17.2.1 勾股定理的逆定理 课件（共21张PPT）
文档属性
| 名称 | 17.2.1 勾股定理的逆定理 课件（共21张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-25 17:36:36 | ||
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文档简介
(共21张PPT)
17.2.1 勾股定理的逆定理
1． 能证明勾股定理的逆定理，了解勾股数的概念，理解互逆命题、
定理的概念与关系．
2． 能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形．
前面我们学习了勾股定理，即：
能否推出△ABC是直角三角形呢？
反过来，若△ABC三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，
Rt△ABC三边长为a，b，c（c为斜边）
a2＋b2＝c2．
按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（13）
（12）
（11）
（10）
（9）
古埃及人曾用下面的方法得到直角：
用13个等距的结，把一根绳子分成等长的12段，然后以3段，4段，5段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．
实验操作：
（2）量一量：用量角器测量上述三角形的最大角的度数．
（3）想一想：请判断这些三角形的形状，并提出猜想．
32＋42＝52
52＋122＝132
（1）画一画：下列各组数都满足a2＋b2＝c2，分别以这些数为边长画出三角形
（单位：cm），它们是直角三角形吗？
① 3，4，5； ② 5，12，13； ③8，15，17； ④ 7，24，25．
82＋152＝172
72＋242＝252
如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
已知：在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2．你能否判断△ABC是直角三角形？请说明理由．
分析：作一个直角∠MC1N，
在C1M上截取C1B1＝a＝CB，
在C1N上截取C1A1＝b＝CA，
连接A1B1．
A
C
B
b
c
a
C1
N
M
B1
A1
b
a
解：在Rt△A1B1C1中，
由勾股定理，得A1B12＝a2＋b2，
∴A1B1＝AB．
在△ABC和△A1B1C1中，
AB＝A1B1，AC＝ A1C1，BC＝B1C1，
∴△ABC≌△A1B1C1（SSS）．
∴∠C＝∠C1．
∴△ABC是直角三角形．
A
C
B
b
c
a
C1
N
M
B1
A1
b
a
直角三角形的判定有两法可依：
（1）由角的关系：证明两内角互余或一角为直角．
（2）由边的关系：利用勾股定理的逆定理判定．
如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理的逆定理
前面我们学习了两个命题，分别为：
命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．
命题2：如果三角形的三边长a ，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
两个命题的题设和结论有何联系？
一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理． 勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理．
题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．
试着说出下列命题的逆命题，这些逆命题成立吗？
（1）两条直线平行，内错角相等；
（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
（3）全等三角形的对应角相等；
（4）在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
内错角相等，两条直线平行．
成立
如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等．
不成立
对应角相等的两个三角形全等．
不成立
在角平分线上的点到角的两边距离相等．
成立
例1 已知三角形三条边的长度分别是：
（1）1，，；（2）2，3，4；（3）3n，4n，5n（n＞0），
它们是否分别构成直角三角形？
（1）在1，，中，是最大边长，
因为1＋2＝3＝，
所以边长为1，，的三角形是直角三角形．
（2）在2，3，4中，4是最大边长，
13≠，
所以边长为2，3，4的三角形不是直角三角形．
解：
（3）在3n，4n，5n（n＞0）中，5n是最大边长，
，
所以边长为3n，4n，5n（n＞0）的三角形是直角三角形．
例1 已知三角形三条边的长度分别是：
（1）1，，；（2）2，3，4；（3）3n，4n，5n（n＞0），
它们是否分别构成直角三角形？
解：
已知三角形的三边的长，判断三角形是否为直角三角形时，由于直角三角形的最大边是斜边，所以只要检验较小的两条边的平方和是否等于最大边的平方就可以．如果等式成立，该三角形是直角三角形，否则就不是直角三角形．
