人教B版高中数学选择性必修第一册 《第二章 平面解析几何》综合测试（含解析）

《平面解析几何》综合测试
第卷选择题（共60分)
一、单选题
1.(2020湖南湘潭高二期末)已知直线过点,椭圆,则直线与椭圆的交点个数为（ ）.
A.1
B.1或2
C.2
D.0
2.安徽六安第一中学月考)已知双曲线的方程为,则下列关于双曲线的说法正确的是（ ）.
A.虚轴长为4
B.焦距为
C.离心率为
D.渐近线方程为
3.已知抛物线的准线经过点,则抛物线的焦点坐标为（ ）.
A.
B.
C.
D.
4.(2020大连23中月考)过直线和的交点且与直线平行的直线的方程为（ ）.
A.
B.
C.
D.
5.(2020北京昌平二中月考)过抛物线的焦点作倾斜角为的直线,则被抛物线截得的弦长为（ ）.
A.8
B.16
C.32
D.64
6.如图,共顶点的椭圆①②与双曲线③④的离心率分别为,则其大小关系为（ ）.
A.
B.
C.
D.
7.若点和点分别为双曲线的中心和左焦点,点为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
8.在椭圆上有两个动点为定点,,则的最小值为（ ）.
A.4
B.
C.
D.1
二、多选题
9.直线和直线垂直,则实数的值为（ ）.
A.
B.0
C.1
D.2
10.圆锥曲线的两个焦点分别为.若曲线上存在点满足,则曲线的离心率可以为（ ）.
A.
B.
C.2
D.
11.湖北武汉华中师范大学第一附属中学高二期中)已知方程表示的曲线为,以下命题正确的有（ ）.
A.当时,曲线不一定是椭圆
B.当或时,曲线一定是双曲线
C.若曲线是焦点在轴上的椭圆,则
D.若曲线是焦点在轴上的双曲线,则
12.已知椭圆的离心率为,点,1)在椭圆上,直线平行于且在轴上的截距为,直线与椭圆交于两个不同的点.下面结论正确的有（ ）.
A.椭圆的方程为
B.
C.
D.或
三、填空题
13.（2020北京大峪中学测试）已知双曲线,的离心率是,焦点分别为,点在双曲线上,且在中,.若的面积为9,则双曲线的方程为_____,渐近线方程为_____.
14.已知过抛物线的焦点,斜率为的直线交抛物线于两点,且.点为坐标原点,点为抛物线上一点.若,则的值是_____.
15.（2020福建师大附中高二期末）已知椭圆的左、右焦点分别是,若离心率,则称椭圆为“黄金椭圆”.下列有三个命题:
①在黄金椭圆中,;
②在黄金椭圆中,若上顶点、右顶点分别为,则
③在黄金椭圆中,以,为顶点的菱形的内切圆经过焦点.
其中正确命题的序号是_____.
16.（2020湖湖南湘潭高二期末）已知分别是双曲线的左、右焦点,是双曲线左支上任意一点,的最小值为,则此双曲线的离心率的取值范围为_____.
四、解答题
17.(2020山东文登一中月考)已知两直线和.
(1)若与交于点,求的值;
(2)若,试确定需要满足的条件;
(3)若,试确定需要满足的条件.
18.（2020抚顺12中月考）已知圆,圆,直线.
(1)求圆被直线截得的弦长;
(2)当为何值时,圆与圆的公共弦平行于直线
19.（2020河河北唐山摸底）已知斜率为的直线与抛物线交于两点,为坐标原点.
(1)当时,求的值;
(2)若,且,求.
20.（2020北京四十三中测试椭圆)的离心率为,过右焦点垂直于轴的直线与椭圆交于两点且,过左焦点任作直线.
(1)求椭圆的方程;
(2)椭圆上两点关于直线对称,求面积的最大值.
21.（2020山东新泰二中月考）已知点是圆上任意一点是圆心,点与点关于原点对称,线段的中垂线分别与交于两点.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)直线经过点,与抛物线交于两点,与交于两点,当以线段为直径的圆经过点时,求的值.
22.（2020北京西城实验学校测试）已知椭圆的长轴是短轴的两倍,点在椭圆上.不经过原点的直线与椭圆相交于两点(如图.设直线的斜率分别为,且.
(1)求椭圆的方程;
(2)试探究是否为定值,若是,求出这个值;若不是,求出它的取值范围.
《平面解析几何》综合测试答案
第卷选择题（共60分)
一、单选题
1.(2020湖南湘潭高二期末)已知直线过点,椭圆,则直线与椭圆的交点个数为（ ）.
