18.2.2.1 菱形的性质 课件（共19张PPT）
文档属性
| 名称 | 18.2.2.1 菱形的性质 课件（共19张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-25 17:54:25 | ||
图片预览
文档简介
(共19张PPT)
18.2.2.1 菱形的性质
1．理解并掌握菱形的定义和性质．
2．能熟练运用菱形的性质进行计算和证明．
你认识这些生活中常见的图形吗？能找出它们的共同特点吗？
都具有
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
平行四边形
菱形
有一组邻边相等
注意：（1）一组邻边相等的四边形不一定是菱形．
（2）菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定．
因为菱形是有一组邻边相等的平行四边形，所以菱形具有平行四边形的一般性质，即：
A
B
D
C
对边平行且相等
对角线互相平分
对角相等
除此之外，菱形还有特殊的性质吗？
有2条对称轴，分别是菱形两条对角线所在的直线．
对称轴之间互相垂直，且每一条对角线平分一组对角．
用菱形纸片折一折，回答下列问题：
（1）菱形是轴对称图形吗？
（2）它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
（3）菱形中有哪些相等的线段？
菱形是轴对称图形．
菱形的四条边相等．
你会证明吗？
已知：如图，在菱形ABCD中，AB＝AD，对角线AC与BD相交于点O．
求证：（1）AB＝BC＝CD＝AD；（2）AC⊥BD．
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AD＝BC．
又∵AB＝AD，
∴AB＝BC＝CD＝AD．
已知：如图，在菱形ABCD中，AB＝AD，对角线AC与BD相交于点O．
求证：（1）AB＝BC＝CD＝AD；（2）AC⊥BD，且AC，BD分别平分菱形ABCD的内角．
（2）∵AB＝AD，
∴△ABD是等腰三角形．
又四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD．
∴AO⊥BD，即AC⊥BD．
∴AO平分∠BAD，同理可得AC，BD分别平分菱形ABCD的内角．
菱形的四条边都相等．
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积呢
A
B
C
D
思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直，那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢
E
能．过点A作AE⊥BC于点E，
则S菱形ABCD＝底×高＝BC·AE．
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，试用对角线表示出菱形ABCD的面积．
A
B
C
D
O
菱形的面积＝底×高＝对角线乘积的一半．
解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∴S菱形ABCD＝S△ABC ＋S△ADC
＝ AC·BO＋ AC·DO＝ AC(BO＋DO)＝ AC·BD．
例1 已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
求证：EF⊥AD．
1
2
3
A
E
B
D
C
F
证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴∠2＝∠3，四边形AEDF是平行四边形，
∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AE＝DE，
∴四边形AEDF是菱形，
∴EF⊥AD．
解:（1）∵四边形ABCD是菱形，AC与BD相交于点E，
∴∠AED＝90°，
DE＝ BD＝ ×10＝5（cm）．
在Rt△AED中，AE＝ ＝12（cm）．
∴AC＝2AE＝2×12＝24（cm）．
例2 如图所示，四边形ABCD是边长为13 cm的菱形，其中对角线BD的长为10 cm．求:（1）对角线AC的长度；（2）菱形ABCD的面积．
例2 如图所示，四边形ABCD是边长为13 cm的菱形，其中对角线BD的长为10 cm．求:（1）对角线AC的长度；（2）菱形ABCD的面积．
（2）菱形ABCD的面积＝△ABD的面积＋△CBD的面积
＝2×△ABD的面积＝4×△ADE的面积
＝4××DE×AE
＝4××5×12
＝120（cm2）．
菱形的面积计算有如下方法：
（1）一边长与两对边的距离（即菱形的高）的积；
（2）四个小直角三角形的面积之和（或一个小直角三角形面积的4倍）；
（3）两条对角线长度乘积的一半．
1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD边的中点，当OE的长为2时，菱形ABCD的周长等于（ ）
A．32 B．24
C．16 D．18
D
A
B
C
O
E
DC＝2OE＝4
周长＝4DC＝16
C
2．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长为多少
B
D
C
A
E
F
解： ∵ E，F分别是AD，BD的中点，
∴ EF是△ABD的中位线，
∴ AB＝2EF＝4．
∵四边形ABCD是菱形，
∴ AB＝BC＝CD＝AD＝4，
∴菱形ABCD周长为16．
3．如图，已知菱形ABCD的周长为24，∠BAD＝60 ，求对角线BD的长度．
D
A
B
C
O
解：∵四边形ABCD是菱形，周长为24，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6， AC⊥BD，
∵∠BAD＝60 ，
∴∠DAO＝30 ．
∵在Rt△AOD中， ∠DAO＝30 ，AD＝6，
∴OD＝3，
∴BD＝6．
菱形
定义
特殊性质
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
