《互斥事件和对立事件》基础训练
一、选择题
1.一个人连续射击三次,则事件“至少击中两次”的对立事件是（ ）
A.恰有一次击中
B.三次都没击中
C.三次都击中
D.至多击中一次
2.某人射击一次,设事件:“击中环数小于4”;事件:“击中环数大于”;事件C：“击中环数不小于”;事件D：“击中环数大于0且小于4”,则正确的关系是（ ）
A.与为对立事件
B.B与C为互斥事件
C.C与为对立事件
D.与为互斥事件
3.某产品分甲、乙、丙三级,其中甲级为正品,乙、丙两级均属次品,若生产中出现乙级品的概率为,丙级品的概率为,则抽查一件产品是正品的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
4.一箱产品有正品4件,次品3件,从中任取2件,其中事件“至少有1件次品”的互斥事件是_____.
5.已知随机事件中,与互斥,与对立,且,则_____.
6.某产品分为优质品、合格品、次品三个等级,已知生产中出现优质品的概率为,出现合格品的概率为,其余为次品.在该产品中任抽一件,则抽到的为次品的概率为_____.
三、解答题
7.从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球,判断下列两个事件的关系：
（1）“至少有一个黑球”与“都是黑球”;
（2）“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”;
（3）“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”；
（4）“至少有一个黑球”与“都是红球”.
8.甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有5题,选择题3道,判断题2道,甲、乙两人各抽一题.
（1）甲、乙两人中有一人抽到选择题，另一人抽到判断题的概率是多少？
（2）甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
参考答案
一、选择题
1.
答案：D
解析:根据题意,一个人连续射击三次,事件“至少击中两次”包括“击中两次”和“击中三次”两个事件,其对立事件为“至多击中一次”,即“没有击中一次”和“击中一次”两个事件.
2.
答案：D
解析:在中,与是互斥但不对立事件,故A错误.在中,与能同时发生,不是互斥事件,故错误.在中,与是互斥事件,故错误.在中,与为互斥事件,故正确.
3.
答案：B
解析:由于抽一件产品,抽到甲、乙、丙为互斥事件,故抽到正品的概率为.
二、填空题
4.
答案：都是正品
解析:根据题意,事件“至少有1件次品”包括“有1件次品”“有2件次品”“有3件次品”“有4件次品”,则其互斥事件是“都是正品”.
5.
答案：0.7
解析:随机事件中,与互斥,与对立,且
.
6.
答案：
解析:由题意,在该产品中任抽一件,“抽到次品”“抽到优质品和合格品”是对立事件,在该产品中任抽一件,“抽到次品”的概率为.
三、解答题
7.
答案：见解析
解析：（1）当两个球都为黑球时,“至少有一个黑球”与“都是黑球”同时发生，
故（1）中两个事件不互斥;
（2）当两个球一个为黑球,一个为红球时,“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”同时发生,
故（2）中两个事件不互斥;
（3）“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生,但可以同时不发生,
故（3）中两个事件互斥而不对立;
（4）“至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生,且必然有一种情况发生,
故（4）中两个事件互斥且对立.
8.
答案：见解析
解析：把3道选择题记为道判断题记为,“甲抽到选择题,乙抽到判断题”的情况有,,共6种;“甲抽到判断题,乙抽到选择题”的情况有,,共6种;“甲、乙都抽到选择题”的情况有,,共6种;“甲、乙都抽到判断题”的情况有,共2种.
因此样本点的总数为.
（1）记“甲抽到选择题,乙抽到判断题”为事件,则,记“甲抽到判断题,乙抽到选择题”为事件,则,故“甲、乙两人中有一人抽到选择题,另一人抽到判断题”的概率为.
（2）记“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”为事件,则为“甲、乙两人都抽到判断题”,由题意得,故“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的概率为.
1 / 4《互斥事件和对立事件》智能提升
课时智能提升
一、选择题
1.某小组有三名男生和两名女生,从中任选两名去参加比赛,其中
(1)事件“恰有一名男生”和事件“恰有两名女生";
(2)事件“至少有一名男生”和事件“至少有一名女生”;
(3)事件“至多有一名女生”和事件“全是男生”.
上面各对事件中互斥事件的个数是（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
2.已知随机事件和互斥,且,则（ ）
A.
B.
C.0.7
D.
二、填空题
3.从一批产品中取出3件产品,设件产品全不是次品件产品全是次品件产品不全是次品,则下列结论中正确的是_____.(填序号)
①与互斥;②与互斥;③与互斥;④与对立;⑤B与与对立.
4.某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声时被接的概率为,响第二声时被接的概率为,响第三声时被接的概率为,响第四声时被接的概率为,那么电话在响前4声内被接的概率是_____.
