《相互独立事件》智能提升
课时智能提升
一、选择题
1.在某段时间内,甲地不下雨的概率为,乙地不下雨的概率为,若在这段时间内两地下雨相互独立,则这段时间内两地都下雨的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
2.为了提升全民身体素质,学校十分重视学生体育锻炼.某校篮球运动员进行投篮练习,若他前一球投进则后一球投进的概率为,若他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第1球投进的概率为,则他第3球投进的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
3.2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人.在排查期间,一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”,这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测,若出现阳性,则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立,该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为,当时,最大,则（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
4.一射手对同一目标独立地进行4次射击,已知至少命中一次的概率为,则他射击命中的概率是_____.
5.甲、乙两人进行象棋比赛,采取五局三胜制（不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束）.根据前期的统计分析,得到甲在和乙的第一场比赛中,取胜的概率为,受心理方面的影响,前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响,如果甲在某一场比赛中取胜,则下一场取胜率提高,反之,降低,则甲以取得胜利的概率为_____.
6.甲袋中有8个白球,4个红球;乙袋中有6个白球,6个红球.若从每袋中任取一个球,则取得同色球的概率为_____.
三、解答题
7.航母“辽宁”号以4台蒸汽轮机为动力,为保证航母的动力安全性,科学家对蒸汽轮机进行了170余项技术改进,增加了某项新技术,该项新技术要进人试用阶段前必须对其中的三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测,假如该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为.指标甲、乙、丙合格分别记为4分、2分、4分;若某项指标不合格,则该项指标记0分,各项指标检测结果互不影响.
（1）求该项技术量化得分不低于8分的概率;
（2）求该项新技术的三个指标中被检测合格的指标不少于2个的概率.
8.随着共享单车的成功运营,更多的共享产品逐步走人大家的世界,共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.广元某景点设有共享电动车租车点,共享电动车的收费标准是每小时2元(不足1小时的部分按1小时计算).甲、乙两人各租一辆电动车,若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为;一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为;两人租车时间都不会超过三小时.
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率;
(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和大于或等于8的概率.
9.面对某流行病毒,各国医疗科研机构都在研究疫苗,现有三独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是.求：
（1）他们都研制出疫苗的概率;
（2）他们都失败的概率;
（3）只有一个机构研制出疫苗的概率;
（4）至多有一个机构研制出疫苗的概率.
参考答案
一、选择题
1.
答案：D
2.
答案：D
解析:分以下两种情况讨论:
（1）第2球投进,其概率为,第3球投进的概率为;
（2）第2球投不进,其概率为,第3球投进的概率为.
综上所述,第3球投进的概率为.
3.
答案：
解析:设事件:检测5个人确定为“感染高危户",事件:检测6个人确定为“感染高危户”,
则,
即.设,则
,当且仅当,即时取等号,即.
二、填空题
4.
答案：
解析:设此射手每次射击命中的概率为,分析可得,至少命中一次的对立事件为射击四次全都没有命中,由题意可知一射手对同一目标独立地射击四次全都没有命中的概率为,则,解得.
5.
答案：0.174
解析:设甲在第一、二、三、四局比赛中获胜分别为事件,由题意,甲要以取胜的可能是,故甲以
取胜的概率为
.
6.
答案：
解析:设从甲袋中任取一个球,事件为“取得白球",则事件为“取得红球”,从乙袋中任取一个球,事件为“取得白球",则事件为“取得红球”.
因为事件与相互独立,所以事件与相互独立.所以从每袋中任取一个球,取得同色球的概率为.
三、解答题
7.
答案：见解析
解析：记该项新技术的三项不同指标甲、乙、丙独立通过检测合格分别为事件,则事件“得分不低于8分”表示为.因为与为互为事件,且彼此独立,所以
.
（2）设该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数为,则事件“该项新技术的三个指标中被检测合格的指标不少于2个”即或,所以
.
，
所以.
8.
答案：见解析
解析：（1）甲、乙两人所付费用相同即同为元,
都付2元的概率为;
都付4元的概率为;
都付6元的概率为.
故所付费用相同的概率为.
（2）设两人费用之和为的事件分别为,
；
.
设两人费用之和大于或等于8的事件为,则
所以,两人费用之和大于或等于8的概率
.
9.
答案：见解析
解析：设“A机构在一定时期研制出疫苗”为事件，“B机构在一定时期研制出疫苗”为事件,“C机构在一定时期研制出疫苗”为事件.
