有共10种，
故所求概率为.
18.
答案：4
解析:设此袋中原有绿球个,则原来共有个球,再往此袋中放入5个白球后,共个球,其中红球6个,所以摇匀后摸出一球,摸到红球的概率为,解得,所以原有绿球4个.
19.
答案：350
解析:由题意,设池塘中原来有鱼约条,则由比值相同得,解得,,即池塘中原来约有350条鱼.
20.
答案：D
解析:设齐王的下等马、中等马、上等马分别为,,田忌的下等马、中等马、上等马分别为.齐王与田忌赛马,其情况有:
,齐王获胜；
,齐王获胜；
,齐王获胜;
,齐王获胜;
,田忌获胜；
,齐王获胜,共6种,
其中田忌获胜的只有一种情形,即,,则田忌获胜的概率为.
21.
答案：见解析
解析：(1)从6名教师代表中选出3名教师组成十九大报告宣讲团,组成人员的全部可能结果有12种,分别为
.
(2)组成人员的全部可能结果中,被选中的结果有,共有5种,
所以教师被选中的概率为.
(3)宣讲团中没有乙校代表的结果有,,共2种,
所以宣讲团中没有乙校教师代表的概率为.
22.
答案：见解析
解析：(1)由题意可得,解得,故从高二年级抽取的同学的人数为.
(2)由(1)知,从高二年级抽取的同学人数为7,其中2名女生记为名男生记为,则从这7名同学中任选2人,不同的结果有
,，,,共21种.
至少有1名女生包括:,,,共11种,
故至少有1名女生被选中的概率为.
23.
答案：见解析
解析：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是,所以样本中包含三个地区的个体数量分别是.所以三个地区的商品被选取的件数分别为1,.
(2)设这6件来自三个地区的样品分别为;,则抽取的这2件商品构成的所有样本点为,，
,共15个.每个样品被抽到的机会均等,因此这些样本点的出现是等可能的.记事件为“抽取的这2件商品来自相同地区",则事件包含的样本点有,,共4个,所以.
故这2件商品来自相同地区的概率为.
1 / 13《随机事件的概率》学考达标练
必备知识1 概率的性质
1.下列说法正确的有（ ）
①随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值.
②一次试验中不同的基本事件不可能同时发生.
③任意事件A发生的概率总满足.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
2.下列正确的结论是（ ）
A.事件A的概率的值满足
B.如，则A为必然事件
C.灯泡的合格率是，从一批灯泡中任取一个，这是合格品的可能性为
D.如，则A为不可能事件
必备知识2 古典概型的特征
3.下列概率模型中，古典概型的个数为（ ）
①从区间内任取一个数，求取到1的概率；
②从中任取一个整数，求取到1的概率；
③向正方形ABCD内任意投一点P，求点P刚好与点A重合的概率；
④抛掷一枚质地不均匀的骰子，求向上点数为3的概率.
A.1
B.2
C.3
D.4
4.下列试验中，属于古典概型的是（ ）
A.从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率
B.从规格直径为的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径d
C.抛一枚质地均匀的硬币至首次出现正面为止
D.某人射击一次，求射中环数的概率
5.下列试验是古典概型的为（ ）
①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，求每人被选中的概率；
②同时掷两颗骰子，点数和为7的概率；
③近三天中有一天降雨的概率；
④10人站成一排，其中甲、乙两人相邻的概率.
A.①②
B.②④
C.①②④
D.③④
必备知识3 古典概型概率的计算
6.若将一颗骰子随机掷两次，设前后两次得到的点数分别为x，y，则事件的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
7.从分别写有的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽取的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
8.已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，2件都是合格品的概率为（ ）
A.0.3
B.0.4
C.0.5
D.0.6
9.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如，在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
必备知识4 频率与概率的关系
10.下列关于概率的说法正确的是（ ）
A.频率就是概率
B.任何事件的概率都是在之间
C.概率是客观存在的，与试验次数无关
D.概率是随机的，与试验次数有关
11.若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率，则随着n的逐渐增大，有（ ）
A.与某个常数相等
B.与某个常数的差逐渐减小
C.与某个常数的差的绝对值逐渐减小
D.在某个常数的附近摆动并趋于稳定
12.下列说法正确的是（ ）
A.甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场
B.某医院治疗一种疾病的治愈率为，前19个病人没有治愈，则第20个病人一定治愈
C.随机试验的频率与概率相等
D.天气预报中，预报明天降水概率为，是指降水的可能性是
参考答案
1.
答案：C
解析：由频率与概率的关系知①正确.拋掷一颗骰子出现1点和出现2点是不同的基本事件，在同一次试验中，不可能同时发生，②正确任意事件A发生的概率满足，③错误.
