17.2.3 勾股定理及其逆定理的综合应用 课件（共18张PPT）
文档属性
| 名称 | 17.2.3 勾股定理及其逆定理的综合应用 课件（共18张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-25 17:38:57 | ||
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文档简介
(共18张PPT)
17.2.3 勾股定理及其逆定理
的综合应用
1．熟练运用勾股定理及其逆定理解决实际问题．
2．进一步加深对勾股定理与其逆定理之间关系的认识．
3．学会将实际问题构建成数学模型，并运用相关知识解决．
1．勾股定理：
如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2＋b2＝c2．
2．勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
如图，某中学为迎接校庆50周年，拟对学校校园中的一块空地进行美化
施工，已知AB＝3 m，BC＝4 m，∠ABC＝90°，AD＝12 m，CD＝13 m，
学校欲在此空地上铺草坪，已知每平方米草坪80元，试问用草坪铺满这
块空地共需花费多少元．
解：如图，连接AC，在Rt△ABC中，
∵AC2＝AB2＋BC2＝32＋42＝25，
∴AC＝5 m．
∵AC2＋AD2＝52＋122＝169，CD2＝132＝169，
∴AC2＋AD2＝CD2，
∴∠CAD＝90°，
该区域面积＝S△ACD－S△ABC＝30－6＝24（m2），
铺满这块空地共需花费24×80＝1 920（元）．
答：用草坪铺满这块空地共需花费1 920元．
勾股定理与勾股定理的逆定理的条件和结论相反．勾股定理是直角三角形的性质，其逆定理是直角三角形的判定．勾股定理是根据直角三角形探求边长的关系，体现了由形到数的转化；勾股定理的逆定理是由三角形的三边关系探求三角形的形状，体现了由数到形的转化．
A
B
C
D
M
N
北
东
例1 一艘轮船从 A 港向南偏西 48°方向航行 100 km 到达 B 岛，再从 B 岛沿
BM 方向航行 125 km 到达 C 岛，A 港到航线 BM 的最短距离是 60 km．
（1）若轮船速度为 25 km/h，求轮船从 C 岛沿 CA 方向返回 A 港所需的
时间；
分析：（1）在 Rt△ABD 中，利用勾股定理可求得 BD
的长度，则 CD＝BC－BD；然后在Rt△ACD 中，
利用勾股定理可求得 AC 的长度，最后由“时间
＝路程÷速度”求出所需的时间；
∴ （km）．
解：（1）由题意 AD＝60 km，
在 Rt△ABD 中，由 AD2＋BD2＝AB2 得 602＋BD2＝1002．
∴BD＝80（km）．
∴CD＝BC－BD＝125－80＝45（km）．
75÷25＝3（h）．
答：从 C 岛沿 CA 方向返回 A 港所需的时间为 3 h．
A
B
C
D
M
N
北
东
（2）C 岛在 A 港的什么方向？
分析：（2）由勾股定理的逆定理推知∠BAC＝90°，由方向角的定义作答即可．
解：（2）∵AB2＋AC2＝1002＋752＝15 625，
BC2＝1252＝15 625，
∴AB2＋AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°．
∴∠NAC＝180°－90°－48°＝42°．
∴C 岛在 A 港的北偏西 42°方向上．
A
B
C
D
M
N
北
东
例2 拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机
沿公路 AB 由点 A 向点 B 行驶，已知点 C 为一所学校，且点 C 与直线
AB 上两点 A，B 的距离分别为 150 m 和 200 m，AB＝250 m，拖拉机周
围 130 m 以内为受噪声影响区域．
（1）学校 C 会受噪声影响吗？为什么？
分析：利用勾股定理的逆定理得出△ABC 是直角三
角形，然后利用三角形面积得出 CD 的长，进而得
出学校 C 是否会受噪声影响.