①四条边都相等；
②对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
③轴对称图形
18.2.2.1 菱形的性质
1．理解并掌握菱形的定义和性质．
2．能熟练运用菱形的性质进行计算和证明．
你认识这些生活中常见的图形吗？能找出它们的共同特点吗？
都具有
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
平行四边形
菱形
有一组邻边相等
注意：（1）一组邻边相等的四边形不一定是菱形．
（2）菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定．
因为菱形是有一组邻边相等的平行四边形，所以菱形具有平行四边形的一般性质，即：
A
B
D
C
对边平行且相等
对角线互相平分
对角相等
除此之外，菱形还有特殊的性质吗？
有2条对称轴，分别是菱形两条对角线所在的直线．
对称轴之间互相垂直，且每一条对角线平分一组对角．
用菱形纸片折一折，回答下列问题：
（1）菱形是轴对称图形吗？
（2）它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
（3）菱形中有哪些相等的线段？
菱形是轴对称图形．
菱形的四条边相等．
你会证明吗？
已知：如图，在菱形ABCD中，AB＝AD，对角线AC与BD相交于点O．
求证：（1）AB＝BC＝CD＝AD；（2）AC⊥BD．
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AD＝BC．
又∵AB＝AD，
∴AB＝BC＝CD＝AD．
已知：如图，在菱形ABCD中，AB＝AD，对角线AC与BD相交于点O．
求证：（1）AB＝BC＝CD＝AD；（2）AC⊥BD，且AC，BD分别平分菱形ABCD的内角．
（2）∵AB＝AD，
∴△ABD是等腰三角形．
又四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD．
∴AO⊥BD，即AC⊥BD．
∴AO平分∠BAD，同理可得AC，BD分别平分菱形ABCD的内角．
菱形的四条边都相等．
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积呢
A
B
C
D
思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直，那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢
E
能．过点A作AE⊥BC于点E，
则S菱形ABCD＝底×高＝BC·AE．
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，试用对角线表示出菱形ABCD的面积．
A
B
C
D
O
菱形的面积＝底×高＝对角线乘积的一半．
解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∴S菱形ABCD＝S△ABC ＋S△ADC
＝ AC·BO＋ AC·DO＝ AC(BO＋DO)＝ AC·BD．
例1 已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
求证：EF⊥AD．
1
2
3
A
E
B
D
C
F
证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴∠2＝∠3，四边形AEDF是平行四边形，
∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AE＝DE，
∴四边形AEDF是菱形，
∴EF⊥AD．
解:（1）∵四边形ABCD是菱形，AC与BD相交于点E，
∴∠AED＝90°，
DE＝ BD＝ ×10＝5（cm）．
在Rt△AED中，AE＝ ＝12（cm）．
∴AC＝2AE＝2×12＝24（cm）．
例2 如图所示，四边形ABCD是边长为13 cm的菱形，其中对角线BD的长为10 cm．求:（1）对角线AC的长度；（2）菱形ABCD的面积．
例2 如图所示，四边形ABCD是边长为13 cm的菱形，其中对角线BD的长为10 cm．求:（1）对角线AC的长度；（2）菱形ABCD的面积．
（2）菱形ABCD的面积＝△ABD的面积＋△CBD的面积
＝2×△ABD的面积＝4×△ADE的面积
＝4××DE×AE
＝4××5×12
＝120（cm2）．
菱形的面积计算有如下方法：
（1）一边长与两对边的距离（即菱形的高）的积；
（2）四个小直角三角形的面积之和（或一个小直角三角形面积的4倍）；
（3）两条对角线长度乘积的一半．
1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD边的中点，当OE的长为2时，菱形ABCD的周长等于（ ）
A．32 B．24
C．16 D．18
D
A
B
C
O
E
DC＝2OE＝4
周长＝4DC＝16
C
2．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长为多少
B
D
C
A
E
F
解： ∵ E，F分别是AD，BD的中点，
∴ EF是△ABD的中位线，
∴ AB＝2EF＝4．
∵四边形ABCD是菱形，
∴ AB＝BC＝CD＝AD＝4，
∴菱形ABCD周长为16．
3．如图，已知菱形ABCD的周长为24，∠BAD＝60 ，求对角线BD的长度．
D
A
B
C
O
解：∵四边形ABCD是菱形，周长为24，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6， AC⊥BD，
∵∠BAD＝60 ，
∴∠DAO＝30 ．
∵在Rt△AOD中， ∠DAO＝30 ，AD＝6，
∴OD＝3，
∴BD＝6．
菱形
定义
特殊性质
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
①四条边都相等；
②对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
③轴对称图形