《互斥事件和独立事件》高考通关练
关键能力1 事件与对立事件的综合
1.某小组有3名男生和2名女生,从中任选出2名同学去参加演讲比赛,有下列4对事件:
①至少有1名男生和至少有1名女生;
②恰有1名男生和恰有2名男生;
③至少有1名男生和全是男生;
④至少有1名男生和全是女生.
其中为互斥事件的序号是_____.
2.同时抛掷两颗骰子,两枚骰子的点数之和可能是2,3,中的一个,记事件为“点数之和是2,4,”,事件为“点数之和是”,事件C为“点数之和大于8”,则事件“点数之和为2或4”可记为（ ）
A.
B.
C.
D.
3.抛掷一颗骰子，记事件A为“落地时向上的点数是奇数”,事件为“落地时向上的点数是偶数”,事件为“落地时向上的点数是3的倍数”,事件为“落地时向上的点数是6或4”,则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ）
A.A与B
B.B与
C.A与
D.C与
关键能力2 相互独立事件的实际应用
4.计算机考试分理论考试与实际操作两部分,每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”,两部分考试都“合格”者,则计算机考试“合格”,并颁发合格证书.甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为,在实际操作考试中“合格”的概率依次为,所有考试是否合格相互之间没有影响.
（1）问甲、乙、丙三人谁获得合格证书的可能性最大
（2）求三人考试后恰有两人获得合格证书的概率.
5.为了丰富业余生活,甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛.比赛规则如下:①每场比赛有两人参加,并决出胜负;②每场比赛获胜的人与未参加此场比赛的人进行下一场的比赛;③依次循环,直到有一个人首先获得两场胜利,则本次比赛结束,此人为本次比赛的冠军.已知在每场比赛中,甲胜乙的概率为,甲胜丙的概率为,乙胜丙的概率为.
（1）求甲和乙先赛且共进行4场比赛的概率;
（2）请通过计算说明,哪两个人进行首场比赛时,甲获得冠军的概率最大
6.如图,用,C三类不同的元件连接成两个系统,,当元件,C都正常工作时,系统正常工作;当元件正常工作且元件至少有一个正常工作时,系统正常工作,已知元件正常工作的概率依次为,分别求系统正常工作的概率(结果精确到0.001.
7.某田径队有三名短跑运动员,根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩合格的概率分别为,若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测.
（1）求三人都合格的概率;
（2）求三人都不合格的概率;
（3）求出现几人合格的概率最大.
关键能力3 相互独立事件与互斥事件综合问题的概率
8.设两个独立事件和都不发生的概率为发生不发生的概率与发生不发生的概率相同,则事件发生的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
9.在奥运知识有奖问答竞赛中,甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题,已知甲答对这道题的概率是,甲、乙两人都回答错误的概率是,乙、丙两人都回答正确的概率是.设每人回答问题正确与否是相互独立的.
（1）求乙答对这道题的概率;
（2）求甲、乙、丙三人中,至少有一人答对这道题的概率.
10.小威初三参加某高中学校的数学自主招生考试,这次考试由十道选择题组成,得分要求是:做对一道题得1分,做错一道题扣去1分,不做得0分,总得分7分就算及格,小威的目标是至少得7分获得及格,在这次考试中,小威确定他做的前六题全对,记6分,而他做余下的四道题中,每道题做对的概率均为,考试中,小威思量:从余下的四道题中再做一题并且及格的概率;从余下的四道题中恰做两道并且及格的概率,他发现,只做一道更容易及格.
（1）设小威从余下的四道题中恰做三道并且及格的概率为,从余下的四道题中全做并且及格的概率为,求及;
（2）由于的大小影响,请你帮小威讨论:小威从余下的四道题中恰做几道并且及格的概率最大
11.某校举办的数学嘉年华活动中,设计了如下有奖闯关游戏:参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关,若闯关成功,分别获得5个学豆、10个学豆、20个学豆的奖励,游戏还规定,当选手闯过一关后,可以选择带走相应的学豆,结束游戏;也可以选择继续闯下一关,若有任何一关，若有任何一没有闯关成功,则全部学豆归零,游率分别为,选手选择继续闯关的概率均为,且各关之间闯关成功互不影响.
