人教B版高中数学选择性必修第一册 第二章 平面解析几何 章末综合测评（含解析）

章末综合测评(二)　平面解析几何
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于P、Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为(　　)
A．　　　　　　　　 B．－
C．3 D．－3
2．若直线l1：ax＋2y＋6＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋5＝0垂直，则实数a的值是(　　)
A． B．1
C． D．2
3．若方程x2＋y2－x＋y－2m＝0表示一个圆，则实数m的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
4．过点A(1,0)的直线l与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相交于A，B两点，若|AB|＝，则该直线的斜率为(　　)
A．±1 B．±
C．± D．±2
5．已知点P为双曲线－＝1右支上一点，点F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心．若S△PMF1＝S△PMF2＋8，则△MF1F2的面积为(　　)
A．2 B．10
C．8 D．6
6．焦点为(0，±3)，且与双曲线－y2＝1有相同的渐近线的双曲线方程是(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
7．若圆C1：(x－1)2＋(y－1)2＝1与圆C2：(x＋2)2＋(y＋3)2＝r2外切，则正数r的值是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
8．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 (　　)
A． B．2－
C．－2 D．－
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得分5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．已知平面上一点M(5,0)，若直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”．下列直线中是“切割型直线”的是(　　)
A．y＝x＋1 B．y＝2
C．y＝x D．y＝2x＋1
10．实数x，y满足x2＋y2＋2x＝0，则下列关于的判断正确的是(　　)
A．的最大值为
B．的最小值为－
C．的最大值为
D．的最小值为－
11．已知点A是直线l：x＋y－10＝0上一定点，点P，Q是圆C：(x－4)2＋(y－2)2＝4上的动点，若∠PAQ的最大值为60°，则点A的坐标可以是(　　)
A．(4,6) B．(2,8)
C．(6,4) D．(8,2)
12．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则有(　　)
A．渐近线方程为y＝±x
B．渐近线方程为y＝±x
C．∠MAN＝60°
D．∠MAN＝120°
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0关于直线x－y＝1对称的圆的方程为x2＋y2＝1，则实数a的值为 ．
14．已知直线l与直线y＝1，x－y－7＝0分别相交于P、Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，那么直线l的斜率为 ．
15．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交椭圆C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为 ．
16．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则双曲线方程为 ，离心率为 ．(本题第一空2分，第二空3分)
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)直线l在两坐标轴上的截距相等，且P(4,3)到直线l的距离为3，求直线l的方程．
18．(本小题满分12分)过原点O的圆C，与x轴相交于点A(4，0)，与y轴相交于点B(0,2)．
(1)求圆C的标准方程．
(2)直线l过点B与圆C相切，求直线l的方程，并化为一般式．
19．(本小题满分12分)已知椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝，点P到椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程．
20．(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴的正半轴上，直线x＋y－1＝0与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝．
(1)求抛物线的方程；
(2)在x轴上是否存在一点C，使△ABC为正三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
21．(本小题满分12分)已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x＋3y－29＝0相切．
(1)求圆的方程；
(2)若直线ax－y＋5＝0(a≠0)与圆相交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P(－2,4)的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
22．(本小题满分12分)设斜率不为0的直线l与抛物线x2＝4y交于A，B两点，与椭圆＋＝1交于C，D两点，记直线OA，OB，OC，OD的斜率分别为k1，k2，k3，k4．
(1)若直线l过(0,4)，证明：OA⊥OB；
(2)求证：的值与直线l的斜率的大小无关．
章末综合测评(二)　平面解析几何答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于P、Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为(　　)
A．　　　　　　　　 B．－
C．3 D．－3
B　[设P(a,1)，Q(7，b)，则有∴
故直线l的斜率为＝－．]
2．若直线l1：ax＋2y＋6＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋5＝0垂直，则实数a的值是(　　)
A． B．1
C． D．2
A　[直线l1：ax＋2y＋6＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋5＝0垂直，
则a×1＋2(a－1)＝0，
解得a＝．]
