17.1.2 勾股定理的应用 课件（共21张PPT）
文档属性
| 名称 | 17.1.2 勾股定理的应用 课件（共21张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-25 17:26:52 | ||
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文档简介
(共21张PPT)
17.1.2 勾股定理的应用
1．学会利用勾股定理的数学思想解决生活中的实际问题．
2．能熟练将实际问题转化为数学模型进行计算．
波平如镜一湖面，半尺高处出红莲．
婷婷多姿湖中立，突遭狂风吹一边．
离开原处两尺远，花贴湖边似睡莲．
请你动动脑筋看，湖水在此多深浅．
这节课我们就来学习用勾股定理来解决这一实际问题．
印度的数学家婆神迦罗在他的著作《丽拉瓦提》中提出这样一个问题：
上面的问题可以归结为：如图，AC 长为 0.5 尺，BC 长为 2 尺，OA＝OB，求 OC 长为几尺．请你解答这个问题．
A
C
O
B
解：OA＝OB＝OC＋0.5，
在 Rt△OBC 中，根据勾股定理，
OB2＝OC2＋BC2，
即 (OC＋0.5)2＝OC2＋22，
OC＝3.75．
所以 OC 长为 3.75 尺．
应用勾股定理解决实际问题，关键是将实际问题转化为直角三角形模型．
如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面圆的周长为18 cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
A
B
（1）自己做一个圆柱，尝试从点A到点B沿圆柱侧面画几条路线，你觉得哪条
路线最短？
A
B
A
B
A
B
方案①
方案②
方案③
（2）如图，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，点A到点B的最短路线是什么？
你画对了吗？
A
B
A
B
A
B
∵两点之间线段最短，
∴方案③的路线最短．
（3）蚂蚁从点A出发，想吃到点B上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是
多少？
解：在Rt△ABC中，
AC＝12 cm，BC＝18÷2＝9（cm）．
由勾股定理，得
AB＝
＝
＝15．
所以最短路程AB＝15 cm．
A
B
C
高12 cm，底面周长18 cm．
求立体图形中最短路径问题的一般步骤：
（1）展平：将立体图形表面展开为平面图形，只需展开包含相关点的面（可能存在多种展法）．
（2）定点：确定相关点的位置．
（3）连线：连接相关点，构造直角三角形．
（4）计算：利用勾股定理求解．
例1 如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距住宅楼8 m（车尾AE距住宅楼墙面CD）处，升起云梯到火灾窗口B．已知云梯AB长17 m，云梯底部距地面的高AE＝1.5 m，问发生火灾的住户窗口距离地面多高？
解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°.
根据勾股定理，得BC2＝172－82＝152（m），
∴BC＝15 m．
∴BD＝15＋1.5＝16.5（m）.
答：发生火灾的住户窗口距离地面16.5 m．
例2 有一个圆柱形油罐，要从A点环绕油罐建梯子，正好建到A点的正上方B
点，问梯子最短需多少米？（已知：油罐的底面半径是2 m，高AB是5 m，
π取3）
A
B
A
B
A′
B′
解：圆柱形油罐的展开图如图，
则AB′为梯子的最短距离．
AA′＝2πr＝2×3×2＝12（m），
A′B′＝5 m，
由勾股定理，得
AB′ 2＝ AA′ 2 ＋ A′B′ 2
＝122＋52
＝169．
所以AB′＝13．
即梯子最短需13 m．
A
B
展开
利用勾股定理解应用题的三步骤
1
2
3
根据题意，画出图形
分析题目中的数量关系，数形结合，正确标图，将已知条件体现到图形中
在适当的直角三角形中应用勾股定理进行计算或建立等量关系，列出方程，解决问题
勾股定理应用的常见类型
1．已知直角三角形的任意两边求第三边；
2．已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系；
3．证明包含有平方（算术平方根）关系的几何问题；
4．求解几何体表面上的最短路径问题；
5．构造方程（或方程组）计算有关线段长度，解决生产、
生活中的实际问题．
1．如图，一只蚂蚁从长、宽都是3 cm ，高是8 cm的长方体纸箱的A点沿纸箱
爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是（ ）
A．（3＋8）cm
B．10 cm
C．14 cm
D．无法确定
A
B
B
2．有两棵树，一棵高10 m，另一棵高4 m，两树相距8 m．一只小鸟从一棵树
的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A．8 m B．10 m C．12 m D．14 m
3．小明想知道学校旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还余1 m，当
他把绳子下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆高度为_____m．
B
12
4．如图，学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在
花园内走出了一条“路”，仅仅少走了______步路，却踩伤了花草．（假
设1米为2步）
A
B
C
4 m
3 m
“路”
4
5． 一辆装满货物的卡车，其外形高2.5 m，宽1.6 m，要开进厂门形状如图所示
的某工厂（上方半圆，下方长方形） ，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门.