5.某城市某年的空气质量状况如下表所示：
其中污染指数时,空气质量为优;时,空气质量为良;时,空气质量为轻微污染.该城市此年空气质量达到优或良的概率为_____.
三、解答题
6.甲、乙两人下棋,和棋的概率为,乙胜的概率为,求:
（1）甲胜的概率;
（2）甲不输的概率.
7.袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率为，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少.
参考答案
一、选择题
1.
答案：B
解析:（1）恰有1名男生和恰有2名女生,这两个事件不能同时发生,故是互斥事件.
（2）至少有1名男生和至少有1名女生,不是互斥事件,当选出的2个人正好是1名男生和1名女生时,这两个事件同时发生了.
（3）至多有1名女生和全是男生,不是互斥事件,因为至多有1名女生,含没有女生参加,只有男生参加的情况,这两个事件能同时发生.
故上面各对事件是互斥事件的有（1）,故选B.
2.
答案：A
解析:因为事件和互斥,所以,则,故.
二、填空题
3.
答案：①②⑤
解析:件产品全不是次品指的是3件产品全是正品;件产品全是次品件产品不全是次品},它包括1件次品2件正品,2件次品1件正品,3件全是正品这3个事件.所以可知,与是互斥事件,但不对立;与是包含关系,不是互斥事件,更不是对立事件;与是互斥事件,也是对立事件.所以正确结论的序号为①②⑤.
4.
答案：0.9
解析:根据互斥事件的概率加法公式,电话在响前4声内被接的概率等于电话响第一声时被接的概率,加上响第二声时被接的概率,加上响第三声时被接的概率,加上响第四声时被接的概率,故电话在响前4声内被接的概率是.
5.
答案：
解析:由表格知空气质量为优的概率为,空气质量为良的概率为,所以该城市此年空气质量达到优或良的概率为.
三、解答题
6.
答案：见解析
解析：（1）“甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件,所以甲胜的概率为.
（2）方法一:设“甲不输”为事件,可看作是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的和事件,所以.
方法二:设“甲不输”为事件,可看作是“乙胜”的对立事件,所以,即甲不输的概率是.
7.
答案：见解析
解析：从袋中任取一球,记事件得到红球,事件得到黑球,事件得到黄球,事件得到绿球,则有
解得.
所以得到黑球的概率为,得到黄球的概率为,得到绿球的概率为.
1 / 4《互斥事件和对立事件》基础巩固
课时基础巩固
一、选择题
1.一个人连续射击三次,则事件“至少击中两次”的对立事件是（ ）
A.恰有一次击中
B.三次都没击中
C.三次都击中
D.至多击中一次
2.某人射击一次,设事件:“击中环数小于4”;事件:“击中环数大于”;事件C：“击中环数不小于”;事件D：“击中环数大于0且小于4”,则正确的关系是（ ）
A.与为对立事件
B.B与C为互不事件
C.C与为对立事件
D.与为互斥事件
3.某产品分甲、乙、丙三级,其中甲级为正品,乙、丙两级均属次品,若生产中出现乙级品的概率为,丙级品的概率为,则抽查一件产品是正品的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
4.一箱产品有正品4件,次品3件,从中任取2件,其中事件“至少有1件次品”的互斥事件是_____.
5.已知随机事件中,与互斥,与对立,且,则_____.
6.某产品分为优质品、合格品、次品三个等级,已知生产中出现优质品的概率为,出现合格品的概率为,其余为次品.在该产品中任抽一件,则抽到的为次品的概率为_____.
三、解答题
7.从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球,判断下列两个事件的关系：
（1）“至少有一个黑球”与“都是黑球”;
（2）“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”;
（3）“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”；
（4）“至少有一个黑球”与“都是红球”.
8.甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有5题,选择题3道,判择题2道,甲、乙两人各抽一题.
（1）甲、乙两人中有一人抽到选择题，另一人抽到判断题的概率是多少？
（2）甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
参考答案
一、选择题
1.
答案：D
解析:根据题意,一个人连续射击三次,事件“至少击中两次”包括“击中两次”和“击中三次”两个事件,其对立事件为“至多击中一次”,即“没有击中一次”和“击中一次”两个事件.
2.
答案：D
解析:在中,与是互斥但不对立事件,故A错误.在中,与能同时发生,不是互斥事件,故错误.在中,与是互斥事件,故错误.在中,与为互斥事件,故正确.
3.
答案：B
解析:由于抽一件产品,抽到甲、乙、丙为互斥事件,故抽到正品的概率为.
二、填空题
4.
答案：都是正品
解析:根据题意,事件“至少有1件次品”包括“有1件次品”“有2件次品”“有3件次品”“有4件次品”,则其互斥事件是“都是正品”.
