17.2.2 勾股定理的逆定理的应用 课件（共18张PPT）
文档属性
| 名称 | 17.2.2 勾股定理的逆定理的应用 课件（共18张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-25 17:40:36 | ||
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文档简介
(共18张PPT)
17.2.2 勾股定理的逆定理的应用
根据问题背景，建立数学模型，应用勾股定理的逆定理解决简单的实际问题，体会“数”“形”转化思想，培养转化、推理的能力．
思考 我们已经学会用勾股定理解决实际问题，那么勾股定理的逆定理在实际生活中有哪些应用呢？
李叔叔想要检测雕塑底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺．
（1）你能替他想办法完成任务吗？
连接对角线AC，BD，只要分别量出AB，BC，AC，AD和BD的长度即可．
若AB2＋BC2＝AC2，
则△ABC为直角三角形．
同理可得到△ABD为直角三角形．
（2）李叔叔量得AD长是30 cm，AB长是40 cm，BD长是50 cm．
AD边垂直于AB边吗？
解：因为AD2＋AB2＝302＋402＝2500＝BD2，
所以△ABD是直角三角形，∠A＝90°．
所以AD边垂直于AB边．
（3）小明随身只有一个长度为20 cm的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？
当刻度尺较短时，有很多办法，
如利用分段相加的方法量出AB，AD和BD的长度，
或在AB，AD边上各量一段较小长度，再去量以它们为边的三角形的第三边，
从而可根据勾股定理的逆定理得到结论．
数学思想
实际问题
数学问题
转化
建模
例1 如图，某港口 P 位于东西方向的海岸线上．“远航”
号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定
方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”
号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后
分别位于点Q，R处，且相距30海里． 如果知道“远
航” 号沿东北方向航行，能知道“海天” 号沿哪个
方向航行吗？
解：根据题意，
PQ＝16×1.5＝24，
PR＝12×1.5＝18 ，
QR＝30 ．
∵ 242＋182＝302，
即PQ 2＋PR2＝QR2， ∴ ∠QPR＝90°，
由远航号沿东北方向航行可知∠1＝45°．
因此∠2＝45°，即“海天”号沿西北方向航行．
例2 如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我
国领海，以东为公海，上午9时50分，我国舰艇A
发现正东方有一走私艇以13海里/时的速度偷偷向
我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国
舰艇B密切注意．舰艇A和走私艇C的距离是13海里，
A，B两艇的距离是5海里；舰艇B测得距离C艇12
海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候
进入我国领海？
A
B
C
M
N
东
西
南
北
E
∴ ÷13≈0.85（小时）＝51（分钟），9时50分＋51分＝10时41分．
解：设MN与AC相交于E，则∠BEC＝ 90°．
∵AB2＋BC2＝52＋122＝132＝AC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝ 90°．
∵MN⊥CE，
∴走私艇C进入我国领海的最短距离是CE．
在Rt△EBC中，
在△ABC中，
答：走私艇最早10时41分进入我国领海．
∵CE2＋BE2＝BC2，∴CE＝ ．
A
B
C
M
N
东
西
南
北
如何有效解决实际问题：
1． 构建对应几何图形．
2． 标注有用信息（或添加必要的辅助线），明确已知和所求．
3． 应用数学知识解决问题．
1．如图所示，甲、乙两船从港口 A 同时出发，甲船以
30 海里/时的速度向北偏东 35 的方向航行，乙船以
40 海里/时的速度向另一方向航行，2 小时后，甲船
到达 C 岛，乙船到达 B 岛，若 C，B 两岛相距 100
海里，则乙船航行的方向是南偏东多少度？
北
A
B
C
35
解：由题意得：AC＝30×2＝60（海里），
AB＝40×2＝80（海里）．
因为，
因为 C 岛在港口 A 的北偏东 方向，所以 B 岛在港口 A 的南偏东 方向．
即乙船航行的方向是南偏东 ．
所以
北
A
B
C
35
2．某探险队的 A 组从驻地 O 点出发，以 12 km/h 的速度
前进，同时 B 组也从驻地 O 点出发，以 9 km/h 的速
度向另一方向前进． 2 h 后同时停下来，如图所示，
这时 A，B 两组相距 30 km． 此时，A，B 两组行进的
方向成直角吗？请说明理由．
O
B
A
解：因为出发2小时，A组行进了12×2＝24（ km ），
B组行进了9×2＝18（km）．
又因为A，B两组相距30 km，且满足，
所以A，B两组行进的方向成直角．
3．小明向东走 80 m 后，沿另一方向又走了 60 m，再沿第三个方向走 100 m 回
到原地．小明向东走 80 m 后是向哪个方向走的？
解：（1）小明从O走到A，再走到B1，最终由B1回到O．
因为OA＝80 m， AB1 ＝60 m， OB1 ＝100 m，
所以
所以△AOB1是直角三角形，且∠OAB1 ＝90 ．
因此小明向东走 80 m 后，又向北走了 60 m，再走 100 m 回到原地．
北
南
东
西
O
A
B1
B2
（2）小明从O走到A，再走到B2，最终由B2回到O．
同理，△AOB2是直角三角形，且∠OAB2 ＝90 ．
因此小明向东走 80m 后，又向南走了 60m，再走 100m 回到原地．