（1）求选手获得5个学豆的概率;
（2）求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率.
参考答案
1.
答案：②④
解析:互斥事件是指不能同时发生的事件.
①至少有1名男生和至少有1名女生,不是互斥事件,当选出的2个人正好是1名男生和1名女生时,这两个事件同时发生了.
②恰有1名男生和恰有2名男生,这两个事件不能同时发生,故是互斥事件.
③至少有1名男生和全是男生,不是互斥事件,因为“至少有1名男生”包含了“全是男生”的情况.
④至少有1名男生和全是女生,是互斥事件,因为这两个事件不能同时发生.故答案为②④.
2.
答案：C
解析:因为事件点数之和为,事件点数之和为,所以点数之和为,又点数之和为,所以.
3.
答案：C
解析:与互斥且对立;与有可能同时发生,即出现6,从而不互斥;与不会同时发生,从而与互斥,又因为还可能出现2,故与不对立;与有可能同时发生,从而不互斥.
4.
答案：见解析
解析：(1)设“甲获得合格证书”为事件,“乙获得合格证书”为事件,“丙获得合格证书”为事件,则.因为,所以丙获得合格证书的可能性最大.
(2)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件,
则.
5.
答案：见解析
解析：(1)设事件为“甲和乙先赛且共进行4场比赛”,则有两种情况：
第一种是甲和乙比赛,甲胜乙,再甲与丙比赛,丙胜甲,再丙与乙比赛,乙胜丙,再进行第四场比赛;
第二种是甲和乙比赛,乙胜甲,再乙与丙比赛,丙胜乙,再丙与甲比赛,甲胜丙,再进行第四场比赛.
故所求概率为，
所以甲和乙先赛且共进行4场比赛的概率为.
（2）设事件表示甲与乙先赛且甲获得冠军;事件表示甲与丙先赛且甲获得冠军;事件表示乙与丙先赛且甲获得冠军,
则；
；
；
因为,
所以甲与乙进行首场比赛时,甲获得冠军的概率最大.
6.
答案：见解析
解析：记元件正常工作分别为事件,则.由已知分析得到正常工作需要同时正常工作,正常工作需要正常工作,至少有一个正常工作,则;
.
7.
答案：见解析
解析：记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件,,显然事件相互独立,则.
设恰有人合格的概率为.
(1)三人都合格的概率为.
(2)三人都不合格的概率为.
(3)恰有两人合格的概率为.
恰有一人合格的概率为.
综合可知最大.
所以出现恰有一人合格的概率最大.
8.
答案：D
解析:由得,即,所以.又,所以.
9.
答案：见解析
解析：(1)记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件,,
设乙答对这道题的概率为,
由于每人回答问题正确与否是相互独立的,因此,是相互独立事件.
由题意,并根据相互独立事件同时发生的概率公式,得,解得.所以乙答对这道题的概率为.
(2)设“甲、乙、丙三人中,至少有一人答对这道题”为事件,丙答对这道题的概率,由(1),并根据相互独立事件同时发生的概率公式,得,解得.甲、乙、丙三人都回答错误的概率为.
因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中,至少有一人答对这道题”是对立事件,所以,所求事件概率为.
10.
答案：见解析
解析：(1)由题意得：
，
，
(2)①若且,则得;
②若且,则得;
③若且,无解.
综上,当时，恰做一道及格概率最大；
当时,,恰做一道或三道及格概率最大；
当时,恰做三道及格概率最大.
11.
答案：见解析
解析：（1）选手获得5个学豆的概率为.
（2）设甲“第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件A，“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件,
“前两关那关成功第三关闯关失败”为事件,则,互斥,
，
选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率为.
