18.1.2.2 三角形的中位线 课件（共17张PPT）

(共17张PPT)
18.1.2.2 三角形的中位线
1．掌握三角形中位线的定义和三角形的中位线定理．
2．能熟练运用三角形的中位线定理．
若D，E分别是AB，AC的中点，则只需测量出DE的长，就可以求出池塘的宽BC．你知道为什么吗？
A
E
D
C
B
任意画一个△ABC，然后分别取AB，AC的中点D，E，连接DE．通过观察、测量等方法，你发现线段DE有哪些性质？你能用命题的形式表述你所发现的性质吗？试一试．
A
C
B
E
D
A
C
B
E
D
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
如图，DE就是△ABC的一条中位线．
如图，沿△ABC的中位线DE，DF，EF剪出四个小三角形．将它们叠合在一起，能完全重合吗？
能
中位线DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？
DE∥BC且DE＝ BC
A
E
D
C
B
F
三角形的中位线与第三边有什么关系？
猜想：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
你能证明这个猜想吗？
分析：因为E是AC的中点，可以考虑以点E为中心，把△ADE按顺时针方向旋转180°，得到△CFE，如图．这样就只需证明四边形BCFD是平行四边形．
已知：如图，DE是△ABC的中位线．
求证：DE BC．
//
A
C
B
F
E
D
则D，E，F同在一条直线上，DE＝EF，且△ADE≌△CFE．
∴AB∥CF．
又BD＝AD＝CF，
证明：如图，以点E为旋转中心，把△ADE按顺时针方向旋转180°，得△CFE，
∴∠ADE＝∠F，AD＝CF，
A
C
B
F
E
D
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴DF BC，
//
∴DE BC．
//
三角形的中位线定理
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
符号语言：
∵AD＝BD，AE＝EC，
∴DE BC．
//
A
C
B
E
D
注意：
（1）理解三角形中位线定义的两层含义：
（2）区分三角形的中位线与中线：
中位线是连接三角形两边中点的线段；
中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段．
（3）一个三角形共有三条中位线．
A
C
B
E
D
①如果D，E分别是AB，AC的中点，那么DE是△ABC的中位线；
②如果DE是△ABC的中位线，那么D，E分别是AB，AC的中点．
例1 已知△ABC的面积是S，顺次连接各边中点E，G，F所得的四个三角形面积各是多少？
A
B
C
E
F
G
每个三角形的面积＝ S
解：根据三角形的中位线定理知，
EF＝ BC＝BG，AE＝AB＝EB，AF＝AC＝EG，
故△AEF≌△EBG，
同理，△AEF≌△FGC， △GFE≌ △AEF．
所以，S△AEF ＝S△EBG ＝S△FGC ＝S△GFE＝S．
例2 如果△ABC三边的长分别为a，b，c，那么顺次连接各边中点E，G，F所得的四个三角形周长分别是多少？
A
B
C
E
F
G
每个三角形的周长＝ (a＋b＋c)
解：根据三角形的中位线定理知，
EF＝a，EG＝ b，GF＝c．
故△EGF的周长＝ a＋ b＋ c＝ (a＋b＋c)．
同理，其他三角形的周长也是(a＋b＋c)．
1．如图，D，E分别为△ABC的边AB， AC的中点．则图中是△ABC中位线的是（　　）
A
B
D
E
C
A
A．线段DE B．线段CD
C．线段BE D．以上都不是
2．如图，已知 E，F 是四边形 ABCD 的对角线 BD 的三等分点，CE，CF 的延长线分别平分 AB，AD．
求证：四边形 ABCD 是平行四边形．
B
A
D
C
E
F
O
G
H
证明：连接AC交BD于点O，连接AE，AF．
∵点G是AB的中点，BE＝EF,
∴GE是△ABF的一条中位线，
∴GE∥AF，即CE∥AF，
同理可得 CF∥AE，
∴四边形AFCE是平行四边形,
∴OA＝OC，OE＝OF．
又BE＝DF，
∴OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
B
A
D
C
E
F
O
G
H
三角形中位线
定义
定理
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半