3．若方程x2＋y2－x＋y－2m＝0表示一个圆，则实数m的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
C　[根据题意，方程x2＋y2－x＋y－2m＝0表示一个圆，
则有1＋1－4×(－2m)＞0，
解的m＞－，即m的取值范围为．]
4．过点A(1,0)的直线l与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相交于A，B两点，若|AB|＝，则该直线的斜率为(　　)
A．±1 B．±
C．± D．±2
A　[设直线l方程为y＝k(x－1)，则圆心到直线l的距离为＝，则弦|AB|＝2＝，解得k＝±1．]
5．已知点P为双曲线－＝1右支上一点，点F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心．若S△PMF1＝S△PMF2＋8，则△MF1F2的面积为(　　)
A．2 B．10
C．8 D．6
B　[由题意知，a＝4，b＝3，c＝5．又由双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a＝8．设△PF1F2的内切圆的半径为R．∵S△PMF1＝S△PMF2＋8，∴(|PF1|－|PF2|)R＝8，即4R＝8，∴R＝2，∴S△MF1F2＝·2c·R＝10．故选B．]
6．焦点为(0，±3)，且与双曲线－y2＝1有相同的渐近线的双曲线方程是(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
B　[双曲线－y2＝1中，a2＝2，b2＝1，所以渐近线方程为y＝±x，所以所求双曲线的方程中＝，c＝3，a2＋b2＝c2，所以a2＝3，b2＝6，则双曲线方程为－＝1，故选B．]
7．若圆C1：(x－1)2＋(y－1)2＝1与圆C2：(x＋2)2＋(y＋3)2＝r2外切，则正数r的值是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
C　[圆C1：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆C2：(x＋2)2＋(y＋3)2＝r2，
∴C1坐标为(1,1)，半径为1，C2坐标为(－2，－3)，半径为r，
∴|C1C2|＝r1＋r2 ＝r＋1 r＝4．]
8．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 (　　)
A． B．2－
C．－2 D．－
D　[设|F1F2|＝2c，|AF1|＝m，若△ABF1是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|＝|AF1|＝m，|BF1|＝m．
由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，即有4a＝2m＋m，即m＝(4－2)a，则|AF2|＝2a－m＝(2－2)a．
在Rt△AF1F2中，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2，即4c2＝4(2－)2a2＋4(－1)2a2，即c2＝(9－6)a2，即c＝(－)a，即e＝＝－．]
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得分5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．已知平面上一点M(5,0)，若直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”．下列直线中是“切割型直线”的是(　　)
A．y＝x＋1 B．y＝2
C．y＝x D．y＝2x＋1
BC　[对于A，d1＝＝3>4；对于B，d2＝2<4；对于C，d3＝＝4；对于D，d4＝＝>4，所以符合条件的有BC．]
10．实数x，y满足x2＋y2＋2x＝0，则下列关于的判断正确的是(　　)
A．的最大值为
B．的最小值为－
C．的最大值为
D．的最小值为－
CD　[由题意可得方程x2＋y2＋2x＝0为圆心是C(－1,0)，半径为1的圆，由为圆上的点与定点P(1,0)的斜率的值，
设过P(1,0)点的直线为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，
圆心到直线的距离d＝r，即＝1，整理可得3k2＝1，解得k＝±，
所以∈，即的最大值为，最小值为－．]
11．已知点A是直线l：x＋y－10＝0上一定点，点P，Q是圆C：(x－4)2＋(y－2)2＝4上的动点，若∠PAQ的最大值为60°，则点A的坐标可以是(　　)
A．(4,6) B．(2,8)
C．(6,4) D．(8,2)
AD　[点A是直线l：x＋y－10＝0上一定点，点P，Q是圆C：(x－4)2＋(y－2)2＝4上的动点，
如图：圆的半径为2，
所以直线l上的A点到圆心的距离为4，
结合图形，可知A的坐标(4,6)与(8,2)满足题意．
]
12．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则有(　　)
A．渐近线方程为y＝±x
B．渐近线方程为y＝±x
C．∠MAN＝60°
D．∠MAN＝120°
BC　[由题意可得e＝＝，可设c＝2t，a＝t，t＞0，
则b＝＝t，A(t,0)，
圆A的圆心为(t,0)，半径r为t，
双曲线的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，
圆心A到渐近线的距离为d＝＝t，
弦长|MN|＝2＝2＝t＝b，
可得三角形MNA为等边三角形，
即有∠MAN＝60°．]
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0关于直线x－y＝1对称的圆的方程为x2＋y2＝1，则实数a的值为 ．
2　[圆的方程可化为＋(y＋1)2＝，表示以A为圆心，以为半径的圆，关于直线x－y＝1对称的圆x2＋y2＝1的圆心为(0,0)，故有×1＝－1，得a＝2．]
14．已知直线l与直线y＝1，x－y－7＝0分别相交于P、Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，那么直线l的斜率为 ．
－　[设P(a,1)，Q(b，b－7)，由PQ中点坐标为(1，－1)得解得a＝－2，b＝4．
∴P(－2,1)，Q(4，－3)
直线l的斜率为＝－．]
15．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交椭圆C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为 ．
＋＝1　[由椭圆的定义，可知△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝4，解得a＝．又离心率＝，所以c＝1．由a2＝b2＋c2，得b＝，所以椭圆C的方程为＋＝1．]
