19.2.3.1一次函数与一元一次方程、不等式 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
第十九章 一次函数
19.2.3.1 一次函数与一元一次
方程、不等式
1．认识一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的联系．
2．会用函数观点解释方程和不等式及其解（解集）的意义.
已知一次函数y=2x+1，求当函数值y =3，y =0，y = -1时，自变量x的值．
自变量x的值依次是 1， ，-1
当y=3时，2x+1等于几？当y =0，y = -1时，2x+1又等于几呢？你能把它们写成一个方程的形式吗？
可以写成2x+1=3，2x+1=0，2x+1=-1的形式，就变成了一元一次方程．
也就是说当一个一次函数y=kx+b,只要确定了y的值，它就变成了一个一元一次方程， 每一个一元一次方程都可以看成是一次函数的一种具体情况．
思考
下面3个方程有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗？
(1)2x＋1＝3; (2)2x＋1＝0； (3)2x＋1＝－1.
可以看出，这3个方程的等号左边都是2x＋1，等号右边分别是3, 0, －1.从函数的角度看，解这3个方程相当于在一次函数y＝ 2x＋1的函数值分别为3, 0，－1时，求自变量x的值.
或者说，在直线y＝ 2x＋1上取纵坐标分别为3，0,－1的点，看它们的横坐标分别为多少
画出一次函数y=2x+1的图象，如图:
观察图象，前面的三个方程可以看成函数y=2x+1的一种具体情况．
当y=3时，x=1；当y=0时，x= ；
当y=-1时，x= -1．
这三个方程的解则刚好是自变量x的一个值．
因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax＋b＝0(a≠0)的形式，所以解 一元一次方程相当于在某个一次函数y＝ax＋b的函数值为0时，求自变量x的值.
从数的角度看：
求ax +b =0的解，相当于求函数y=ax+b的值为0时，对应的自变量x.
从形的角度看：
求ax+b=0的解，这相当已知直线y=ax+b，确定它与x轴交点的横坐标．
特别提醒：
求一次函数的图象与x轴交点的横坐标的实质就是解一元一次方程；也就是说，“数” 题可用“形”解，“形” 题也可用“数”解 .
对于一次函数y=kx+b (k，b为常数，k≠0)，已知x的值求y的值，或已知y的值求x的值时，就是把问题转化为关于y或x的一元一次方程来求解.
已知一次函数y=3x+2，求函数值y＞2，y＜0，y＜-1时，自变量x的取值范围.
自变量x的取值范围依次是x＞0，x＜ , x ＜ -1．
当y＞2时，3x+2大于几？当y＜0，y＜-1时，3x+2又小于几呢？可以怎样列式表示？
可以写成3x+2＞2，3x+2＜0，3x+2＜-1的形式，就变成了一元一次不等式．
思考
下面3个不等式有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个不等式进行解释吗？
(1)3x＋2＞2; (2) 3x＋2＜0； (3) 3x＋2＜－1.
可以看出，这3个不等式的不等号左边都是3x＋2,而不等号及不等号右边却有不同.从函数的角度看，解这3个不等式相当于在一次函数
y＝3x＋2的函数值分别大于2、小于0、小于－1时，求自变量x的取值范围.
或者说，在直线y＝3x＋2上取纵坐标分别满足大于2、小于0、小于－1的点，看它们的横坐标分别满足什么条件.
画出一次函数的图象，如图．
从图象上观察，上面的三个不等式可以看成y=3x+2 的函数值y大于2、小于0、小于-1 时
自变量x的取值范围．
当y＞2时, x＞0；当y＜0时, x＜ ；
当y＜-1时, x＜-1．
由于任何一元一次不等式都可以转化为 ax+b>0或 ax+b<0（a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数 y=ax+b的值大于0（或小于0）时，求自变量x相应的取值范围.
从数的角度看：求ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)的解，也就是求x为何值时y=ax+b的值大于0或小于0．
从形的角度看：求ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)的解，也就是求直线y= ax+b在x轴上方或下方部分所有点的横坐标满足的条件．
利用函数图象解方程3x－2＝x＋4.
分析：先将方程化为ax＋b＝0的形式，再在坐标系中画出函数y＝ax＋b的图象，然后观察出直线y＝ax＋b与x轴的交点坐标，从而取定所求x的值．
解：由3x－2＝x＋4得2x－6＝0画函数y＝2x－6的图象，如图.
由图可知，直线y＝2x－6与x轴的交点为(3，0)，
所以x＝3.
利用函数图象解一元一次方程时，一般需将方程变形为ax＋b＝0的形式，然后通过观察直线y＝ax＋b与x轴的交点坐标确定方程的解，此求解对作图的准确性要求较高．
解：化简，得3x-6<0.画出直线y=3x-6，
可以看出，当x<2时，
这条直线上的点在x轴的下方，
即这时y=3x-6<0，
∴不等式的解集为x<2.
用画函数图象的方法解不等式5x+4<2x+10.
y
x
-6
2
O
y=3x-6
特别提醒：
利用图象法解一元一次不等式的一般步骤：
1.将不等式转化为ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0) 的形式；
2.画出函数图象并确定函数图象与x轴的交点坐标；
3.根据函数图象确定对应不等式的解集.
已知函数y1＝2x－5，y2＝3－2x，求当x取何值时：
(1)y1＞y2； (2)y1＝y2； (3)y1＜y2.
解：方法一：代数法．
(1)y1＞y2，即2x－5＞3－2x，解得x＞2；
(2)y1＝y2，即2x－5＝3－2x，解得x＝2；
(3)y1＜y2，即2x－5＜3－2x，解得x＜2.
所以当x＞2时，y1＞y2；当x＝2时，y1＝y2；
当x＜2时，y1＜y2.
方法二：图象法．
在同一直角坐标系内画出函数y1＝2x－5和y2＝3－2x的图象，如图所示．
由图象知，两直线的交点坐标为(2，－1)．
观察图象可知，当x＞2时，y1＞y2；当x＝2时，y1＝y2；当x＜2时，y1＜y2.
根据问题可寻找代数法和图象法两种途径，用代数法将其转化为解不等式，用图象法确定一元一次不等式的解集的方法是：先找出直线与坐标轴的交点，画出函数的图象，再观察图象，确定两条直线的交点坐标，最后观察图象交点两侧直线的位置，直接得出不等式的解集．
C
1.已知一次函数y＝2x＋n的图象如图所示，则方程2x＋n＝0的解可能是(　　)
A．x＝1
B．x＝
C．x＝－
D．x＝－1
2.如图,一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点(2，0)，与y轴相交于点(0，4)，结合图象可知，关于x的方程ax+b=0的解是　 　.
x=2
3.如图，直线y=kx+b交x轴于点A，交y轴于点B，则不等式kx+b＜0的解集是　 　.
　x＜－3　
4.如图是一次函数y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的图象，根据图象信息求关于x的方程kx+b=4的解.
解:由图象求得一次函数解析式为y=x+1，令y=x+1=4，解得x=3，即方程kx+b=4的解是x=3.
一次函数与一元一次方程、不等式
函数与方程
函数与不等式
函数值
函数图象
函数值
函数图象
y=0时x的值
与x轴交点横坐标
x的取值范围
x轴上方或下方