1 / 7《互斥事件和独立事件》核心养专练
必备知识练
必备知识1 事件和对立事件的判断
1.下列各组事件中，不是互斥事件的是（ ）
A.一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6
B.统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数低于90分与平均分数高于90分
C.播种菜籽100粒，发芽90粒与至少发芽80粒
D.检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70%
2.某战士在打靶中，连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是_____.
3.把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是_____.(请填入正确的序号)
①对立事件 ②不可能事件 ③互斥但不对立事件.
4.把红桃、黑桃、方块、梅花四张纸牌随机发给甲、乙、丙、丁四个人,每人分得一张,事件“甲分得梅花”与事件“乙分得梅花”是事件_____.(填“对立”“不可能”“互斥”"互斥事件,但不是对立”中的一个）
必备知识2 互斥事件和对立事件概率的计算
5.在某段时间内,甲地下雨的概率是,则甲地不下雨的概率是（ ）
A.
B.0.3
C.0.5
D.0.7
6.2020年初,我国突发新冠肺炎疫情.面对“突发灾难”,举国上下一心,继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉,各省医疗队也陆续增援,纷纷投身疫情防控与病人救治之中.为分担“逆行者”的后顾之忧,某校教师志愿者团队开展“爱心辅学”活动,为抗疫前线工作者子女在线辅导功课.现随机安排甲、乙两位志愿者为1位小学生辅导功课共4次,每位志愿者至少辅导1次,每次由1位志愿者辅导,则甲至少辅导2次的概率为
A.
B.
C.
D.
7.某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率如下：
则至少有两人排队的概率为（ ）
A.
B.
C.0.56
D.
必备知识3 相互独立事件的判断
8.下列各对事件中,不互为相互独立事件的是（ ）
A.掷一颗骰子一次,事件“出现偶数点”;事件“出现3点或6点”
B.袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球,依次有放回地摸两球,事件“第一次摸到白球”,事件“第二次摸到白球”
C.袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球,依次不放回地摸两球,事件“第一次摸到白球”,事件“第二次摸到黑球”
D.甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生,现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,事件“从甲组中选出1名男生”,事件“从乙组中选出1名女生”
9.有以下三个问题:
①掷一颗骰子一次,事件:“出现的点数为奇数”,事件:“出现的点数为偶数”;
②袋中有3白、2黑,5个大小相同的小球,依次不放回地摸两球,事件:“第1次摸到白球”,事件:“第2次摸到白球”;
③分别抛掷2枚相同的硬币,事件:“第1枚为正面”,事件“两枚结果相同”.这三个问题中,是相互独立事件的有（ ）
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
10.设为两个随机事件,给出以下命题：
(1)若为互斥事件,且,则;
(2)若,则为相互独立竞件;
(3)若,则为相互独立事件;
(4)若,则为相互独立事件;
(5)若,则为相互独立事件.
其中正确命题的个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
必备知识4 独立事件概率的计算
11.某大学选拔新生补充进“篮球”子竞技”“国学”三个社团,据资料统计,新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2019年某新生入学,假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团的概率依次为,已知三个社团他都能进入的概率为,至少进入一个社团的概率为,且,则（ ）
A.
B.
C.
D.
12.某地有四人先后感染了传染性肺炎,其中只有到过 区,确实是由感染的.对于难以判断是由或是由感染的,于是假定他是由和感染的概率都是.同样也假定由和感染的概率都是,在这种假定下,中都是由感染的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
13.甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为和,两人同时参加测试,其中有且只有一人能通过的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.1
14.甲、乙、丙三人参加一次考试,他们合格的概率分别为,那么三人中恰有两人合格的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
关键能力练
关键能力1 事件与对立事件的综合
15.某小组有3名男生和2名女生,从中任选出2名同学去参加演讲比赛,有下列4对事件:
①至少有1名男生和至少有1名女生;
②恰有1名男生和恰有2名男生;
③至少有1名男生和全是男生;
④至少有1名男生和全是女生.