2.
答案：C
解析：因为必然事件的概率为1，所以可排除选项A,B；因为不可能事件的概率为0，所以可排除选项D；根据概率的定义可知，灯泡的合格率是，则从一批灯泡中任取一个是合格品的可能性为.
3.
答案：A
解析：古典概型的特点是样本点的个数是有限的，并且每个基本事件的发生可能性相等.①和③中的样本点是无限的，④中的骰子不均匀，不具有等可能性，故只有②是古典概型.
4.
答案：A
解析：A选项，只有n个等可能的结果，且每条路线被选中的可能性相同，因此是古典概型.B选项，样本点的个数有无限多个，所以不是古典概型.C选项，拋掷次数可能取值有无限多，所以不是古典概型.D选项，射击命中环数的概率一般不相等，所以不是古典概型.
5.
答案：C
解析：①②④中样本空间包含的样本点都是有限个，且每个基本事件都是等可能的，符合古典概型的定义和特点.③不是古典概型，因为不符合等可能性，受多方面因素影响
6.
答案：A
解析：将一颗骰子随机掷两次，共包含36个样本点，其中包含（1,2），（2,1），（2,3），（3,2），（3,4），（4,3），（4,5），（5,4），（5,6），（6,5）这10个样本点，因此所求概率为
.
7.
答案：A
解析：从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，包含的样本点总数，抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数包含的样本点有：（1,1），（2,1），（3,1），（4,1），（5,1），（2,2），（3,2），（4,2），（5,2），（3,3），（4,3），（5,3），（4,4），（5,4），（5,5），共有个.抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为.
8.
答案：A
解析：设5件产品中2件次品为，剩下的3件合格品为，任取2件产品包含的样本点为，共10种，其中2件都是合格品包含的样本点为：,共3种.所以2件都是合格品的概率为.
9.
答案：D
解析：不超过14的素数有共6个，从这6个素数中任取2个，有2与3，2与5，2与7，2与11，2与13，3与5，3与7，3与11，3与13，5与7，5与11，5与13，7与11，7与13，11与13共15种结果，其中和等于14的只有一组3与11，所以在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为.
10.
答案：C
解析：事件A的频率是指事件A发生的频数与n次试验中事件A出现的次数比.一般来说，随机事件A在每次试验中是否发生是不能预料的，但在大量重复的试验后,随着试验次数的增加,事件发生的频率会逐渐稳定在区间的某个常数上,这个常数就是事件发生的概率,故可得:概率是客观存在的,与试验次数无关,故C正确.
11.
答案：D
解析:由频率和概率的关系知,在同等条件下进行次重复试验得到某个事件发生的频率,随着的逐渐增加,频率逐渐趋近于概率.
12.
答案：D
解析:A选项,此概率只说明发生的可能性大小,具有随机性,并非一定是5场胜3场.B选项,此治愈率只说明发生的可能性大小,具有随机性,并非20人一定有1人治愈.C选项,试验的频率可以估计概率,并不等于概率.D选项,概率为,即可能性为.
1 / 6《随机事件的概率》学考达标练
关键能力1 古典概型的综合应用
1.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
2.如图所示，现有一迷失方向的小青蛙在3处，它每跳动一次可以等可能地进入相邻的任意一格（若它在5处，跳动一次只能进入3处；若它在3处，则跳动一次可以等可能地进入1,2,4,5处），则它在第三次跳动后，首次进入5处的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.用红、黄、蓝三种不同颜色给下图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则3个矩形颜色都相同的概率是_____，3个矩形颜色都不同的概率是_____.
关键能力2 有放回与无放回的概率
4.从含有两件正品和一件次品的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次.
（1）求取出的两件产品中恰有一件次品的概率;
（2）如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？
5.一个盒子中装有6个完全相同的小球，分别标号为.
（1）一次取出两个小球，求其号码之和能被3整除的概率；
（2）有放回地取球两次，每次取一个，求两个小球号码是相邻整数的概率.
关键能力3 利用古典概型求参数
6.在一个不透明的袋中，装有6个红球和若干个绿球，若再往此袋中放入5个白球（袋中所有球除颜色外完全相同）摇匀后摸出一球，摸到红球的概率恰好为，那么此袋中原有绿球
_____个.
7.为估计池塘中鱼的数量，负责人将50条带有标记的同品种鱼放入池塘，几天后，随机打捞40条鱼，其中带有标记的共5条.利用统计与概率知识可以估计池塘中原来有鱼_____条.
