16.1.1 二次根式的概念 课件 (共19张PPT)

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第十六章 二次根式
你能将这个式子化简吗？
化简这个式子需要二次根式的有关知识，我们学过整式的运算、分式的运算，如何进行二次根式的运算呢？这就是本章要解决的主要问题．
16.1.1 二次根式的概念
1．理解二次根式的概念．
2．理解并掌握二次根式有意义的条件．
问题1 什么叫做平方根？
一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根．
问题2 什么叫做算术平方根？
一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2＝a，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根． a 的算术平方根记为 ．
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
（1）面积为 3 的正方形的边长为_______，面积为 S 的正方形的边长为_______．
（2）一个长方形围栏，长是宽的 2 倍，面积为 130 m2，则它的宽为______m．
新知一 二次根式的概念
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下时离地面的高度 h（单位：m）满足关系 h＝5t2．如果用含有 h 的
式子表示 t ，那么 t 为_______．
你发现这些结果有哪些共同特征？
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
新知一 二次根式的概念
， ， ， ，它们表示一些正数的算术平方根．
我们知道，一个正数有两个平方根；0 的平方根为 0；在实数范围内，负数没有平方根．因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或 0．
一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号．
1．被开方数 a 可以是非负的数或单项式、多项式、分式等；
2．“ ”中一般把根指数 2 省略，写成“ ”．
只有在满足条件 a≥0 时才叫二次根式．即 a≥0 是 为二次根式的前提条件．
1．二次根式有意义的条件是被开方数（式）为非负数，反之也成立，即：
有意义 a≥0．
2．二次根式无意义的条件是被开方数（式）为负数，反之也成立，即：
无意义 a＜0．
新知二 二次根式有意义的条件
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） （a≥2）；
（6） （a＜b）．
例1 指出下列哪些是二次根式.
√
√
√
二次根式
必须含有二次根号“ ”；
被开方数 a≥0 ；
被开方数 a 可以表示一个数，也可以表示一个含有字母的式子．
例2 当 a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） ； （2） ； （3） ； （4） ．
解：（1）由 a－1≥0， 得 a≥1．
所以当 a≥1 时， 在实数范围内有意义．
（2）由 ≥0 且 3－a≠0 ，得 a＜3．
所以当 a＜3 时， 在实数范围内有意义．
例2 当 a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） ； （2） ； （3） ； （4） ．
解：（3）因为不论 a 为何值， ≥0 恒成立，
所以 a 取任意实数， 在实数范围内都有意义．
（4）由 x－4≥0，得 x≥4．
由 x－6≠0，得 x≠6．
当 x≥4 且 x≠6 时， 在实数范围内有意义．
　　求使式子有意义的字母取值范围：
　　（2）分式型：
　　（3）零指数幂型：a0＝1
　　（1）二次根式型：
被开方数≥0
分母≠0
底数≠0
1．下列各式： （a＞0），其中是二次根式的有
（　　）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．如果 是二次根式，则 x 的取值范围是（　　）
A．x≠－5 B．x＞－5
C．x＜－5 D．x≤－5
B
C
3． 当 a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
　 （1） ；　　（2） ；　　（3） ；　　（4） ．
解：（1）由 a－7≥0，得 a≥7．
当 a≥7 时， 在实数范围内有意义．
（2）由 2a＋3≥0，得 a≥ ．
当 a≥ 时， 在实数范围内有意义．
3． 当 a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
　 （1） ；　　（2） ；　　（3） ；　　（4） ．
解：（3）由 －a≥0，得 a≤0．
当 a≤0 时， 在实数范围内有意义．
（4）由 5－a≥0，得 a≤5．
当 a≤5 时， 在实数范围内有意义．
二次根式
概念
含有二次根号
被开方数为非负数
有意义的条件
被开方数（式子）为非负数，
中 a≥0