A
B
C
D
解：学校 C 会受噪声影响．
理由：如图，过点 C 作 CD⊥AB 于 D，
∵AC＝150 m，BC＝200 m，AB＝250 m，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
∴S△ABC＝ AC·BC＝ CD·AB，
∴150×200＝250CD，
∴CD＝ ＝120（m），
∵拖拉机周围 130 m 以内为受噪声影响区域，
∴学校 C 会受噪声影响．
A
B
C
D
（2）若拖拉机的行驶速度为 50 m/min，拖拉机噪声影响该学校持续的时间
有多少分钟？
分析：利用勾股定理得出 ED 以及 EF 的长，进而可
得出拖拉机噪声影响该学校持续的时间．
E
F
A
B
C
D
∴EF＝100（m）．
解：如图，取 EC＝130 m，FC＝130 m，当拖拉机在 EF 上时学校会受
噪声影响．
∵ED2＝EC2－CD2＝1302－1202＝502，
∴ED＝50（m），
∵拖拉机的行驶速度为 50 m/min，
∴100÷50＝2（min），
即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有 2 min．
E
F
A
B
C
D
如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，CD＝10，AD＝10 ．
（1）求四边形 ABCD 的面积．
分析：连接 AC，然后根据勾股定理可以
求得 AC 的长，再根据勾股定理的逆定
理即可判断△ACD 的形状，从而可以求
得四边形 ABCD 的面积.
A
B
C
D
A
B
C
D
∴ ．
∴CD2＋AC2＝102＋102＝200，AD2＝ ＝200，
∴CD2＋AC2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
即四边形ABCD的面积是 74．
∵CD＝10，AD＝10 ，
解：连接 AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴四边形ABCD的面积是
＝74，
（2）求对角线 BD 的长．
分析：作 DE⊥BC，然后根据三角形全等和勾股定理，可以求得对角线
BD 的长．
解：作 DE⊥BC 交 BC 的延长线于点 E，则∠DEC＝90°，
∵△ACD 是直角三角形，∠ACD＝90°，
∴∠DCE＋∠ACB＝90°．
∵∠ABC＝90°，
∴∠CAB＋∠ACB＝90°，
∴∠DCE＝∠CAB．
A
B
C
D
E
∴AB＝CE，BC＝ED．
∴ ．
在△ABC 和△CED 中，
∴△ABC≌△CED（AAS）．
∵AB＝6，BC＝8，
∴CE＝6，ED＝8，
∴BE＝BC＋CE＝8＋6＝14，
A
B
C
D
E
实际问题
抽象
数学模型
勾股定理及其逆定理
答案
实际意义
17.2.3 勾股定理及其逆定理
的综合应用
1．熟练运用勾股定理及其逆定理解决实际问题．
2．进一步加深对勾股定理与其逆定理之间关系的认识．
3．学会将实际问题构建成数学模型，并运用相关知识解决．
1．勾股定理：
如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2＋b2＝c2．
2．勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
如图，某中学为迎接校庆50周年，拟对学校校园中的一块空地进行美化
施工，已知AB＝3 m，BC＝4 m，∠ABC＝90°，AD＝12 m，CD＝13 m，
学校欲在此空地上铺草坪，已知每平方米草坪80元，试问用草坪铺满这
块空地共需花费多少元．
解：如图，连接AC，在Rt△ABC中，
∵AC2＝AB2＋BC2＝32＋42＝25，
∴AC＝5 m．
∵AC2＋AD2＝52＋122＝169，CD2＝132＝169，
∴AC2＋AD2＝CD2，
∴∠CAD＝90°，
该区域面积＝S△ACD－S△ABC＝30－6＝24（m2），
铺满这块空地共需花费24×80＝1 920（元）．
答：用草坪铺满这块空地共需花费1 920元．
勾股定理与勾股定理的逆定理的条件和结论相反．勾股定理是直角三角形的性质，其逆定理是直角三角形的判定．勾股定理是根据直角三角形探求边长的关系，体现了由形到数的转化；勾股定理的逆定理是由三角形的三边关系探求三角形的形状，体现了由数到形的转化．
A
B
C
D
M
N
北
东
例1 一艘轮船从 A 港向南偏西 48°方向航行 100 km 到达 B 岛，再从 B 岛沿
BM 方向航行 125 km 到达 C 岛，A 港到航线 BM 的最短距离是 60 km．
（1）若轮船速度为 25 km/h，求轮船从 C 岛沿 CA 方向返回 A 港所需的
