人教B版高中数学选择性必修第一册 《2.4 曲线与方程》名师 课件（共39张PPT）

(共39张PPT)
位置关系 图形 交点个数
外离
内含
外切
相离
相交
内切
相切
0
2
1
d＞R+r
0 ≤ d＜R r
R r ＜d＜R+r
d=R+r
d=R r
圆与圆的位置关系　　　　　 数量关系
思想方法:类比方法与分类讨论
性质
判定
复习引入
人教B版同步教材名师课件
曲线与方程
学习目标
学 习 目 标 核心素养
学习本节要掌握曲线的方程与方程的曲线的概念,明确曲线的点集和方程解集间的一一对应关系 数学抽象
能够通过求方程组的解,来确定曲线的交点 数学运算
初步掌握由曲线的已知条件求曲线的方程及根据曲线的方程研究曲线的性质的方法 逻辑推理
学习目标
学习目标:
1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系．
2.理解曲线的方程和方程的曲线的概念.
学科核心素养:
1.通过曲线与方程概念学习,培养数学抽象素养.
2.借助由曲线求它的方程,提升逻辑推理、数学运算素养.
（1）直线l上点的坐标都是方程x y=0的解
（2）以方程x y=0的解为坐标的点都在l上
思考1:如图:直线l与方程x y=0之间有什么关系？
x y=0
x
O
1
1
y
l
探究新知
直线l的方程是x y=0,也说方程x y=0表示的直线是l.
思考2：画出函数y=2x2的图象C,考察曲线C与方程①的关系？曲线C与方程 ②的关系呢？
y
x
O
1
2
8
C
2
1.曲线C上的点的坐标都是方程①的解.
但方程①的解为坐标的点不都在曲线C上.
所以方①程不是曲线的方程.
2.方程② 满足以上两点,所以② 是曲线C的方程
探究新知
y=2x2
探究新知
M(x0,y0)是C上的点
(x0,y0)是方程 =0的解
M(x0,y0)是l上的点
(x0,y0)是方程x y=0的解.
直线l叫方程x y=0的直线,方程x y=0叫直线l的方程.
x y=0
x
O
1
1
y
x
O
1
2
8
y=2x2
C
l
2
曲线的方程——反映的是图形所满足的数量关系;
方程的曲线——反映的是数量关系所表示的图形.
探究新知
在平面直角坐标系中,如果曲线C与方程F(x,y)=0之间具有如下关系:
(1)曲线C上的点的坐标都是方程F(x,y)=0的解;
(2)以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.
则称曲线C为方程F(x,y)=0的曲线,方程F(x,y)=0为曲线C的方程.
曲线的方程与方程的曲线的定义
如果曲线与方程仅满足“以方程F(x,y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”,有可能扩大曲线的边界．如方程表示的曲线是半圆,而非整圆．
探究新知
思考3：如果曲线与方程仅满足, “以方程F(x,y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”,会出现什么情况？举例说明．
提示
已知曲线C1:F(x,y)=0和曲线C2:G(x,y)=0,求这两条曲线的交点坐标,只要求方程组的实数解就可以得到.
探究新知
两曲线的交点
探究新知
曲线的方程与根据方程研究曲线的性质
(1)点的轨迹方程
曲线一般都可以看成动点依某种条件运动的轨迹,所以曲线的方程也常称为满足某种条件的点的轨迹方程.
(2)求动点M轨迹方程的一般步骤:
①设动点M的坐标为(x,y)(如果没有平面直角坐标系,需先建立);
②写出M要满足的几何条件,并将该几何条件用M的坐标表示出来;
③化简并检验所得方程是否为M的轨迹方程.
例1.证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy=±k.
M
典例讲解
证明
（1）如图,设是轨迹上的任意一点,
点与轴的距离为,与轴的距离为,
,即是方程xy=±k的解.
例1.证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy=±k.
