18.2.1.2 矩形的判定 课件（共20张PPT）

(共20张PPT)
18.2.1.2 矩形的判定
1．理解并掌握矩形的判定办法．
2．能熟练运用矩形的定义和判定知识进行计算和证明．
1．矩形的定义是什么？
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
2．矩形有哪些性质？
矩形的四个角都是直角．
矩形的对角线相等．
矩形是轴对称图形．
如何判定一个四边形是矩形呢？
类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法．
除定义外，还有没有其他的方法能判定是矩形呢？
我们能根据矩形的性质得到矩形的判定方法吗？
接下来我们研究矩形性质的逆命题是否成立．
问题1 我们已经研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：四个角是直角的四边形是矩形．
成立
问题2 至少有几个角是直角的四边形是矩形？
A
B
D
C
（有一个角是直角）
A
B
D
C
（有二个角是直角）
A
B
D
C
（有三个角是直角）
已知：如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°．
求证：四边形ABCD是矩形．
A
B
C
D
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形．
证明：∵ ∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°，
∴AD∥BC，AB∥CD．
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．
矩形的判定定理1
有三个角是直角的四边形是矩形．
下图是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化．
α
α
α
当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形．
验证猜想：
已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC＝DB．
求证：四边形ABCD是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC．
又BC＝CB，AC＝DB，
∴△ABC≌△DCB．
∴∠ABC＝∠DCB．
∵AB∥DC，
矩形的判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形．
∴∠ABC＋∠DCB＝180°．
∴∠ABC＝∠DCB＝×180°＝90°．
∴四边形ABCD是矩形．
例1 如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点O，且 OA＝OD，∠OAD＝50°． 求 ∠OAB 的度数．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD．
A
D
B
C
O
又∠OAD＝50°，∴ ∠OAB＝40°．
又OA＝OD，∴ AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝90 ．
例2 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E．求证：四边形ADCE是矩形．
证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，
∴∠CAD＝∠BAC，∠CAN＝∠CAM．
∴∠DAE＝∠CAD＋∠CAN
＝(∠BAC＋∠CAM)
＝×180°＝90°．
例2 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E．求证：四边形ADCE是矩形．
在△ABC中，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC．∴∠ADC＝90°．
又CE⊥AN，
∴∠CEA＝90°．
∴四边形ADCE是矩形．
在例2中，连接DE，交AC于点F．
（1）试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论．
F
四边形ABDE是平行四边形．
证明：∵四边形ADCE为矩形，
∴AE∥DC，AE＝DC．
在△ABC中，∵AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，
∴BD＝DC．
∴AE∥BD，AE＝BD．
∴四边形ABDE为平行四边形．
证明：∵四边形ADCE为矩形，
∴DF＝EF＝DE，
又四边形ABDE为平行四边形，
∴AB∥DE，AB＝DE，
∴DF∥AB，DF＝AB．
DF∥AB，DF＝AB．
F
在例2中，连接DE，交AC于点F．
（2）线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论．
1．判断下列语句的对错．
（1）有一个角是直角的四边形是矩形． （ ）
（2）四个角都相等的四边形是矩形． （ ）
（3）对角线相等的四边形是矩形． （ ）
（4）对角线相等且互相平分的四边形是矩形． （ ）
×
√
×
√
平行四边形
平行四边形
2． 已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形是矩形的是（ ）
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC
B
解析：对于A， ∵ ∠A＝∠B， ∠A＋∠B＝180°，∴∠A＝∠B＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
对于C ，∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形．
对于D， ∵AB⊥BC ， ∴∠B＝90 ，
∴平行四边形ABCD是矩形．
3．在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，△ABO是等边三角形．
求证：平行四边形ABCD是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD．
∵ △ABO是等边三角形，
∴ OA＝OB，∴ AC＝BD，
∴ 平行四边形ABCD是矩形．
A
B
D
C
O
4．如图，平行四边形ABCD四个内角的平分线围成四边形EFGH，猜想四边形EFGH的形状，并说明理由．
A
B
D
C
H
E
F
G
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＋∠ABC＝180°．
同理，∠EFG＝90°，∠FGH＝90°．
∴四边形EFGH是矩形．
∵AE，BE分别平分∠DAB，∠ABC， ∴∠EAB＋∠EBA＝90°．
∴∠AEB＝90°，即∠HEF＝90°．
解：四边形EFGH是矩形．
矩形的判定
有一个角是直角的平行四边形是矩形
有三个角是直角的四边形是矩形
对角线相等的平行四边形是矩形