5.
答案：0.7
解析:随机事件中,与互斥,与对立,且
.
6.
答案：
解析:由题意,在该产品中任抽一件,“抽到次品”“抽到优质品和合格品”是对立事件,在该产品中任抽一件,“抽到次品”的概率为.
三、解答题
7.
答案：见解析
解析：（1）当两个球都为黑球时,“至少有一个黑球”与“都是黑球”同时发生，
故（1）中两个事件不互斥;
（2）当两个球一个为黑球,一个为红球时,“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”同时发生,
故（2）中两个事件不互斥;
（3）“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生,但可以同时不发生,
故（3）中两个事件互斥而不对立;
（4）“至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生,且必然有一种情况发生,
故（4）中两个事件互斥且对立.
8.
答案：见解析
解析：把3道选择题记为道判断题记为,“甲抽到选择题,乙抽到判断题”的情况有,,共6种;“甲抽到判断题,乙抽到选择题”的情况有,,共6种;“甲、乙都抽到选择题”的情况有,,共6种;“甲、乙都抽到判断题”的情况有,共2种.
因此样本点的总数为.
（1）记“甲抽到选择题,乙抽到判断题”为事件,则,记“甲抽到判断题,乙抽到选择题”为事件,则,故“甲、乙两人中有一人抽到选择题,另一人抽到判断题”的概率为.
（2）记“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”为事件,则为“甲、乙两人都抽到判断题”,由题意得,故“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的概率为.
1 / 4《互斥事件和对立事件》提升训练
一、选择题
1.某小组有三名男生和两名女生,从中任选两名去参加比赛,其中
(1)事件“恰有一名男生”和事件“恰有两名女生";
(2)事件“至少有一名男生”和事件“至少有一名女生”;
(3)事件“至多有一名女生”和事件“全是男生”.
上面各对事件中互斥事件的个数是（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
2.已知随机事件和互斥,且,则（ ）
A.
B.
C.0.7
D.
二、填空题
3.从一批产品中取出3件产品,设件产品全不是次品件产品全是次品件产品不全是次品,则下列结论中正确的是_____.(填序号)
①与互斥;②与互斥;③与互斥;④与对立;⑤B与对立.
4.某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声时被接的概率为,响第二声时被接的概率为,响第三声时被接的概率为,响第四声时被接的概率为,那么电话在响前4声内被接的概率是_____.
5.某城市某年的空气质量状况如下表所示：
其中污染指数时,空气质量为优;时,空气质量为良;时,空气质量为轻微污染.该城市此年空气质量达到优或良的概率为_____.
三、解答题
6.甲、乙两人下棋,和棋的概率为,乙胜的概率为,求:
（1）甲胜的概率;
（2）甲不输的概率.
7.袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率为，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少.
参考答案
一、选择题
1.
答案：B
解析:（1）恰有1名男生和恰有2名女生,这两个事件不能同时发生,故是互斥事件.
（2）至少有1名男生和至少有1名女生,不是互斥事件,当选出的2个人正好是1名男生和1名女生时,这两个事件同时发生了.
（3）至多有1名女生和全是男生,不是互斥事件,因为至多有1名女生,含没有女生参加,只有男生参加的情况,这两个事件能同时发生.
故上面各对事件是互斥事件的有（1）,故选B.
2.
答案：A
解析:因为事件和互斥,所以,则,故.
二、填空题
3.
答案：①②⑤
解析:件产品全不是次品指的是3件产品全是正品;件产品全是次品件产品不全是次品},它包括1件次品2件正品,2件次品1件正品,3件全是正品这3个事件.所以可知,与是互斥事件,但不对立;与是包含关系,不是互斥事件,更不是对立事件;与是互斥事件,也是对立事件.所以正确结论的序号为①②⑤.
4.
答案：0.9
解析:根据互斥事件的概率加法公式,电话在响前4声内被接的概率等于电话响第一声时被接的概率,加上响第二声时被接的概率,加上响第三声时被接的概率,加上响第四声时被接的概率,故电话在响前4声内被接的概率是.
5.
答案：
解析:由表格知空气质量为优的概率为,空气质量为良的概率为,所以该城市此年空气质量达到优或良的概率为.
三、解答题
6.
答案：见解析
解析：（1）“甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件,所以甲胜的概率为.
（2）方法一:设“甲不输”为事件,可看作是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的和事件,所以.
方法二:设“甲不输”为事件,可看作是“乙胜”的对立事件,所以,即甲不输的概率是.
7.
答案：见解析
解析：从袋中任取一球,记事件得到红球,事件得到黑球,事件得到黄球,事件得到绿球,则有
解得.
所以得到黑球的概率为,得到黄球的概率为,得到绿球的概率为.
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