综上所述，小明向东走 80m 后，又向南或向北走了 60m，最后走 100m 回到原地．
北
南
东
西
O
A
B1
B2
实际应用
实际问题构建成数学模型，利用勾股逆定理求解
勾股定理逆定理的应用
17.2.2 勾股定理的逆定理的应用
根据问题背景，建立数学模型，应用勾股定理的逆定理解决简单的实际问题，体会“数”“形”转化思想，培养转化、推理的能力．
思考 我们已经学会用勾股定理解决实际问题，那么勾股定理的逆定理在实际生活中有哪些应用呢？
李叔叔想要检测雕塑底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺．
（1）你能替他想办法完成任务吗？
连接对角线AC，BD，只要分别量出AB，BC，AC，AD和BD的长度即可．
若AB2＋BC2＝AC2，
则△ABC为直角三角形．
同理可得到△ABD为直角三角形．
（2）李叔叔量得AD长是30 cm，AB长是40 cm，BD长是50 cm．
AD边垂直于AB边吗？
解：因为AD2＋AB2＝302＋402＝2500＝BD2，
所以△ABD是直角三角形，∠A＝90°．
所以AD边垂直于AB边．
（3）小明随身只有一个长度为20 cm的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？
当刻度尺较短时，有很多办法，
如利用分段相加的方法量出AB，AD和BD的长度，
或在AB，AD边上各量一段较小长度，再去量以它们为边的三角形的第三边，
从而可根据勾股定理的逆定理得到结论．
数学思想
实际问题
数学问题
转化
建模
例1 如图，某港口 P 位于东西方向的海岸线上．“远航”
号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定
方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”
号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后
分别位于点Q，R处，且相距30海里． 如果知道“远
航” 号沿东北方向航行，能知道“海天” 号沿哪个
方向航行吗？
解：根据题意，
PQ＝16×1.5＝24，
PR＝12×1.5＝18 ，
QR＝30 ．
∵ 242＋182＝302，
即PQ 2＋PR2＝QR2， ∴ ∠QPR＝90°，
由远航号沿东北方向航行可知∠1＝45°．
因此∠2＝45°，即“海天”号沿西北方向航行．
例2 如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我
国领海，以东为公海，上午9时50分，我国舰艇A
发现正东方有一走私艇以13海里/时的速度偷偷向
我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国
舰艇B密切注意．舰艇A和走私艇C的距离是13海里，
A，B两艇的距离是5海里；舰艇B测得距离C艇12
海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候
进入我国领海？
A
B
C
M
N
东
西
南
北
E
∴ ÷13≈0.85（小时）＝51（分钟），9时50分＋51分＝10时41分．
解：设MN与AC相交于E，则∠BEC＝ 90°．
∵AB2＋BC2＝52＋122＝132＝AC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝ 90°．
∵MN⊥CE，
∴走私艇C进入我国领海的最短距离是CE．
在Rt△EBC中，
在△ABC中，
答：走私艇最早10时41分进入我国领海．
∵CE2＋BE2＝BC2，∴CE＝ ．
A
B
C
M
N
东
西
南
北
如何有效解决实际问题：
1． 构建对应几何图形．
2． 标注有用信息（或添加必要的辅助线），明确已知和所求．
3． 应用数学知识解决问题．
1．如图所示，甲、乙两船从港口 A 同时出发，甲船以
30 海里/时的速度向北偏东 35 的方向航行，乙船以
40 海里/时的速度向另一方向航行，2 小时后，甲船
到达 C 岛，乙船到达 B 岛，若 C，B 两岛相距 100
海里，则乙船航行的方向是南偏东多少度？
北
A
B
C
35
解：由题意得：AC＝30×2＝60（海里），
AB＝40×2＝80（海里）．
因为，
因为 C 岛在港口 A 的北偏东 方向，所以 B 岛在港口 A 的南偏东 方向．
即乙船航行的方向是南偏东 ．
所以
北
A
B
C
35
2．某探险队的 A 组从驻地 O 点出发，以 12 km/h 的速度
前进，同时 B 组也从驻地 O 点出发，以 9 km/h 的速
度向另一方向前进． 2 h 后同时停下来，如图所示，
这时 A，B 两组相距 30 km． 此时，A，B 两组行进的
方向成直角吗？请说明理由．
O
B
A
解：因为出发2小时，A组行进了12×2＝24（ km ），
B组行进了9×2＝18（km）．
又因为A，B两组相距30 km，且满足，
所以A，B两组行进的方向成直角．
3．小明向东走 80 m 后，沿另一方向又走了 60 m，再沿第三个方向走 100 m 回
到原地．小明向东走 80 m 后是向哪个方向走的？
解：（1）小明从O走到A，再走到B1，最终由B1回到O．
因为OA＝80 m， AB1 ＝60 m， OB1 ＝100 m，
所以
所以△AOB1是直角三角形，且∠OAB1 ＝90 ．
因此小明向东走 80 m 后，又向北走了 60 m，再走 100 m 回到原地．
北
南
东
西
O
A
B1
B2
（2）小明从O走到A，再走到B2，最终由B2回到O．
同理，△AOB2是直角三角形，且∠OAB2 ＝90 ．
因此小明向东走 80m 后，又向南走了 60m，再走 100m 回到原地．
综上所述，小明向东走 80m 后，又向南或向北走了 60m，最后走 100m 回到原地．
北
南
东
西
O
A
B1
B2
实际应用
实际问题构建成数学模型，利用勾股逆定理求解
勾股定理逆定理的应用