A.1
B.1或2
C.2
D.0
答案：C
解析:由点在椭圆的内部，可得直线与椭圆相交,故交点个数为2.
2.安徽六安第一中学月考)已知双曲线的方程为,则下列关于双曲线的说法正确的是（ ）.
A.虚轴长为4
B.焦距为
C.离心率为
D.渐近线方程为
答案：D
解析：双曲线的方程为，其中,虚轴长为错误;焦距为错误;离心率错误;渐近线方程为正确.故选D.
3.已知抛物线的准线经过点,则抛物线的焦点坐标为（ ）.
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：由抛物线的方程及其准线经过点可知抛物线的焦点坐标为.故选B.
4.(2020大连23中月考)过直线和的交点且与直线平行的直线的方程为（ ）.
A.
B.
C.
D.
答案：D
解析：方法一：解方程组得所以直线和的交点为.设与直线平行的直线的方程为,把点代入,得,故所求直线的方程为.
方法二:过直线和的交点的方程可设为,即0,若上述直线与平行,则,解得,代入所设方程得.
5.(2020北京昌平二中月考)过抛物线的焦点作倾斜角为的直线,则被抛物线截得的弦长为（ ）.
A.8
B.16
C.32
D.64
答案：B
解析：抛物线中,则焦点坐标为,过焦点且倾斜角为的直线方程为,由得,则（为直线与抛物线两个交点的横坐标）.从而直线被抛物线截得的弦长为.
6.如图,共顶点的椭圆①②与双曲线③④的离心率分别为,则其大小关系为（ ）.
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：由椭圆、双曲线的离心率范围知,,由椭圆①②的扁圆情况知,由双曲线③④的开ロ大小情况知,所以的大小关系为.
7.若点和点分别为双曲线的中心和左焦点,点为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：因为双曲线的左焦点为,所以.由,得,解得.设,则.因为点在双曲线上,所以.又因为点在双曲线的右支上,所以,所以当时,最小,最小值为.
即的取值范围是.
8.在椭圆上有两个动点为定点,,则的最小值为（ ）.
A.4
B.
C.
D.1
答案：C
解析:由题意得.设点,则,所以,又2,所以当时,取得最小值.故选C.
二、多选题
9.直线和直线垂直,则实数的值为（ ）.
A.
B.0
C.1
D.2
答案：AB
解析：由两直线垂直可得,解得或.故兟AB.
10.圆锥曲线的两个焦点分别为.若曲线上存在点满足,则曲线的离心率可以为（ ）.
A.
B.
C.2
D.
答案：AB
解析：因为,所以可设.①若圆锥曲线为椭圆,则由椭圆的定义,得离心率;②若圆锥曲线为双曲线，则由双曲线的定义，得离心率.综上,所求的离心率为或.
11.湖北武汉华中师范大学第一附属中学高二期中)已知方程表示的曲线为,以下命题正确的有（ ）.
A.当时,曲线不一定是椭圆
B.当或时,曲线一定是双曲线
C.若曲线是焦点在轴上的椭圆,则
D.若曲线是焦点在轴上的双曲线,则
答案：ABCD
解析:对于,当时,曲线表示圆,所以不一定是椭圆，A正确；
对于,当时,曲线表示焦点在轴上的双曲线,当时,曲线表示焦点在轴上的双曲线,所以曲线一定是双曲线,B正确;
对于,若曲线是焦点在轴上的椭圆,则解得正确;
对于,若曲线是焦点在轴上的双曲线,则解得，D正确.
故选.
12.已知椭圆的离心率为,点,1)在椭圆上,直线平行于且在轴上的截距为,直线与椭圆交于两个不同的点.下面结论正确的有（ ）.
A.椭圆的方程为
B.
C.
D.或
答案：ABC
解析：由题意,得解得故椭圆的方程为正确;由于，B正确;因为直线的斜率,又在轴上的截距为,所以直线的方程为.由得.因为直线与椭圆交于两个不同的点,所以,解得.所以正确,D错误.
三、填空题
13.（2020北京大峪中学测试）已知双曲线,的离心率是,焦点分别为,点在双曲线上,且在中,.若的面积为9,则双曲线的方程为_____,渐近线方程为_____.
答案：
解析：设,不妨设.在中,,则.又的面积为9,则,离心率是,则,解得所以,所以双曲线的方程为,渐近线方程为.
14.已知过抛物线的焦点,斜率为的直线交抛物线于两点,且.点为坐标原点,点为抛物线上一点.若,则的值是_____.