时间；
分析：（1）在 Rt△ABD 中，利用勾股定理可求得 BD
的长度，则 CD＝BC－BD；然后在Rt△ACD 中，
利用勾股定理可求得 AC 的长度，最后由“时间
＝路程÷速度”求出所需的时间；
∴ （km）．
解：（1）由题意 AD＝60 km，
在 Rt△ABD 中，由 AD2＋BD2＝AB2 得 602＋BD2＝1002．
∴BD＝80（km）．
∴CD＝BC－BD＝125－80＝45（km）．
75÷25＝3（h）．
答：从 C 岛沿 CA 方向返回 A 港所需的时间为 3 h．
A
B
C
D
M
N
北
东
（2）C 岛在 A 港的什么方向？
分析：（2）由勾股定理的逆定理推知∠BAC＝90°，由方向角的定义作答即可．
解：（2）∵AB2＋AC2＝1002＋752＝15 625，
BC2＝1252＝15 625，
∴AB2＋AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°．
∴∠NAC＝180°－90°－48°＝42°．
∴C 岛在 A 港的北偏西 42°方向上．
A
B
C
D
M
N
北
东
例2 拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机
沿公路 AB 由点 A 向点 B 行驶，已知点 C 为一所学校，且点 C 与直线
AB 上两点 A，B 的距离分别为 150 m 和 200 m，AB＝250 m，拖拉机周
围 130 m 以内为受噪声影响区域．
（1）学校 C 会受噪声影响吗？为什么？
分析：利用勾股定理的逆定理得出△ABC 是直角三
角形，然后利用三角形面积得出 CD 的长，进而得
出学校 C 是否会受噪声影响.
A
B
C
D
解：学校 C 会受噪声影响．
理由：如图，过点 C 作 CD⊥AB 于 D，
∵AC＝150 m，BC＝200 m，AB＝250 m，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
∴S△ABC＝ AC·BC＝ CD·AB，
∴150×200＝250CD，
∴CD＝ ＝120（m），
∵拖拉机周围 130 m 以内为受噪声影响区域，
∴学校 C 会受噪声影响．
A
B
C
D
（2）若拖拉机的行驶速度为 50 m/min，拖拉机噪声影响该学校持续的时间
有多少分钟？
分析：利用勾股定理得出 ED 以及 EF 的长，进而可
得出拖拉机噪声影响该学校持续的时间．
E
F
A
B
C
D
∴EF＝100（m）．
解：如图，取 EC＝130 m，FC＝130 m，当拖拉机在 EF 上时学校会受
噪声影响．
∵ED2＝EC2－CD2＝1302－1202＝502，
∴ED＝50（m），
∵拖拉机的行驶速度为 50 m/min，
∴100÷50＝2（min），
即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有 2 min．
E
F
A
B
C
D
如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，CD＝10，AD＝10 ．
（1）求四边形 ABCD 的面积．
分析：连接 AC，然后根据勾股定理可以
求得 AC 的长，再根据勾股定理的逆定
理即可判断△ACD 的形状，从而可以求
得四边形 ABCD 的面积.
A
B
C
D
A
B
C
D
∴ ．
∴CD2＋AC2＝102＋102＝200，AD2＝ ＝200，
∴CD2＋AC2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
即四边形ABCD的面积是 74．
∵CD＝10，AD＝10 ，
解：连接 AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴四边形ABCD的面积是
＝74，
（2）求对角线 BD 的长．
分析：作 DE⊥BC，然后根据三角形全等和勾股定理，可以求得对角线
BD 的长．
解：作 DE⊥BC 交 BC 的延长线于点 E，则∠DEC＝90°，
∵△ACD 是直角三角形，∠ACD＝90°，
∴∠DCE＋∠ACB＝90°．
∵∠ABC＝90°，
∴∠CAB＋∠ACB＝90°，
∴∠DCE＝∠CAB．
A
B
C
D
E
∴AB＝CE，BC＝ED．
∴ ．
在△ABC 和△CED 中，
∴△ABC≌△CED（AAS）．
∵AB＝6，BC＝8，
∴CE＝6，ED＝8，
∴BE＝BC＋CE＝8＋6＝14，
A
B
C
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实际问题
抽象
数学模型
勾股定理及其逆定理
答案
实际意义