其中为互斥事件的序号是_____.
16.同时抛掷两颗骰子,两枚骰子的点数之和可能是2,3,中的一个,记事件为“点数之和是2,4,”事件为“点数之和是于8”则事件“点数之和为2或4”可记为（ ）
A.
B.
C.
D.
17.抛掷一颗骰子，记事件A为“落地时向上的点数是奇数”,事件为“落地时向上的点数是偶数”,事件为“落地时向上的点数是3的倍数”,事件为“落地时向上的点数是6或4",则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ）
A.A与
B.与
C.A与
D.C与
关键能力2 相互独立事件的实际应用
18.计算机考试分理论考试与实际操作两部分,每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”,两部分考试都“合格”者,则计算机考试“合格”,并颁发合格证书.甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为,在实际操作考试中“合格”的概率依次为,所有考试是否合格相互之间没有影响.
（1）问甲、乙、丙三人谁获得合格证书的可能性最大
（2）人考试后恰有两人获得合格证书的概率.
19.为了丰富业余生活,甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛.比赛规则如下:①每场比赛有两人参加,并决出胜负;②每场比赛获胜的人与人参加此场比赛的人进行下一场的比赛;③依次循环,直到有一个人首先获得两场胜利,则本次比赛结束,此人为本次比赛的冠军.已知在每场比赛中,甲胜乙的概率为,甲胜丙的概率为,乙胜丙的概率为.
（1）求甲和乙先赛且共进行4场比赛的概率;
（2）请通过计算说明,哪两个人进行首场比赛时,甲获得冠军的概率最大
20.如图,用,C三类不同的元件连接成两个系统,,当元件,C都正常工作时,系统正常工作;当元件正常工作且元件至少有一个正常工作时,系统正常工作,已知元件正常工作的概率依次为,分别求系统正常工作的概率(结果精确到0.001.
21.某田径队有三名短跑运动员,根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩合格的概率分别为,若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测.
（1）求三人都合格的概率;
（2）求三人都不合格的概率;
（3）求出现几人合格的概率最大.
关键能力3 相互独立事件与互斥事件综合问题的概率
22.设两个独立事件和都不发生的概率为发生不发生的概率与发生不发生的概率相同,则事件发生的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
23.在奥运知识有奖问答竞赛中,甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题,已知甲答对这道题的概率是,甲、乙两人都回答错误的概率是,乙、丙两人都回答正确的概率是.设每人回答问题正确与否是相互独立的.
（1）求乙答对这道题的概率;
（2）求甲、乙、丙三人中,至少有一人答对这道题的概率.
24.小威初三参加某高中学校的数学自主招生考试,这次考试由十道选择题组成,得分要求是:做对一道题得1分,做错一道题扣去1分,不做得0分,总得分7分就算及格,小威的目标是至少得7分获得及格,在这次考试中,小威确定他做的前六题全对,记6分,而他做余下的四道题中,每道题做对的概率均为,考试中,小威思量:从余下的四道题中再做一题并且及格的概率;从余下的四道题中恰做两道并且及格的概率,他发现,只做一道更容易及格.
（1）设小威从余下的四道题中恰做三道并且及格的概率为,从余下的四道题中全做并且及格的概率为,求及;
（2）由于的大小影响,请你帮小威讨论:小威从余下的四道题中恰做几道并且及格的概率最大
25.某校举办的数学嘉年华活动中,设计了如下有奖闯关游戏:参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关,若闯关成功,分别获得5个学豆、10个学豆、20个学豆的奖励,游戏还规定,当选手闯过一关后,可以选择带走相应的学豆,结束游戏;也可以选择继续闯下一关,若有任何一关，若有任何一没有闯关成功,则全部学豆归零,游率分别为,选手选择继续闯关的概率均为,且各关之间闯关成功互不影响.