M
典例讲解
证明
（2）设点的坐标是方程解,即,
即,而, 正是点到纵轴、横轴的距离,
因此点到两条直线的距离的积是常数,点是曲线上的点,
由(1)(2)可知,是与两条坐标轴的距离的积为
常数k(k>0)的点的轨迹方程
1.设M(x0,y0)是曲线C上任一点,证明(x0,y0)是方程f(x0,y0)=0 的解.
2.设(x0,y0)是方程f(x,y)=0的解,证明点M(x0,y0)在曲线C上.
方法归纳
证明已知曲线的方程的方法和步骤
例2.（1）若点在方程表示的曲线上,则实数的值为_______.
（2）方程表示的曲线是什么？
典例讲解
（1）因为点在方程表示的曲线上, 所以满足方程,
即,解得或.
或
解析
例2.（1）若点在方程表示的曲线上,则实数的值为_________.
（2）方程表示的曲线是什么？
典例讲解
（2）因为,
所以可得或,
也就是或者,
故方程表示的曲线为一条射线和一条直线.
或
解析
(1)方程表示的曲线的判断步骤:
(2)判断方程表示曲线的注意事项:
①方程变形前后要等价,否则变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线．
②当方程中含有绝对值时,常采用分类讨论的思想.
方法归纳
变式训练
1.方程表示的曲线是(　　)
A.两条直线
B.两条射线
C.两条线段
D.一条直线和一条射线
解析
原方程可化为或
即或,
故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线.
D
例3.设A、B两点的坐标分别是,求线段AB的垂直平分线的方程.
典例讲解
法一：运用现成的结论——直线方程的知识来求.
, 所求直线的斜率
又线段AB的中点坐标是,即
线段AB的垂直平分线的方程为,即
解析
例3.设A、B两点的坐标分别是,求线段AB的垂直平分线的方程.
典例讲解
法二：若没有现成的结论怎么办？ 需要掌握一般性的方法.
解析
(1)设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上任意一点,也就是点M属于集合P={M||MA|=|MB|}.由两点的距离公式,点M所适合的条件可表示为
,即.
所以垂直平分线上每一点的坐标都是方程的解 .
M
例3.设A、B两点的坐标分别是,求线段AB的垂直平分线的方程.
典例讲解
我们证明方程是线段AB的垂直平分线的方程.
解析
(2)设点的坐标是方程的解,
即: .点M1到A、B的距离分别是
即点M1在线段AB的垂直平分线上.
由(1)(2)可知所求方程是线段AB的垂直平分线的方程.
方法归纳
求曲线的方程,一般有下面几个步骤
2.已知平面上两个定点A,B之间的距离为2a,点M到A,B两点的距离之比为2∶1,求动点M的轨迹方程.
变式训练
解析
如图所示,以两定点A,B所在直线为x轴,线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系.
由|AB|=2a,可设A( a,0),B(a,0),M(x,y).因为|MA|∶|MB|=2∶1,
所以,
所以,化简得,
所以所求动点M的轨迹方程为.
例4、设圆C的方程为,过原点O做圆的任意弦,求所做弦的中点M的轨迹方程.
典例讲解
几何法
解法一
设为过点的一条弦,M(x,y)为其中点,圆心C,则CM⊥OP.
所以,（时）即：
时,.即M的轨迹方程为：.
x
M
C
o
y
P
例4、设圆C的方程为,过原点O做圆的任意弦,求所做弦的中点M的轨迹方程.
典例讲解
相关点法（代入法）
解法二
设所作弦的中点M(x,y) ,
则,即.又点在圆C上,
,
即M的轨迹方程为：.
x
M
C
o
y
P
例4、设圆C的方程为,过原点O做圆的任意弦,求所做弦的中点M的轨迹方程.
典例讲解
参数法
解法三
由已知动弦的斜率存在,设方程为,
代入圆的方程得即,
（把代入消去）
消去即可得：即： .
x
M
C
o
y
P
例4、设圆C的方程为,过原点O做圆的任意弦,求所做弦的中点M的轨迹方程.
典例讲解
定义法
解法四
∠OMC=90°,设OC的中点为N,则,
动点M在以OC为直径的圆上,圆心为,半径为,
因此动点M的轨迹方程为：.
x
M
C
o
y
P
N
(1)直接法
如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系,或这些几何条件简单明了且易于表达,我们只需把这种关系“翻译”成含x、y的等式就得到曲线的轨迹方程.