答案：0或2
解析:由题意知直线的方程是,与抛物线方程联立,得,所以.由抛物线定义得,所以,所以抛物线的方程是.由可化简为,解得,从而(1,.
设,由,得.又,即1),整理得,解得或.
15.（2020福建师大附中高二期末）已知椭圆的左、右焦点分别是,若离心率,则称椭圆为“黄金椭圆”.下列有三个命题:
①在黄金椭圆中,;
②在黄金椭圆中,若上顶点、右顶点分别为,则
③在黄金椭圆中,以,为顶点的菱形的内切圆经过焦点.
其中正确命题的序号是_____.
答案：①②③
解析：由,得到,结合,得,①故正确;
,而,故,②正确;
结合题意可知,该圆的圆心为坐标原点,设圆的半径为,由圆是菱形的内切圆,结合可知,代入得,所以该圆经过焦点,③正确.故答案为①②③.
16.（2020湖湖南湘潭高二期末）已知分别是双曲线的左、右焦点,是双曲线左支上任意一点,的最小值为,则此双曲线的离心率的取值范围为_____.
答案：
解析：由定义知,所以，
当且仅当,即时取等号,此时,因为,所以,可得,又双曲线的离心率,所以.
四、解答题
17.(2020山东文登一中月考)已知两直线和.
(1)若与交于点,求的值;
(2)若,试确定需要满足的条件;
(3)若,试确定需要满足的条件.
答案：见解析
解析：(1将点分别代人两条直线的方程得解得
(2)由,得,解得.
又两直线不能重合,所以,对应得,所以当或时,.
(3)当时,直线和,此时;
当时,两直线的斜率之积等于,显然与不垂直.综上,当时,.
18.（2020抚顺12中月考）已知圆,圆,直线.
(1)求圆被直线截得的弦长;
(2)当为何值时,圆与圆的公共弦平行于直线
答案：见解析
解析：（1）因为圆的圆心为,半径长,所以圆心到直线的距离.
由勾股定理可知,圆被直线截得的弦长为.
(2)圆与圆的公共弦方程为.
因为该公共弦平行于直线,所以,解得,经检验符合题意.故当时,圆与圆的公共弦平行于直线.
19.（2020河河北唐山摸底）已知斜率为的直线与抛物线交于两点,为坐标原点.
(1)当时,求的值;
(2)若,且,求.
答案：见解析
解析：(1)由已知可得,
所以,
所以直线的斜率.
(2)因为,直线的斜率不为0,所以.
又因为,所以.
又由可知,,从而有.
所以,
.
因为,所以,
化简得,解得.
所以.
20.（2020北京四十三中测试椭圆)的离心率为,过右焦点垂直于轴的直线与椭圆交于两点且,过左焦点任作直线.
(1)求椭圆的方程;
(2)椭圆上两点关于直线对称,求面积的最大值.
答案：见解析
解析：（1）由已知条件得.
又,且,
椭圆的方程为.
(2)依题意直线不垂直于轴,当直线的斜率时,可设直线的方程为,则直线的方程为.
由得,
,即.①
设的中点为,则.
又点在直线上,,故，②此时与①矛盾,故时不成立.
当直线的斜率时,,
的面积.
，
面积的最大值为,当且仅当时取等号.
21.（2020山东新泰二中月考）已知点是圆上任意一点是圆心,点与点关于原点对称,线段的中垂线分别与交于两点.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)直线经过点,与抛物线交于两点,与交于两点,当以线段为直径的圆经过点时,求的值.
答案：见解析
解析：（1）,圆的半径为4,
且,
从而,
所以点的轨迹是以为焦点的椭圆,
其中,则,
所以点的轨迹的方程为.
(2)当直线与轴垂直时,,
又,此时,
所以以线段为直径的圆不经过点,不满足条件.
当直线与轴不垂直时,设,
由消去y并整理得.
设,
则①,②.
因为以线段为直径的圆经过点,所以,又,
所以,
所以,
整理得③,
联立①②③,解得.
由消去并整理得.
因为直线与抛物线有两个交点,所以.
设,
则,
所以.
22.（2020北京西城实验学校测试）已知椭圆的长轴是短轴的两倍,点在椭圆上.不经过原点的直线与椭圆相交于两点(如图.设直线的斜率分别为,且.
(1)求椭圆的方程;
(2)试探究是否为定值,若是,求出这个值;若不是,求出它的取值范围.
答案：见解析
解析：（1）由题意可知,且,
解得,
所以椭圆的方程为.
(2)设直线的方程为.
联立得.
所以
且.
所以,
即,
所以.
因为,所以,解得.
此时,即,
所以
故，
所以是定值,为5.
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