（1）求选手获得5个学豆的概率;
（2）求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率.
参考答案
1.
答案：C
2.
答案：两次都不中靶
解析:根据对立事件的定义可得事件“至少有一次中靶”的对立事件是:“两次都不中为”.
3.
答案：（3）
解析:把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人,每个人分得1张,事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不能同时发生,但能同时不发生,∴事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件.
4.
答案：互斥事件,但不是对立
解析:红桃、黑桃、方块、梅花四张纸牌随机发给甲、乙、丙、丁四个人,每人分得一张,
事件“甲分得梅花”与事件“乙分得梅花”不能同时发生,但能同时不发生,
事件“甲分得梅花”与事件“乙分得梅花”是互斥事件，但不是对立事件.
5.
答案：D
解析:因为甲地下雨的概率是,所以甲地不下雨的概率是.
6.
答案：A
解析:甲、乙两位志愿者为1位小学生辅导功课共4次,每位志愿者至少辅导1次,每次由1位志愿者辅导,相当于每天从2人中选一人,且每人至少被选一次的选法有种,
则甲只辅导1次的事件有甲乙乙乙、乙甲乙乙、乙乙甲乙、乙乙乙甲共4种安排法.
所以甲至少辅导2次的概率为.
7.
答案：D
解析:由某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率表,得:至少有两人排队的概率为.
8.
答案：C
解析：对于选项,事件发生与否不影响发生的概率,同时,事件发生与否不影响发生的概率,则事件与事件是相互独立事件;对于选项,袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球,依次有放回地摸两球,事件“第一次摸到白球”,事件“第二次摸到白球”,则事件发生与否不影响发生的概率,同时,事件发生与否不影响发生的概率,则事件与事件是相互独立事件;对于选项,袋中有3白、2黑,5个大小相同的小球,依次不放回地摸两球,事件“第一次摸到白球",事件“第二次摸到黑球”,则事件发生与否影响事件发生的概率,故事件与事件不是相互独立事件;对于选项,甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生,现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,事件“从甲组中选出1名男生”,事件“从乙组中选出1名女生”,则事件发生与否不影响发生的概率,同时,事件发生与否不影响发生的概率,则事件与事件是相互独立事件.
9.
答案：C
解析：在①中，掷一颗骰子一次，事件M:“出现的点数为奇数”,事件“出现的点数为偶数”,事件发生与否影响事件件,故①不成立;
在②中,袋中有3白、2黑,5个大小相同的小球,依次不放回地摸两球,事件:“第1次摸到白球”,事件:“第2次摸到白球",事件发生与否影响事件发生的概率,故与不是相互独立事件,故②不成立;在③中,分别拗掷2枚相同的硬币,事件:“第1枚为正面”,事件“两枚结果相同”.事件发生与否不影响事件发生的概率,事件发生与否不影响事件发生的概率,故事件与是相互独立事件,故③成立.
10.
答案：D
解析:在(1)中,若为互斥事件,且,,则,故(1)正确;在(2)中,若,则由相互独立事件的概率乘法公式知为相互独立事件,故(2)正确;
在(3)中,若,则由对立事件概率计算公式和相互独立事件的概率乘法公式知为相互独立事件,故(3)正确;在(4)中,若,当为相互独立事件时,,故（4）错误;
(5)若,则由对立事件概率计算公式和相互独立事件的概率乘法公式知为相互独立事件,故(5)正确.
11.
答案：C
解析：由题知三个社团都能进入的概率为，即.
又因为至少进入一个社团的概率为,即一个社团都没能进入的概率为,即,整理得.
12.
答案：A
解析:某地有四人先后咸染了传染性肺炎,其中只有到过疫区,确实是由感染的.对于难以判断是由或是由感染的,于是假定他是由和感入的概率都是,同样也假定由和感入的概率都是在这种假定中都是由感染的概率为.
13.