（1）他们都研制出 苗,
（2）他们都失败,
(3)只有一个机构研制出疫苗,
（4）至多有一个机构研制出疼苗,
.
1 / 7《相互独立事件》基础训练
一、选择题
1.根据天气预报,某一天A城市和B城市降雨的概率均为,假定这一天两城市是否降雨相互之间没有影响,则该天这两个城市中，至少有一个城市降雨的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
2.五一放假，甲、乙、丙去厦门旅游的概率分别是，，,假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间（ ）
A.
B.
C.
D.
3.同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为若指针停在边界上则重新转),,构成数对,则所有数对中满足的概率为(（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
4.某同学进行投篮训练,在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别，他站在这三个不同的位置各投篮一次,恰好投中两次的概率为,则的值为_____.
5.事件相互独立,若,则_____.
6如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是_____.
三、填空题
7.从一副扑克牌(去掉大王、小王)中任抽一张,设“抽到K”，“抽到红牌”，“抽到J”，那么下列每对事件是否相互独立 是否互斥 是否对立 为什么
(1)与;(2)与.
8.袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各1个,从中任取1个,有放回地抽取3次.
求:（1）3个全是红球的概率;
（2）3个颜色全相同的概率;
（3）3个颜色不全相同的概率.
9.为防止某突发事件发生,有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用,单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后,此突发事件不发生的概率(记为)和所需费用如下表：
预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施,在总费用不超过120万元的前提下,请确定一个预防方案,使得此突发事件不发生的概率最大.
参考答案
一、选择题
1.
答案：D
解析:记城市和城市降雨分别为事件和事件,故,可得,.两城市均未降雨的概率为,故至少有一个城市降雨的概率为0.84.
2.
答案：B
解析:记事件:至少有1人去厦门旅游,其对立事件为:三人都不去厦门旅游.由独立事件的概率公式可得,由对立事件的概率公式可得.
3.
答案：
解析:满足的所有可能如下:,所以所求事件的概率为,.
二、填空题
4.
答案：
解析:在甲、乙、丙处投中分别记为事件,恰好投中两次为事件发生,故恰好投中两次的概率为,解得.
5.
答案：
解析:由题意得事件为对立事件,∴,且,故.
6.
答案：
解析:左边圆盘指针落在奇数区域的概率为,右边圆盘指针落在奇数区域的概率为,所以两个指针同时落在奇数区域的概率为.
三、解答题
7.
答案：见解析(1)由于事件为“抽到”,事件为“抽到红牌”,抽到红牌时有可能抽到红桃或方块,即有可能抽到,故事件有可能同时发生,显然它们不是互不事件,更不是对立事件.
以下考虑它们是否为相互独立事件:抽到的概率,抽到红牌的概率,故,事件为“既抽到又抽到红牌”,即“抽到红桃或方块”,故,从而有,因此与是相互独立事件.
（2）从一副扑克牌(去掉大王、小王)中任抽一张,抽到K就不可能抽到J,抽到就不可能抽到,故事件与事件不可能同时发生,与互斥;抽不到不一定就抽到J,故与并非对立事件;由于,,而,所以与不是相互独立事件.
8.
答案：见解析
解析：由于是有放回地取球,因此袋中每个球每次被取到的概率均为.
（1）3个全是红球的概率为.
（2）3个颜色全相同的概率为.
（3）3个颜色不全相同的概率为.
9.
答案：见解析
解析：方案单独采用甲、乙、丙、丁四种中的一种预防措施的费用均不超过120万元.由表可知,采用甲措施可使此突发事件不发生的概率最大,其概率为.
方案2:联合采用两种预防措施,总费用不超过120万元.由表可知,联合甲、丙两种预防措施,可使此突发事件不发生的概率为.
联合采用甲、丁或乙、丙或乙、丁或丙、丁两种预防措施,此突发事件不发生的概率分别为,其概率均小于.
所以联合采用甲、丙两种预防措施,可使此突发事件不发生的概率最大,其概率为.
方案3:联合采用三种预防措施,由于总费用不能超过120万元,故只能联合采用乙、丙、丁三种预防措施.
此时突发事件不发生的概率为.
综上所述,在总费用不超过120万元的前提下,联合采用乙、丙、丁三种预防措施,可使突发事件不发生的概率最大.