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．
熟练掌握一些勾股数组对解数学题很有帮助，接下来我们学习几个求勾股数组的方法．
（1）如果a是一个大于1的奇数，b，c是两个连续自然数，且有＝b＋c，则a，b，c为一组勾股数．
如3，4，5；5，12，13；7，24，25；11，60，61．
（2）如果a，b，c为一组勾股数，则na，nb，nc也是一组勾股数，其中n（n＞1）为自然数．
如3，4，5；6，8，10；9，12，15．
（3）如果n是自然数（n＞1），那么，2n，是一组勾股数．
如8，15，17；16，63，65．
例2 如图，已知AB⊥AD，AB＝4，BC＝12，CD＝13，AD＝3，能判断
BC⊥BD吗？证明你的结论．
解：BC⊥BD．证明如下：
∵AB⊥AD，
∴△BAD是直角三角形，
∴＝ 25．
在△BCD中，
∵ ，
∴△BCD是直角三角形，且CD为斜边，∠CBD＝90°．
∴BC⊥BD．
2．在△ABC中， ∠A ，∠B，∠C的对应边分别为a，b，c，且(a＋b)(a－b)＝c2，
则（ ）
A．∠A为直角 B．∠B为直角
C．∠C直角 D．△ABC不是直角三角形
A
1．下列各组数是勾股数的是（ ）
A．3，4，7 B．5，12，13
C．1.5，2，2.5 D．1，3，5
B
3．若一个三角形的三边长分别为1，，则该三角形的面积为（ ）
A． B．
C． D．
B
4．下列各命题都成立，写出它们的逆命题． 这些逆命题成立吗？
（1）同旁内角互补，两直线平行；
（2）如果两个角是直角，那么它们相等；
（3）全等三角形的对应边相等；
（4）如果两个实数相等，那么它们的平方相等．
两直线平行，同旁内角互补．
成立
如果两个角相等，那么这两个角是直角．
不成立
三边对应相等的两个三角形全等．
成立
如果两个实数的平方相等，那么这两个实数也相等．
不成立
5． 若△ABC的三边 a，b，c 满足a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c． 试判断
△ABC是否是直角三角形．？
a2－6a ＋9＋b2－8b＋16＋c2－10c＋25＝0，
即 (a－3) ＋ (b－4) ＋ (c－5) ＝0，
∴ a＝3，b＝4，c＝5，
即 a2＋b2＝c2．
∴△ABC是直角三角形．
∴ a2 －6a ＋b2 －8b ＋c2 －10c ＋50 ＝0，
解 ∵ a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，
勾股定理
的逆定理
内容
如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形
作用
从三边数量关系判定一个三角形是否是直角三角形
注意
最长边不一定是c， ∠C也不一定是直角
勾股数一定是正整数
17.2.1 勾股定理的逆定理
1． 能证明勾股定理的逆定理，了解勾股数的概念，理解互逆命题、
定理的概念与关系．
2． 能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形．
前面我们学习了勾股定理，即：
能否推出△ABC是直角三角形呢？
反过来，若△ABC三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，
Rt△ABC三边长为a，b，c（c为斜边）
a2＋b2＝c2．
按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（13）
（12）
（11）
（10）
（9）
古埃及人曾用下面的方法得到直角：
用13个等距的结，把一根绳子分成等长的12段，然后以3段，4段，5段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．
实验操作：
（2）量一量：用量角器测量上述三角形的最大角的度数．
（3）想一想：请判断这些三角形的形状，并提出猜想．
32＋42＝52
52＋122＝132
（1）画一画：下列各组数都满足a2＋b2＝c2，分别以这些数为边长画出三角形
（单位：cm），它们是直角三角形吗？
① 3，4，5； ② 5，12，13； ③8，15，17； ④ 7，24，25．
82＋152＝172
72＋242＝252
如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
已知：在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2．你能否判断△ABC是直角三角形？请说明理由．
分析：作一个直角∠MC1N，
在C1M上截取C1B1＝a＝CB，
在C1N上截取C1A1＝b＝CA，
连接A1B1．
A
C
B
b
c
a
C1
N
M
B1
A1
b
a
解：在Rt△A1B1C1中，
由勾股定理，得A1B12＝a2＋b2，
∴A1B1＝AB．
在△ABC和△A1B1C1中，
AB＝A1B1，AC＝ A1C1，BC＝B1C1，
∴△ABC≌△A1B1C1（SSS）．
∴∠C＝∠C1．
∴△ABC是直角三角形．
A
C
B
b
c
a
C1
N
M
B1
A1
b
a
直角三角形的判定有两法可依：
（1）由角的关系：证明两内角互余或一角为直角．