答案：C
解析:设事件表示“甲通过听力测试”,事件表示“乙通过听力测试”.依题意知,事件和相互独立,且.
记“有且只有一人通过听力测试”为事件,则,且和互斥.
故.
14.
答案：B
解析:由题意知三人中恰有两人合格,包括三种情况,这三种情况是互斥的,∴三人中恰有两人合格的概率为.
15.
答案：②④
解析:互斥事件是指不能同时发生的事件.
①至少有1名男生和至少有1名女生,不是互斥事件,当选出的2个人正好是1名男生和1名女生时,这两个事件同时发生了.
②恰有1名男生和恰有2名男生,这两个事件不能同时发生,故是互斥事件.
③至少有1名男生和全是男生,不是互斥事件,因为“至少有1名男生”包含了“全是男生”的情况.
④至少有1名男生和全是女生,是互斥事件,因为这两个事件不能同时发生.故答案为②④.
16.
答案：C
解析:因为事件点数之和为,事件点数之和为,所以点数之和为,又点数之和为,所以.
17.
答案：C
解析:与互斥且对立;与有可能同时发生,
即出现6,从而不互斥;与不会同时发生,从而与互斥,又因为还可能出现2,故与不对立;与有可能同时发生,从而不互斥.
18.
答案：见解析
解析：(1)设“甲获得合格证书”为事件,"乙获得合格证书”为事件,"丙获得合格证书”为事件,则.
因为,所以丙获得合格证书的可能性最大.
(2)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件,
则.
19.
答案：见解析
解析：(1)设事件为“甲和乙先赛且共进行4场比赛”,则有两种情况：
第一种是甲和乙比赛,甲胜乙,再甲与丙比赛,丙胜甲,再丙与乙比赛,乙胜丙,再进行第四场比赛;
第二种是甲和乙比赛,乙胜甲,再乙与丙比赛,丙胜乙,再丙与甲比赛,甲胜丙,再进行第四场比赛.
故所求概率为，
所以甲和乙先赛且共进行4场比赛的概率为.
（2）设事件表示甲与乙先赛且甲获得冠军;事件表示甲与丙先赛且甲获得冠军;事件表示乙与丙先赛且甲获得冠军,
则；
；
；
因为,
所以甲与乙进行首场比赛时,甲获得冠军的概率最大.
20.
答案：见解析记元件正常工作分别为事件,则.由已知分析得到正常工作需要同时正常工作,正常工作需要正常工作,至少有一个正常工作,则;
.
21.
答案：见解析
解析：记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件,,显然事件相互独立,则.
设恰有人合格的概率为.
（1）三人都合格的概率为.
(2)三人都不合格的概率为.
(3)恰有两人合格的概率为.
恰有一人合格的概率为.
综合可知最大.
所以出现恰有一人合格的概率最大.
22.
答案：D
解析:由 .,即,所.\,所以.
23.
答案：见解析
解析：(1)记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件,,
设乙答对这道题的概率为,
由于每人回答问题正确与否是相互独立的,因此,是相互独立事件.
由题意,并根据相互独立事件同时发生的概率公式,得,解得.
所以乙答对这道题的概率为.
（2）设“甲、乙、丙三人中,至少有一人答对这道题”为事件,丙答对这道题的概率,由（1）,并根据相互独立事件同时发生的概率公式,得,解得.甲、乙、丙三人都回答错误的概率为..
因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中,至少有一人答对这道题"是对立事件,
所以,所求事件概率为.
24.
答案：见解析
解析：(1)由题意得：
，
，
（2）②若且,则得;
②若且,则得;
③若且,无解.
综上,当时，恰做一道及格概率最大；
当时,,恰做一道或三道及格概率最大；
当时,恰做三道及格概率最大.
25.
答案：见解析
解析：（1）选手获得5个学豆的概率为.
（2）设甲“第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件A，“第一关闯关成功第二关 关失败"为事件,
“前两关那关成功第三关闯关失败”为事件,则,互斥,
，
选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率为.