1 / 5《相互独立事件》基础巩固
课时基础巩固
一、选择题
1.根据天气预报,某一天A城市和B城市降雨的概率均为,假定这一天两城市是否降雨相互之间没有影响,则该天这两个城市中，至少有一个城市降雨的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
2.五一放假，甲、乙、丙去厦门旅游的概率分别是，，,假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间（ ）
A.
B.
C.
D.
3.同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为若指针停在边界上则重新转),,构成数对,则所有数对中满足的概率为(（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
4.某同学进行投篮训练,在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别，他站在这三个不同的位置各投篮一次,恰好投中两次的概率为,则的值为_____.
5.事件相互独立,若,则_____.
6如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是_____.
三、填空题
7.从一副扑克牌(去掉大王、小王)中任抽一张,设“抽到K”，“抽到红牌”，“抽到J”，那么下列每对事件是否相互独立 是否互斥 是否对立 为什么
(1)与;(2)与.
8.袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各1个,从中任取1个,有放回地抽取3次.
求:（1）3个全是红球的概率;
（2）3个颜色全相同的概率;
（3）3个颜色不全相同的概率.
9.为防止某突发事件发生,有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用,单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后,此突发事件不发生的概率(记为)和所需费用如下表：
预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施,在总费用不超过120万元的前提下,请确定一个预防方案,使得此突发事件不发生的概率最大.
参考答案
一、选择题
1.
答案：D
解析:记城市和城市降雨分别为事件和事件,故,可得,.两城市均市降雨的概率为,故至少有一个城市降雨的概率为0.84.
2.
答案：B
解析:记事件:至少有1人去厦门旅游,其对立事件为:三人都不去厦门旅游.由独立事件的概率公式可得,由对立事件的概率公式可得.
3.
答案：
解析:满足的所有可能如下:,所以所求事件的概率为,.
二、填空题
4.
答案：
解析:在甲、乙、丙处投中分别记为事件,恰好投中两次为事件发生,故恰好投中两次的概率为,解得.
5.
答案：
解析:由题意得事件为对立事件,∴,且,故.
6.
答案：
解析:左边圆盘指针落在奇数区域的概率为,右边圆盘指针落在奇数区域的 率为,所以两个指针同时落在奇数区域的概率为.
三、解答题
7.
答案：见解析(1)由于事件为“抽到”,事件为“抽到红牌”,抽到红牌时有可能抽到红桃或方块,即有可能抽到,故事件有可能同时发生,显然它们不是互不事件,更不是对立事件.
以下考 它们是否为相互独立事件:抽到的概率,抽到红牌的概率,故,事件为"既抽到又抽到红牌”,即“抽到红桃或方块”,故,从而有,因此与是相互独立事件.
（2）从一副扑克牌(去掉大王、小王)中任抽一张,抽到K就不可能抽到J,抽到就不可能抽到,故事件与事件不可能同时发生,与互斥;抽不到不一定就抽到J,故与并非对立事件;由于,,而,所以与不是相互独立事件.
8.
答案：见解析
解析：由于是有放回地取球,因此袋中每个球每次被取到的概率均为.
（1）3个全是红球的概率为.
（2）3个颜色全相同的概率为.
（3）3个颜色不全相同的概率为.
9.
答案：见解析
解析：方案单独采用甲、乙、丙、丁四种中的一种预防措施的费用均不超过120万元.由表可知,采用甲措施可使此突发事件不发生的概率最大,其概率为.
方案2:联合采用两种预防措施,总费用不超过120万元.由表可知,联合甲、丙两种预防措施,可使此突发事件不发生的概率为.
联合采用甲、丁或乙、丙或乙、丁或丙、丁两种预防措施,此突发事件不发生的概率分别为,其概率均小于.
所以联合采用甲、丙两种预防措施,可使此突发事件不发生的概率最大,其概率为.
方案3:联合采用三种预防措施,由于总费用不能超过120万元,故只能联合采用乙、丙、丁三种预防措施.
此时突发事件不发生的概率为.
综上所述,在总费用不超过120万元的前提下,联合采用乙、丙、丁三种预防措施,可使突发事件不发生的概率最大.
