18.2.2.2 菱形的判定 课件（共17张PPT）

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18.2.2.2 菱形的判定
1．掌握菱形的判定及证明过程．
2．能熟练运用菱形的判定进行计算和证明．
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
是轴对称图形，对角线所在的直线是对称轴．
四条边相等．
对角线互相垂直．
菱形的性质
对角线互相平分．
对角相等．
对边平行且相等．
菱形是如何定义的？菱形有哪些性质？
根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定的方法：
AB＝AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形？先想一想，再与同伴交流．
B
A
C
D
符号语言：
用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个平行四边形．转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形
可以发现，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
下面我们证明这个结论．
已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD．
求证：□ ABCD是菱形．
判定定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC．
又∵AC⊥BD，
∴BD是线段AC的垂直平分线，∴BA＝BC．
∴四边形ABCD是菱形．
已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？
A
C
B
D
你是怎么做的？你认为上述做法正确吗？与同伴交流．
如图，分别以A，C为圆心，
以大于AC的长为半径作弧，
两条弧分别相交于点B，D，
依次连接A，B，C，D，
四边形ABCD看上去是菱形．
判定定理 四条边相等的四边形是菱形．
由前面的探究可以得到定理如下：
请你完成这个定理的证明．
A
B
C
D
已知：如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD．
求证：四边形ABCD是菱形．
证明：∵AB＝BC＝CD＝AD，
∴AB＝CD ， BC＝AD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
又AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形．
你能用折纸的办法得到一个菱形吗？动手试一试！
先将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，将纸展开，就得到了一个菱形．
展开
你能说说这样做的道理吗？
因为四边相等的四边形是菱形．
例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC， BD相交于点O，点E，F，G，H 分别是OA，OB，OC，OD的中点．
求证：四边形EFGH是菱形．
D
A
B
C
O
E
F
G
H
分析：利用三角形的中位线定理，证明四边形EFGH的四条边相等即可．
证明： ∵四边形ABCD是菱形，
∴ AB＝BC＝CD＝AD．
∵点E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，
∴EF，FG，GH，EH分别是△AOB， △BOC， △COD， △AOD的中位线，
∴ EF＝AB，FG＝BC，GH＝CD，EH＝AD，
∴EF＝FG＝GH＝EH，
∴四边形EFGH是菱形．
D
A
B
C
O
E
F
G
H
例2 如图，在□ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF． 求证：四边形AECF是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD＝BC， AD//BC．
∵ DE＝BF， ∴ AE＝CF．
又AE//CF， ∴四边形AECF是平行四边形．
A
B
C
D
E
F
∵ AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
1．如图所示，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，两弧相交于点C，D，则直线CD即为所求．连接AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是（　　）
A．矩形 B．菱形
C．正方形 D．等腰梯形
解析：由题意知AC＝AD＝BD＝BC，
∴四边形ADBC一定是菱形．
B
2．如图，AD是△ABC的一条角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．求证：四边形AEDF是菱形．
证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA＝∠DAF．
∵AD是△ABC的一条角平分线，
∴∠EAD＝∠DAF．
∴∠EDA＝∠EAD，
∴EA＝ED．
∴四边形AEDF是菱形．
3．已知：如图，在□ ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝，OA＝2，OB＝1．求证：□ ABCD是菱形．
证明：在△AOB中，
∵AB＝，OA＝2，OB＝1，
∴AB ＝OA ＋OB ．
∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角．
∴AC⊥BD．
∴□ ABCD是菱形．
菱形的判定
判定1
判定3
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
判定2
四条边相等的四边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形