关键能力4 古典概型的实际应用
8.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，若双方均不知道对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
9.某区的区大代表中有教师6人，分别来自甲、乙、丙、丁四个学校，其中甲校教师记为，，乙校教师记为，，丙校教师记为C，丁校教师记为D.现从这6名教师代表中选出3名教师组成十九大报告宣讲团，要求甲、乙、丙、丁四个学校中，每校至多选出1名.
（1）请列出十九大报告宣讲团组成人员的全部可能结果；
（2）求教师被选中的概率；
（3）求宣讲团中没有乙校教师代表的概率.
关键能力5 古典概型与统计的结合
10.某校高一、高二、高三年级的人数分别是.为调查该校同学的学习情况，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本.已知从高一年级的同学中抽取8人.
（1）求样本容量n的值和从高二年级抽取的同学的人数；
（2）已知分层抽样时高二年级被抽取的同学中有2名女生，若从高二年级抽取的同学中选出2人参加某活动，求至少有1名女生被选中去参加该活动的概率.
11.海关对同时从三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如下表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
（1）求这6件样品中来自各地区商品的数量；
（2）若从这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求抽取的这2件商品来自相同地区的概率.
参考答案
1.
答案：C
解析:从中任取3个不同的数,包含有,,共10个样本点,其中这3个数能构成一组勾股数的只有,所以所求概率为.
2.
答案：A
解析:由题意可知小青蛙三次跳动后的所有情况有，，),,共有16种.
满足题意的有5）,共3种.
由古典概型的概率计算公式可得,青蛙在第三次跳动后,首次进入5处的概率是.
3.
答案：
解析：所有可能的样本点共有27个，如树形图所示：
记“3个矩形颜色都相同”为事件A，由图知，事件A包含的样本点有3个，故.记“3个矩形颜色都不同”为事件B，由图可知，事件B包含的样本点有6个，故.
4.
答案：见解析
解析：（1）每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的样本空间为
，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品.由6个样本点组成，而且可以确定每个基本事件的出现是等可能的用A表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，则.
事件A由4个样本点组成，所以.
（2）有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成的样本空间为
，由9个样本点组成.由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以确定每个基本事件的出现是等可能的.用B表示
“恰有一件次品”这一事件，则.事件B由4个样本点组成，所以.
5.
答案：见解析
解析：（1）取出的两个小球号码可能情况为，
，共15种，其号码之和能被3整除的有5种：,
故所求概率为
（2）有放回地取球两次，每次取一个，共有6×6=36种结果,其中两个小球号码是相邻整数的情况有共10种，
故所求概率为.
6.
答案：4
解析:设此袋中原有绿球个,则原来共有个球,再往此袋中放入5个白球后,共个球,其中红球6个,所以摇匀后摸出一球,摸到红球的概率为,解得,所以原有绿球4个.
7.
答案：350
解析:由题意,设池塘中原来有鱼约条,则由比值相同得,解得,,即池塘中原来约有350条鱼.
8.
答案：D
解析:设齐王的下等马、中等马、上等马分别为,,田忌的下等马、中等马、上等马分别为.齐王与田忌赛马,其情况有:
,齐王获胜；
,齐王获胜；
,齐王获胜;
,齐王获胜;
,田忌获胜；
,齐王获胜,共6种,
其中田忌获胜的只有一种情形,即,,则田忌获胜的概率为.
9.
答案：见解析
解析：(1)从6名教师代表中选出3名教师组成十九大报告宣讲团,组成人员的全部可能结果有12种,分别为
,
,
.
(2)组成人员的全部可能结果中,被选中的结果有,共有5种,
所以教师被选中的概率为.
(3)宣讲团中没有乙校代表的结果有,共2种,
所以宣讲团中没有乙校教师代表的概率为.
10.
答案：见解析
解析：(1)由题意可得,解得,故从高二年级抽取的同学的人数为.
(2)由(1)知,从高二年级抽取的同学人数为7,其中2名女生记为名男生记为,则从这7名同学中任选2人,不同的结果有
,，,,共21种.
至少有1名女生包括:,,,共11种,
故至少有1名女生被选中的概率为.
11.
答案：见解析
解析：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是,所以样本中包含三个地区的个体数量分别是.所以三个地区的商品被选取的件数分别为1,.
(2)设这6件来自三个地区的样品分别为;,则抽取的这2件商品构成的所有样本点为,，
,共15个.每个样品被抽到的机会均等,因此这些样本点的出现是等可能的.记事件为“抽取的这2件商品来自相同地区”,则事件包含的样本点有,,共4个,所以.
故这2件商品来自相同地区的概率为.
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