16．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则双曲线方程为 ，离心率为 ．(本题第一空2分，第二空3分)
－＝1　　[双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，由题意知两条渐近线互相垂直，由双曲线的对称性可知＝1，又正方形OABC的边长为2，所以c＝2，由a2＋b2＝c2可得2a2＝(2)2，解得a＝2．∴b＝2，
∴双曲线方程为－＝1，离心率为e＝＝．]
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)直线l在两坐标轴上的截距相等，且P(4,3)到直线l的距离为3，求直线l的方程．
[解]　若l在两坐标轴上截距为0，
设l：y＝kx，即kx－y＝0，则＝3．
解得k＝－6±．
此时l的方程为y＝x；
若l在两坐标轴上截距不为0，
设l：＋＝1，即x＋y－a＝0，则＝3．
解得a＝1或13．
此时l的方程为x＋y－1＝0或x＋y－13＝0．
综上，直线l的方程为
y＝x或x＋y－1＝0或x＋y－13＝0．
18．(本小题满分12分)过原点O的圆C，与x轴相交于点A(4，0)，与y轴相交于点B(0,2)．
(1)求圆C的标准方程．
(2)直线l过点B与圆C相切，求直线l的方程，并化为一般式．
[解]　(1)设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
分别代入原点和A(4,0)，B(0,2)，得
解得
则圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5．
(2)由(1)得圆心C(2,1)，半径r＝，
由于直线l过点B与圆C相切，
则设直线l：x＝0或y＝kx＋2，
当直线l：x＝0时，C到l的距离为2，不合题意，舍去；
当直线l：y＝kx＋2时，由直线与圆相切，得到圆心到直线距离d＝r，
即有＝，
解得k＝2，
故直线l：y＝2x＋2，即2x－y＋2＝0．
19．(本小题满分12分)已知椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝，点P到椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程．
[解]　设所求椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∵＝＝＝，∴a＝2b，
∴椭圆的方程为＋＝1．
设椭圆上点M(x，y)到点P的距离为d，
则d2＝x2＋＝4b2＋y2－3y＋
＝－3＋4b2＋3，－b≤y≤b．
记f(y)＝－3＋4b2＋3，－b≤y≤b．
①当－b≤－，即b≥时，d＝f＝4b2＋3＝7，
∴b＝1，∴椭圆的方程为＋y2＝1；
②当－<－b，即0综上，可知所求椭圆的方程为＋y2＝1．
20．(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴的正半轴上，直线x＋y－1＝0与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝．
(1)求抛物线的方程；
(2)在x轴上是否存在一点C，使△ABC为正三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)由题意，设所求抛物线的方程为y2＝2px(p>0)．
由消去y，得x2－2(1＋p)x＋1＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2(1＋p)，x1x2＝1．
∵|AB|＝，
即＝，
∴121p2＋242p－48＝0，
解得p＝或p＝－(舍去)，
∴抛物线的方程为y2＝x．
(2)设AB的中点为点D，则D．
假设在x轴上存在满足条件的点C(x0,0)，连接CD．
∵△ABC为正三角形，
∴CD⊥AB，即·(－1)＝－1，
解得x0＝，∴C，
∴|CD|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,11)－\f(13,11)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(2,11))))＝．
又|CD|＝|AB|＝≠，∴矛盾，不符合题目条件，
∴在x轴上不存在一点C，使△ABC为正三角形．
21．(本小题满分12分)已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x＋3y－29＝0相切．
(1)求圆的方程；
(2)若直线ax－y＋5＝0(a≠0)与圆相交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P(－2,4)的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)设圆心坐标为M(m,0)(m∈Z)，
由于圆与直线4x＋3y－29＝0相切，且圆的半径为5，
所以＝5，即|4m－29|＝25，
即4m－29＝25或4m－29＝－25，
解得m＝或m＝1．
因为m为整数，故m＝1，
故所求的圆的方程为(x－1)2＋y2＝25．
(2)设符合条件的实数a存在，
因为a≠0，则直线l的斜率为－，所以直线l的方程为y＝－(x＋2)＋4，
即x＋ay＋2－4a＝0．
由于直线l垂直平分弦AB，故圆心M(1,0)必在直线l上，
所以1＋0＋2－4a＝0，解得a＝．
经检验，当a＝时，直线ax－y＋5＝0与圆有两个交点，
故存在实数a＝，使得过点P(－2,4)的直线l垂直平分弦AB．
22．(本小题满分12分)设斜率不为0的直线l与抛物线x2＝4y交于A，B两点，与椭圆＋＝1交于C，D两点，记直线OA，OB，OC，OD的斜率分别为k1，k2，k3，k4．
(1)若直线l过(0,4)，证明：OA⊥OB；
(2)求证：的值与直线l的斜率的大小无关．
[证明]　(1)设直线方程为y＝kx＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由x＝4y1，x＝4y2，两式相乘可得(x1x2)2＝16y1y2，
由可得x2－4kx－16＝0，
则x1x2＝－16，y1y2＝16，x1x2＋y1y2＝0，
即·＝0，OA⊥OB.
(2)设直线y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，
可得x2－4kx－4m＝0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m，
k1＋k2＝＋＝＋＝k，
联立y＝kx＋m和椭圆2x2＋3y2＝12，可得(2＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－12＝0，
Δ＝36k2m2－4(2＋3k2)(3m2－12)＞0，即4＋6k2＞m2，
x3＋x4＝－，x3x4＝，
k3＋k4＝＋＝＋＝2k＋m＝2k＋＝2k－＝－，
则＝－与直线l的斜率的大小无关．
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