方法归纳
求曲线的方程的常用方法
(2)相关点法(代入法)
有些问题中,其动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的,或是可分析的,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程,这种求轨迹的方法叫做相关点法或坐标代换法．
方法归纳
求曲线的方程的常用方法
(4)参数法
在求动点轨迹时,有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题,这类问题常
常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标,再消去参数求出所求轨迹的方程．
(3)定义法
若动点的轨迹满足已知曲线的定义,可先设定方程,再确定其中的基本量．
方法归纳
求曲线的方程的常用方法
3.已知一条直线l和它上方的一个点A,点A到l的距离是2,一条曲线也在l的上方,它上面的每一点到A的距离减去到l的距离的差都是2,建立适当的坐标系,求这条曲线的方程.
取直线l为轴,过点A且垂直于直线l的直线为轴,建立坐标系Oy,
设点M(,)是曲线上任意一点,MB⊥轴,垂足是B,
因为曲线在x轴的上方,所以y＞0, 所以曲线的方程是
2) 列式
3）代换
4) 化简
5）审查
1）建系设点
变式训练
解析
2． “轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：求轨迹方程只要求出方程即可;而求轨迹则应先求出轨迹方程,再说明轨迹的形状．
1．方程化简到什么程度,教材上没有给出明确的规定,一般指将方程f(x,y)＝0化成x,y的整式．如果化简过程破坏了同解性,就需要剔除不属于轨迹上的点,找回属于轨迹而遗漏的点．
素养提炼
建立适当的坐标系,可以使运算过程简化,计算量减少,所得方程也比较简单．在解题过程中,我们要充分利用图形的几何特征,一般情况下有以下几种建立平面直角坐标系的方法：
(1)若条件中只出现一个定点,常以该定点为原点建立平面直角坐标系;
(2)若已知两定点,常以两定点的中点为坐标原点,两定点所在的直线为x轴(或y轴)建立平面直角坐标系;
(3)若已知两条互相垂直的直线,常以这两条互相垂直的直线为坐标轴建立平面直角坐标系;
素养提炼
建立坐标系的技巧
(4)若已知一定点和一定直线,常过该定点作定直线的垂线,以垂线与定直线的交点为原点,定直线与所作垂线为坐标轴建立平面直角坐标系;
(5)中心对称图形常利用它的对称中心为坐标原点,轴对称图形常利用它的对称轴为坐标轴．
素养提炼
建立坐标系的技巧
建立适当的坐标系,可以使运算过程简化,计算量减少,所得方程也比较简单．在解题过程中,我们要充分利用图形的几何特征,一般情况下有以下几种建立平面直角坐标系的方法：
1. 方程xy2 x2y＝2x所表示的曲线(　　)
A．关于x轴对称　 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于x y＝0对称
2.点A(1,2)在曲线x2 2xy＋ay＋5＝0上,则a＝________.　
C
5
当堂练习
解析
（1）同时以代替,以代替,方程不变,
所以方程xy2 x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称.
（2）由题意可知点(1,2)是方程x2 2xy＋ay＋5＝0的一组解,
即1+4 2a+5=0,解得a=5.
当堂练习
3.已知点A(-1,0),B(1,0),且,则动点M的轨迹方程是(　　)
A. B.
C. D.
解析
设动点M(,),则,.
由,得,
即.
A
当堂练习
4.平面直角坐标系中,已知A,B分别为坐标轴上的动点且,若线段AB的中点为M(x,y),则动点M的轨迹方程为　　　　　　　　.
解析
根据题意及三角形的几何性质可知,即,
动点M的轨迹为以原点O为圆心,以为半径的圆.
归纳小结
点M
按某种规律运动
坐标(x,y)
代数意义
曲线C
方程F(x,y)=0
几何意义
x,y的制约条件
“数形结合’’
数学思想的基础
作 业
课本P121页练习第1,2题
P121页练习第2,3题