1 / 5《相互独立事件》提升训练
一、选择题
1.在某段时间内,甲地不下雨的概率为,乙地不下雨的概率为,若在这段时间内两地下雨相互独立,则这段时间内两地都下雨的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
2.为了提升全民身体素质,学校十分重视学生体育锻炼.某校篮球运动员进行投篮练习,若他前一球投进则后一球投进的概率为,若他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第1球投进的概率为,则他第3球投进的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
3.2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人.在排查期间,一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”,这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测,若出现阳性,则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立,该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为,当时,最大,则（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
4.一射手对同一目标独立地进行4次射击,已知至少命中一次的概率为,则他射击命中的概率是_____.
5.甲、乙两人进行象棋比赛,采取五局三胜制（不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束）.根据前期的统计分析,得到甲在和乙的第一场比赛中,取胜的概率为,受心理方面的影响,前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响,如果甲在某一场比赛中取胜,则下一场取胜率提高,反之,降低,则甲以取得胜利的概率为_____.
6.甲袋中有8个白球,4个红球;乙袋中有6个白球,6个红球.若从每袋中任取一个球,则取得同色球的概率为_____.
三、解答题
7.航母“辽宁”号以4台蒸汽轮机为动力,为保证航母的动力安全性,科学家对蒸汽轮机进行了170余项技术改进,增加了某项新技术,该项新技术要进入试用阶段前必须对其中的三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测,假如该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为.指标甲、乙、丙合格分别记为4分、2分、4分;若某项指标不合格,则该项指标记0分,各项指标检测结果互不影响.
（1）求该项技术量化得分不低于8分的概率;
（2）求该项新技术的三个指标中被检测合格的指标不少于2个的概率.
8.随着共享单车的成功运营,更多的共享产品逐步走入大家的世界,共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.广元某景点设有共享电动车租车点,共享电动车的收费标准是每小时2元(不足1小时的部分按1小时计算).甲、乙两人各租一辆电动车,若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为;一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为;两人租车时间都不会超过三小时.
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率;
(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和大于或等于8的概率.
9.面对某流行病毒,各国医疗科研机构都在研究疫苗,现有三独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是.求：
（1）他们都研制出疫苗的概率;
（2）他们都失败的概率;
（3）只有一个机构研制出疫苗的概率;
（4）至多有一个机构研制出疫苗的概率.
参考答案
一、选择题
1.
答案：D
2.
答案：D
解析:分以下两种情况讨论:
（1）第2球投进,其概率为,第3球投进的概率为;
（2）第2球投不进,其概率为,第3球投进的概率为.
综上所述,第3球投进的概率为.
3.
答案：
解析:设事件:检测5个人确定为“感染高危户”,事件:检测6个人确定为“感染高危户”,
则,
即.设,则
,当且仅当,即时取等号,即.
二、填空题
4.
答案：
解析:设此射手每次射击命中的概率为,分析可得,至少命中一次的对立事件为射击四次全都没有命中,由题意可知一射手对同一目标独立地射击四次全都没有命中的概率为,则,解得.
5.
答案：0.174
解析:设甲在第一、二、三、四局比赛中获胜分别为事件,由题意,甲要以取胜的可能是,故甲以
取胜的概率为
.
6.
答案：
解析:设从甲袋中任取一个球,事件为“取得白球”,则事件为“取得红球”,从乙袋中任取一个球,事件为“取得白球”,则事件为“取得红球”.
因为事件与相互独立,所以事件与相互独立.所以从每袋中任取一个球,取得同色球的概率为.
三、解答题
7.
答案：见解析
解析：记该项新技术的三项不同指标甲、乙、丙独立通过检测合格分别为事件,则事件“得分不低于8分”表示为.因为与为互为事件,且彼此独立,所以
.
（2）设该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数为,则事件“该项新技术的三个指标中被检测合格的指标不少于2个”即或,所以
.
，
所以.
8.
答案：见解析
解析：（1）甲、乙两人所付费用相同即同为元,
都付2元的概率为;
都付4元的概率为;
都付6元的概率为.
故所付费用相同的概率为.
（2）设两人费用之和为的事件分别为,
；
.
设两人费用之和大于或等于8的事件为,则
所以,两人费用之和大于或等于8的概率
.
9.
答案：见解析
解析：设“A机构在一定时期研制出疫苗”为事件，“B机构在一定时期研制出疫苗”为事件,“C机构在一定时期研制出疫苗”为事件.
（1）他们都研制出疫苗,
（2）他们都失败,
(3)只有一个机构研制出疫苗,
（4）至多有一个机构研制出疫苗,
.
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