19.2.2.4 一次函数的应用 课件（共29张PPT）

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第十九章 一次函数
19.2.2.4 一次函数的应用
1.巩固一次函数知识，灵活运用变量关系解决相关实际问题.
2.有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用，提高解决实际问题的能力.
3.认识数学在现实生活中的意义，提高运用数学知识解决实际问题的能力.
利用函数方法解决实际问题，关键是分析题中的数量关系，联系实际生活及以前学过的内容，将实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模，再利用函数的性质解决问题．一次函数的应用主要有两种类型：
(1)给出了一次函数关系式，直接应用一次函数的性质解决问题；
(2)只用语言叙述或用表格、图象提供一次函数的情境时，应先求出关系式，进而利用函数性质解决问题．
“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg.如果一次购买2 kg以上的种子，超过2 kg部分的种子价格打八折.
(1)填表.
购买量/kg 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 …
付款金额/元 …
分析：付款金额与种子价格相关. 问题中种子价格不是固定不变的，它与购买量有关. 设购买x kg种子，当0≤x≤2时，种子价格为5元/kg；当x＞2时，其中有2kg种子按5元/kg计价，其余的
(x－2)kg(即超出2 kg部分) 种子按4元/kg (即八折)计价.
购买量/kg 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 …
付款金额/元 …
“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg.如果一次购买2 kg以上的种子，超过2 kg部分的种子价格打八折.
(1)填表.
解：填表.
2.5
5
7.5
10
12
14
16
18
“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg.如果一次购买2 kg以上的种子，超过2 kg部分的种子价格打八折.
(2)写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象.
分析：写函数解析式与画函数图象时，应对 0≤x≤2和x＞2分段讨论.
画出函数图象如图所示：
解：设购买量为xkg，付款金额为y元.
当0≤x≤2时，y＝5x；
当x＞2时，y＝4(x－2)＋10＝4x＋2.
y=5x(0≤x≤2)
y=4x+2(x>2)
y
x
O
1
2
10
y与x的函数解析式也可以合起来表示为
这是一个分段函数.
注意：1.它是一个函数；2.要写明自变量取值范围.
思考：
你能由上面的函数解析式或函数图象解决以下问题吗？　
（1）一次购买1.5 kg 种子，需付款多少元？
（2）一次购买3 kg 种子，需付款多少元？
解： （1）因为1.5＜2，所以付款金额y=5×1.5=7.5（元）.
（2）因为3＞2，所以付款金额y=4×3+2=14（元）.
表格信息题是中考的热点题，解决表格问题的关键是从表格中获取正确、易于解决问题的信息；其建模的过程是：先设出函数的解析式，然后找出两对对应值，列出二元一次方程组，求解即可得到解析式．
运用一次函数解决实际问题的方法：
在运用一次函数解决实际问题时，首先判断问题中的两个变量之间是不是一次函数关系，当确定是一次函数关系时，求出函数解析式，并运用一次函数的图象和性质进一步求得所需的结果．
游泳池常需进行换水清洗，图中的折线表示的是游泳池换水清洗过程“排水——清洗——灌水”中水量y(m3)与时间t(min)之间的函数图象．
(1)根据图中提供的信息，求排水阶段和清洗阶段游泳池中的水量y(m3)与时间t(min)之间的函数关系式(不必写出t的取值范围).
分析：根据图象上点的坐标利用待定系数法求得排水阶段的函数关系式，显然清洗阶段的函数关系式为y＝0.
解：排水阶段：设y与t之间的函数关系式为y＝kt＋b，因为图象经过点(0，1 500)，(25，1 000)，所以b＝1 500，25k＋b＝1 000，解得k＝－20.
故排水阶段y与t之间的函数关系式为y＝－20t＋1 500；
清洗阶段y与t之间的函数关系式为y＝0.
游泳池常需进行换水清洗，图中的折线表示的是游泳池换水清洗过程“排水——清洗——灌水”中水量y(m3)与时间t(min)之间的函数图象．
(2) 排水、清洗各花多少时间？
分析：根据(1)中所求函数关系式，可得出函数图象与x轴的交点坐标，即可得出答案．
解：因为排水阶段y与t之间的函数关系式为y＝－20t＋1 500，
所以y＝0时，0＝－20t＋1 500，解得t＝75.
故排水时间为75 min，清洗时间为95－75＝20(min)．
此题主要考查了用待定系数法求一次函数的关系式及函数图象与x轴交点坐标的求法，根据图象得出正确的信息是解题关键．
分段函数中，自变量在不同的取值范围内的解析式不同，在解决问题时，要特别注意自变量的取值范围的变化．分段函数的应用面广，在水费、电费、商品促销等领域都有广泛应用．本题考查一次函数及识图能力，体现了数形结合思想．解决问题的关键是由图象挖掘出有用的信息，利用待定系数法先求出函数解析式，再解决问题．
1.一辆汽车由A地开往B地，它距离B地的路程s(km)与行驶时间t(h)的关系如图所示，如果汽车一直快速行驶，那么可以提前________h到达B地．
2
2.甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，汽车离开A城的距离y(km)与行驶时间t(h)的函数图象如图所示，下列说法正确的有(　　)
①甲车的速度为50 km/h；②乙车用了3 h到达B城；
③甲车出发4 h时，乙车追上甲车；
④乙车出发后经过1 h或3 h两车相距50 km.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
D
3.某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x(min)与相应话费y(元)之间的函数图象如图所示.
(1)分别求出当0≤x＜100和x≥100时，y与x之间的函数解析式．
(2)月通话为280 min时，应交话费多少元？
解： （1）当0≤x＜100时，设y1＝k1x(k1≠0)，
将(100，40)代入得100k1＝40，解得k1＝
所以正比例函数的解析式为
当x≥100时，设y2＝k2x＋b(k2≠0)，
将(100，40)及(200，60)分别代入得
所以一次函数解析式为
解：（2）因为280＞100，
所以将x＝280代入 中，得
即月通话时间为280 min时，应交话费76元．
4.某商场分两次购进A，B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：
购进数量(件) 购进所需
费用(元)
A B 第一次 30 40 3 800
第二次 40 30 3 200
(1)求A，B两种商品每件的进价分别是多少元．
解：设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，
根据题意得
解得
答：A种商品每件的进价为20元，B种商品每件的进价为80元．
(2)商场决定A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售．为满足市场需求，需购进A，B两种商品共1 000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．
解：设购进B种商品m件，获得的利润为w元，则购进A种商品
(1 000－m)件，
根据题意得：w＝(30－20)(1 000－m)＋(100－80)m＝10m＋10 000.
∵A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，∴1 000－m≥4m，
解得m≤200.
∵在w＝10m＋10 000中，k＝10＞0，∴w的值随m的增大而增大，
∴当m＝200时，w取最大值，最大值为10×200＋10 000＝12 000.
答：当购进A种商品800件，B种商品200件时，销售利润最大，最大利润为12 000元．
一次函数的应用
一次函数与
实际问题
分段函数的解析式与图象
自变量的取值范围