18.1.1.2 平行四边形对角线的性质 课件（共15张PPT）

(共15张PPT)
18.1.1.2 平行四边形对角线的性质
1．理解并掌握平行四边形的对角线互相平分的性质．
2．根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明．
什么是平行四边形？
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
上节课我们学行四边形的哪些性质？
平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点．
平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等．
平行四边形还有其他性质吗？
很久以前，一位饱经沧桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的：
你认为老人这样分合理吗？为什么？
老大 　
老二　
老三　
老四　
如图，在□ ABCD中，连接AC，BD，并设它们相交于点O，OA与OC，OB与OD有什么关系？
　平行四边形的对角线互相平分．　
你能证明这个猜想吗？　
OA＝OC，OB＝OD
AC与BD互相平分
1．猜一猜
A
D
B
C
O
A
C
D
B
已知：如图，□ ABCD的对角线AC，BD相交于点O．
求证：OA＝OC，OB＝OD．
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC．
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．
∴△AOD≌△COB（ASA）．
∴OA＝OC，OB＝OD．
3
2
4
1
在△AOD和△COB中，
∠1＝∠2，AD＝BC，∠3＝∠4．
研究平行四边形，常把它转化为三角形问题．
O
2．证一证
平行四边形的性质：
平行四边形的对角线互相平分．
符号语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，
OA＝OC，
OB＝OD．
∴
A
D
B
C
O
研究对象 研究结果 几何表示
对边
对角
邻角
对角线
平行四边形的性质
平行
且相等
相等
互补
∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC
AB∥CD，AD∥BC
＝
＝
例如，∠BAD＋∠ABC＝180°
互相平分
AO＝CO，BO＝DO
O
B
A
C
D
平行四边形的对角线将平行四边形分成四个面积相等的三角形，都等于平行四边形面积的四分之一．
所以S△ABO＝S△ADO．同理S△ABO＝S△ADO＝S△CBO＝S△CDO ．
老人分地合理吗？
老人分地合理
理由：过点A作AE⊥BD于点E，
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以BO＝DO．
S△ABO＝
S△ADO＝
所以
老大 　
老二　
老三　
老四　
A
D
B
C
O
E
例1 如图，O为□ ABCD两条对角线的交点，AC＝24 mm，
BD＝38 mm，BC＝28 mm．求△OAD的周长．
C
A
B
O
●
D
解：在□ ABCD中，
∵AC＝24 mm，BD＝38 mm，
∴AO＝AC＝12（mm），
DO＝BD＝19（mm）．
又∵BC＝28 mm，
∴AD＝BC＝28（mm），
∴△OAD的周长＝ AO＋DO＋AD
＝12＋19＋28＝59（mm）．
例2 如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，直线EF过点 O与 AD，BC分别相交于点E，F．
求证： OE＝OF，AE＝CF，DE＝BF．
C
A
E
O
●
B
D
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，且对角线AC与BD相交于点O，
∴OA＝OC，∠EAO＝∠FCO，
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△ AOE ≌△COF ．
∴OE＝OF，AE＝CF．
F
又∵ AD＝BC，
∴DE＝AD－AE＝CB－CF＝BF．
1．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AD＝16，AC＝24，BD＝18，则△OBC的周长为（　　）
A．26 　　 B．37 　　 C．40　　 D．52
B
分析： △OBC的周长＝ BC＋CO＋OB，根据平行四边形的对角线互相平分，对边相等，即可求得答案．
解析：∵AC＝10，BD＝8，
∴OA＝AC＝5，OD＝BD＝4，
∴5－4＜AD＜5＋4，
即1＜AD＜9．
2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝10，BD＝8，则AD的取值范围是______________．
A
B
O
D
C
1＜AD＜9
3．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别为OA，OC的中点．求证：△OBE≌△ODF ．
A
O
C
F
E
B
D
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵E，F分别为OA，OC的中点，
∴OE＝OA，OF＝OC，
即OE＝OF，
又∵∠BOE＝∠DOF，
∴△OBE≌△ODF ．
平行四边形的性质
对称性
对边、对角的性质
对角线的性质
平行四边形是中心对称图形，
两条对角线的交点是它的对称中心
平行四边形的对边相等、
对角相等
平行四边形的对角线互相
平分