（2）由边的关系：利用勾股定理的逆定理判定．
如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理的逆定理
前面我们学习了两个命题，分别为：
命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．
命题2：如果三角形的三边长a ，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
两个命题的题设和结论有何联系？
一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理． 勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理．
题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．
试着说出下列命题的逆命题，这些逆命题成立吗？
（1）两条直线平行，内错角相等；
（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
（3）全等三角形的对应角相等；
（4）在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
内错角相等，两条直线平行．
成立
如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等．
不成立
对应角相等的两个三角形全等．
不成立
在角平分线上的点到角的两边距离相等．
成立
例1 已知三角形三条边的长度分别是：
（1）1，，；（2）2，3，4；（3）3n，4n，5n（n＞0），
它们是否分别构成直角三角形？
（1）在1，，中，是最大边长，
因为1＋2＝3＝，
所以边长为1，，的三角形是直角三角形．
（2）在2，3，4中，4是最大边长，
13≠，
所以边长为2，3，4的三角形不是直角三角形．
解：
（3）在3n，4n，5n（n＞0）中，5n是最大边长，
，
所以边长为3n，4n，5n（n＞0）的三角形是直角三角形．
例1 已知三角形三条边的长度分别是：
（1）1，，；（2）2，3，4；（3）3n，4n，5n（n＞0），
它们是否分别构成直角三角形？
解：
已知三角形的三边的长，判断三角形是否为直角三角形时，由于直角三角形的最大边是斜边，所以只要检验较小的两条边的平方和是否等于最大边的平方就可以．如果等式成立，该三角形是直角三角形，否则就不是直角三角形．
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．
熟练掌握一些勾股数组对解数学题很有帮助，接下来我们学习几个求勾股数组的方法．
（1）如果a是一个大于1的奇数，b，c是两个连续自然数，且有＝b＋c，则a，b，c为一组勾股数．
如3，4，5；5，12，13；7，24，25；11，60，61．
（2）如果a，b，c为一组勾股数，则na，nb，nc也是一组勾股数，其中n（n＞1）为自然数．
如3，4，5；6，8，10；9，12，15．
（3）如果n是自然数（n＞1），那么，2n，是一组勾股数．
如8，15，17；16，63，65．
例2 如图，已知AB⊥AD，AB＝4，BC＝12，CD＝13，AD＝3，能判断
BC⊥BD吗？证明你的结论．
解：BC⊥BD．证明如下：
∵AB⊥AD，
∴△BAD是直角三角形，
∴＝ 25．
在△BCD中，
∵ ，
∴△BCD是直角三角形，且CD为斜边，∠CBD＝90°．
∴BC⊥BD．
2．在△ABC中， ∠A ，∠B，∠C的对应边分别为a，b，c，且(a＋b)(a－b)＝c2，
则（ ）
A．∠A为直角 B．∠B为直角
C．∠C直角 D．△ABC不是直角三角形
A
1．下列各组数是勾股数的是（ ）
A．3，4，7 B．5，12，13
C．1.5，2，2.5 D．1，3，5
B
3．若一个三角形的三边长分别为1，，则该三角形的面积为（ ）
A． B．
C． D．
B
4．下列各命题都成立，写出它们的逆命题． 这些逆命题成立吗？
（1）同旁内角互补，两直线平行；
（2）如果两个角是直角，那么它们相等；
（3）全等三角形的对应边相等；
（4）如果两个实数相等，那么它们的平方相等．
两直线平行，同旁内角互补．
成立
如果两个角相等，那么这两个角是直角．
不成立
三边对应相等的两个三角形全等．
成立
如果两个实数的平方相等，那么这两个实数也相等．
不成立
5． 若△ABC的三边 a，b，c 满足a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c． 试判断
△ABC是否是直角三角形．？
a2－6a ＋9＋b2－8b＋16＋c2－10c＋25＝0，
即 (a－3) ＋ (b－4) ＋ (c－5) ＝0，
∴ a＝3，b＝4，c＝5，
即 a2＋b2＝c2．
∴△ABC是直角三角形．
∴ a2 －6a ＋b2 －8b ＋c2 －10c ＋50 ＝0，
解 ∵ a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，
勾股定理
的逆定理
内容
如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形
作用
从三边数量关系判定一个三角形是否是直角三角形
注意
最长边不一定是c， ∠C也不一定是直角
勾股数一定是正整数