1 / 14《互斥事件和独立事件》学考达标练
必备知识1 事件和对立事件的判断
1.下列各组事件中，不是互斥事件的是（ ）
A.一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6
B.统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数低于90分与平均分数高于90分
C.播种菜籽100粒，发芽90粒与至少发芽80粒
D.检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70%
2.某战士在打靶中，连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是_____.
3.把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是_____.(请填入正确的序号)
①对立事件 ②不可能事件 ③互斥但不对立事件.
4.把红桃、黑桃、方块、梅花四张纸牌随机发给甲、乙、丙、丁四个人,每人分得一张,事件“甲分得梅花”与事件“乙分得梅花”是_____事件.(填“对立”“不可能”“互斥”“互斥事件,但不是对立”中的一个）
必备知识2 互斥事件和对立事件概率的计算
5.在某段时间内,甲地下雨的概率是,则甲地不下雨的概率是（ ）
A.
B.0.3
C.0.5
D.0.7
6.2020年初,我国突发新冠肺炎疫情.面对“突发灾难”,举国上下一心,继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉,各省医疗队也陆续增援,纷纷投身疫情防控与病人救治之中.为分担“逆行者”的后顾之忧,某校教师志愿者团队开展“爱心辅学”活动,为抗疫前线工作者子女在线辅导功课.现随机安排甲、乙两位志愿者为1位小学生辅导功课共4次,每位志愿者至少辅导1次,每次由1位志愿者辅导,则甲至少辅导2次的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
7.某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率如下：
则至少有两人排队的概率为（ ）
A.
B.
C.0.56
D.
必备知识3 相互独立事件的判断
8.下列各对事件中,不互为相互独立事件的是（ ）
A.掷一颗骰子一次,事件“出现偶数点”;事件“出现3点或6点”
B.袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球,依次有放回地摸两球,事件“第一次摸到白球”,事件“第二次摸到白球”
C.袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球,依次不放回地摸两球,事件“第一次摸到白球”,事件“第二次摸到黑球”
D.甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生,现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,事件“从甲组中选出1名男生”,事件“从乙组中选出1名女生”
9.有以下三个问题:
①掷一颗骰子一次,事件:“出现的点数为奇数”,事件:“出现的点数为偶数”;
②袋中有3白、2黑,5个大小相同的小球,依次不放回地摸两球,事件:“第1次摸到白球”,事件:“第2次摸到白球”;
③分别抛掷2枚相同的硬币,事件:“第1枚为正面”,事件“两枚结果相同”.这三个问题中,是相互独立事件的有（ ）
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
10.设为两个随机事件,给出以下命题：
(1)若为互斥事件,且,则;
(2)若,则为相互独立事件;
(3)若,则为相互独立事件;
(4)若,则为相互独立事件;
(5)若,则为相互独立事件.
其中正确命题的个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
必备知识4 独立事件概率的计算
11.某大学选拔新生补充进“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团,据资料统计,新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2019年某新生入学,假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团的概率依次为,已知三个社团他都能进入的概率为,至少进入一个社团的概率为,且,则（ ）
A.
B.
C.
D.
12.某地有四人先后感染了传染性肺炎,其中只有到过疫区,确实是由感染的.对于难以判断是由或是由感染的,于是假定他是由和感染的概率都是.同样也假定由和感染的概率都是,在这种假定下,中都是由感染的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
13.甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为和,两人同时参加测试,其中有且只有一人能通过的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.1
14.甲、乙、丙三人参加一次考试,他们合格的概率分别为,那么三人中恰有两人合格的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
参考答案
1.
答案：C
2.
答案：两次都不中靶
解析:根据对立事件的定义可得事件“至少有一次中靶”的对立事件是:“两次都不中为靶”.
3.
答案：（3）
解析:把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人,每个人分得1张,事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不能同时发生,但能同时不发生,∴事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件.
