18.2.3.2 正方形的判定 课件（共18张PPT）

(共18张PPT)
18.2.3.2 正方形的判定
1．理解并掌握正方形的判定和推导过程．
2．能熟练运用正方形的判定进行计算和证明．
如图，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开．怎样剪才能剪出一个正方形？
？
思考：满足什么条件的矩形是正方形？
有一组邻边相等的矩形是正方形；
矩 形
正方形
对角线互相垂直的矩形是正方形．
思考：满足什么条件的菱形是正方形？
请证明你的结论，并与同伴交流．
有一个角是直角的菱形是正方形；
菱 形
正方形
对角线相等的菱形是正方形．
如图，在矩形ABCD中，AB＝AD．求证：矩形ABCD是正方形．
A
D
C
B
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．
AB＝CD，AD＝BC，
又AB＝AD，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴矩形ABCD是正方形．
如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直．求证：矩形ABCD是正方形．
A
D
C
B
O
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，OA＝OC，
又AC⊥BD．
∴∠AOD＝∠AOB＝90°，
在△AOB和△AOD中，
OB＝OD，∠AOB＝∠AOD，OA＝OA，
∴△AOB≌△AOD，∴AB＝AD．
∴矩形ABCD是正方形．
如图，在菱形ABCD中，∠A＝90°．求证：菱形ABCD是正方形．
A
D
C
B
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
∠A＝∠C，∠B＝∠D．
又∠A＝90°，∴∠C＝90°．
∵∠A＋∠B＝180°，∴∠B＝90°．
∴菱形ABCD是正方形．
如图，在菱形ABCD中，AC＝BD．求证：菱形ABCD是正方形．
A
D
C
B
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
在△ABD和△BAC中，
AB＝BA，AD＝BC，BD＝AC，
∴△ABD≌△BAC，∴∠DAB＝∠CBA．
∵∠DAB＋∠CBA＝180°，
∴∠DAB＝∠CBA＝90°．
∴菱形ABCD是正方形．
定理 对角线相等的菱形是正方形．
定理 对角线互相垂直的矩形是正方形．
定理 有一组邻边相等的矩形是正方形．
定理 有一个角是直角的菱形是正方形．
例1 直角三角形ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE⊥AC，DF⊥BC．
求证：四边形CEDF是正方形．
A
B
C
D
E
F
∴DF＝DE，
∵CD平分∠ACB，
∴四边形CEDF为矩形．
又∠ACB＝90°，
∴∠DEC＝90°，∠DFC＝90°．
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥BC，
∴四边形CEDF是正方形．
例2 如图，已知在□ ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是BD的延长线上的点，且EA＝EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠DAC＝∠EAD＋∠AED，求证：四边形ABCD是正方形．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，
∵EA＝EC，
∴EO⊥AC，即BD⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形．
证明：（2）∵∠ADO＝∠EAD＋∠AED，∠DAC＝∠EAD＋∠AED，
∴∠ADO＝∠DAC，∴AO＝DO．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC＝2AO，BD＝2DO，
∴AC＝BD，∴四边形ABCD是正方形．
例2 如图，已知在□ ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是BD的延长线上的点，且EA＝EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠DAC＝∠EAD＋∠AED，求证：四边形ABCD是正方形．
1．如图，在直角三角形中，∠C＝90 ，∠CAB，∠ABC的平分线交于点D，DE⊥AC，DF⊥CB．
求证：四边形CEDF 为正方形．
A
B
C
E
F
D
G
证明：过点D作DG⊥AB，垂足为G．
∴∠DEC＝∠DFC＝90 ．
∵∠C＝90 ，
∴四边形CEDF为矩形．
∵DE⊥AC，DF⊥CB，
∵AD是∠CAB的平分线， DE⊥AC，DG⊥AB,
∴DE＝DG．
∴四边形CEDF为正方形．
同理可得：DG＝DF，
∴ED＝DF，
A
B
C
E
F
D
G
2．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD ，PN⊥CD，垂足分别为M ，N．
（1）求证：∠ADB＝∠CDB．
（2）若∠ADC＝90 ，求证：四边形PMDN是正方形．
C
A
B
D
M
N
P
证明：（1）∵ AB＝BC，对角线 BD 平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD．
∴△ABD≌△CBD（SAS）,
∴∠ADB＝∠CDB．
∵在△ABD和△CBD中，
AB＝BC， ∠ABD＝∠CBD， BD＝BD,
（2）∵∠ADC＝90 ， PM⊥AD，PN⊥CD,
∴∠ADC＝∠PMD＝∠PND＝90 ．
∴四边形PMDN是矩形．
∵∠ADB＝∠CDB＝90°＝45 ，
∴四边形PMDN是正方形．
∴∠MPD＝∠NPD＝45 ，
∴DM＝PM，DN＝PN，
C
A
B
D
M
N
P
正方形
判定1
判定2
判定3
判定4
对角线互相垂直的矩形是正方形
有一组邻边相等的矩形是正方形
对角线相等的菱形是正方形
有一个角是直角的菱形是正方形