A
B
2.3 m
2 m
解：∵车宽1.6 m，
∴卡车能否通过，只要比较距厂门中线0.8 m处的门高与车高．
如图所示，点O为AB中点，点D在离厂门中线0.8 m处，且
CD⊥AB，与地面交于H．
在Rt△OCD中，由勾股定理可得：
CD＝＝＝0.6（m），
CH＝CD＋DH＝0.6＋2.3＝2.9＞2.5，
∴卡车能通过此门．
A
B
2.3 m
2 m
O
D
C
H
勾股定理的应用
实际问题
数学问题
勾股定理
直角三角形
转化
构建
运用
解决
17.1.2 勾股定理的应用
1．学会利用勾股定理的数学思想解决生活中的实际问题．
2．能熟练将实际问题转化为数学模型进行计算．
波平如镜一湖面，半尺高处出红莲．
婷婷多姿湖中立，突遭狂风吹一边．
离开原处两尺远，花贴湖边似睡莲．
请你动动脑筋看，湖水在此多深浅．
这节课我们就来学习用勾股定理来解决这一实际问题．
印度的数学家婆神迦罗在他的著作《丽拉瓦提》中提出这样一个问题：
上面的问题可以归结为：如图，AC 长为 0.5 尺，BC 长为 2 尺，OA＝OB，求 OC 长为几尺．请你解答这个问题．
A
C
O
B
解：OA＝OB＝OC＋0.5，
在 Rt△OBC 中，根据勾股定理，
OB2＝OC2＋BC2，
即 (OC＋0.5)2＝OC2＋22，
OC＝3.75．
所以 OC 长为 3.75 尺．
应用勾股定理解决实际问题，关键是将实际问题转化为直角三角形模型．
如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面圆的周长为18 cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
A
B
（1）自己做一个圆柱，尝试从点A到点B沿圆柱侧面画几条路线，你觉得哪条
路线最短？
A
B
A
B
A
B
方案①
方案②
方案③
（2）如图，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，点A到点B的最短路线是什么？
你画对了吗？
A
B
A
B
A
B
∵两点之间线段最短，
∴方案③的路线最短．
（3）蚂蚁从点A出发，想吃到点B上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是
多少？
解：在Rt△ABC中，
AC＝12 cm，BC＝18÷2＝9（cm）．
由勾股定理，得
AB＝
＝
＝15．
所以最短路程AB＝15 cm．
A
B
C
高12 cm，底面周长18 cm．
求立体图形中最短路径问题的一般步骤：
（1）展平：将立体图形表面展开为平面图形，只需展开包含相关点的面（可能存在多种展法）．
（2）定点：确定相关点的位置．
（3）连线：连接相关点，构造直角三角形．
（4）计算：利用勾股定理求解．
例1 如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距住宅楼8 m（车尾AE距住宅楼墙面CD）处，升起云梯到火灾窗口B．已知云梯AB长17 m，云梯底部距地面的高AE＝1.5 m，问发生火灾的住户窗口距离地面多高？
解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°.
根据勾股定理，得BC2＝172－82＝152（m），
∴BC＝15 m．
∴BD＝15＋1.5＝16.5（m）.
答：发生火灾的住户窗口距离地面16.5 m．
例2 有一个圆柱形油罐，要从A点环绕油罐建梯子，正好建到A点的正上方B
点，问梯子最短需多少米？（已知：油罐的底面半径是2 m，高AB是5 m，
π取3）
A
B
A
B
A′
B′
解：圆柱形油罐的展开图如图，
则AB′为梯子的最短距离．
AA′＝2πr＝2×3×2＝12（m），
A′B′＝5 m，
由勾股定理，得
AB′ 2＝ AA′ 2 ＋ A′B′ 2
＝122＋52
＝169．
所以AB′＝13．
即梯子最短需13 m．
A
B
展开
利用勾股定理解应用题的三步骤
1
2
3
根据题意，画出图形
分析题目中的数量关系，数形结合，正确标图，将已知条件体现到图形中
在适当的直角三角形中应用勾股定理进行计算或建立等量关系，列出方程，解决问题
勾股定理应用的常见类型
1．已知直角三角形的任意两边求第三边；
2．已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系；
3．证明包含有平方（算术平方根）关系的几何问题；
4．求解几何体表面上的最短路径问题；
5．构造方程（或方程组）计算有关线段长度，解决生产、
生活中的实际问题．
1．如图，一只蚂蚁从长、宽都是3 cm ，高是8 cm的长方体纸箱的A点沿纸箱
爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是（ ）
A．（3＋8）cm
B．10 cm
C．14 cm
D．无法确定
A
B
B
2．有两棵树，一棵高10 m，另一棵高4 m，两树相距8 m．一只小鸟从一棵树
的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A．8 m B．10 m C．12 m D．14 m
3．小明想知道学校旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还余1 m，当
他把绳子下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆高度为_____m．
B
12
4．如图，学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在
花园内走出了一条“路”，仅仅少走了______步路，却踩伤了花草．（假
设1米为2步）
A
B
C
4 m
3 m
“路”
4
5． 一辆装满货物的卡车，其外形高2.5 m，宽1.6 m，要开进厂门形状如图所示
的某工厂（上方半圆，下方长方形） ，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门.
A
B
2.3 m
2 m
解：∵车宽1.6 m，
∴卡车能否通过，只要比较距厂门中线0.8 m处的门高与车高．
如图所示，点O为AB中点，点D在离厂门中线0.8 m处，且
CD⊥AB，与地面交于H．
在Rt△OCD中，由勾股定理可得：
CD＝＝＝0.6（m），
CH＝CD＋DH＝0.6＋2.3＝2.9＞2.5，
∴卡车能通过此门．
A
B
2.3 m
2 m
O
D
C
H
勾股定理的应用
实际问题
数学问题
勾股定理
直角三角形
转化
构建
运用
解决