4.
答案：互斥事件,但不是对立
解析：红桃、黑桃、方块、梅花四张纸牌随机发给甲、乙、丙、丁四个人,每人分得一张,
事件“甲分得梅花”与事件“乙分得梅花”不能同时发生,但能同时不发生,
事件“甲分得梅花”与事件“乙分得梅花”是互斥事件，但不是对立事件.
5.
答案：D
解析:因为甲地下雨的概率是,所以甲地不下雨的概率是.
6.
答案：A
解析:甲、乙两位志愿者为1位小学生辅导功课共4次,每位志愿者至少辅导1次,每次由1位志愿者辅导,相当于每天从2人中选一人,且每人至少被选一次的选法有种,
则甲只辅导1次的事件有甲乙乙乙、乙甲乙乙、乙乙甲乙、乙乙乙甲共4种安排法.
所以甲至少辅导2次的概率为.
7.
答案：D
解析:由某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率表,得:至少有两人排队的概率为.
8.
答案：C
解析：对于选项,事件发生与否不影响发生的概率,同时,事件发生与否不影响发生的概率,则事件与事件是相互独立事件;对于选项,袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球,依次有放回地摸两球,事件“第一次摸到白球”,事件“第二次摸到白球”,则事件发生与否不影响发生的概率,同时,事件发生与否不影响发生的概率,则事件与事件是相互独立事件;对于选项,袋中有3白、2黑,5个大小相同的小球,依次不放回地摸两球,事件“第一次摸到白球",事件“第二次摸到黑球”,则事件发生与否影响事件发生的概率,故事件与事件不是相互独立事件;对于选项,甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生,现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,事件“从甲组中选出1名男生”,事件“从乙组中选出1名女生”,则事件发生与否不影响发生的概率,同时,事件发生与否不影响发生的概率,则事件与事件是相互独立事件.
9.
答案：C
解析：在①中，掷一颗骰子一次，事件M:“出现的点数为奇数”,事件“出现的点数为偶数”,事件发生与否影响事件件,故①不成立;
在②中,袋中有3白、2黑,5个大小相同的小球,依次不放回地摸两球,事件:“第1次摸到白球”,事件:“第2次摸到白球",事件发生与否影响事件发生的概率,故与不是相互独立事件,故②不成立;在③中,分别拗掷2枚相同的硬币,事件:“第1枚为正面”,事件“两枚结果相同”.事件发生与否不影响事件发生的概率,事件发生与否不影响事件发生的概率,故事件与是相互独立事件,故③成立.
10.
答案：D
解析:在(1)中,若为互斥事件,且,,则,故(1)正确;在(2)中,若,则由相互独立事件的概率乘法公式知为相互独立事件,故(2)正确;
在(3)中,若,则由对立事件概率计算公式和相互独立事件的概率乘法公式知为相互独立事件,故(3)正确;在(4)中,若,当为相互独立事件时,,故（4）错误;
(5)若,则由对立事件概率计算公式和相互独立事件的概率乘法公式知为相互独立事件,故(5)正确.
11.
答案：C
解析：由题知三个社团都能进入的概率为，即.
又因为至少进入一个社团的概率为,即一个社团都没能进入的概率为,即,整理得.
12.
答案：A
解析:某地有四人先后咸染了传染性肺炎,其中只有到过疫区,确实是由感染的.对于难以判断是由或是由感染的,于是假定他是由和感入的概率都是,同样也假定由和感入的概率都是在这种假定中都是由感染的概率为.
13.
答案：C
解析:设事件表示“甲通过听力测试”,事件表示“乙通过听力测试”.依题意知,事件和相互独立,且.
记“有且只有一人通过听力测试”为事件,则,且和互斥.
故.
14.
答案：B
解析:由题意知三人中恰有两人合格,包括三种情况,这三种情况是互斥的,∴三人中恰有两人合格的概率为.
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