人教B版高中数学选择性必修第一册 第二章 平面解析几何 章末整合 课件（共68张PPT）
文档属性
| 名称 | 人教B版高中数学选择性必修第一册 第二章 平面解析几何 章末整合 课件（共68张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-23 22:15:54 | ||
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文档简介
(共68张PPT)
章末整合
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题一、用待定系数法求直线或圆的方程
例1过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=( )
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
答案:C
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
例2若一条直线经过两条直线x+3y-10=0和3x-y=0的交点,且原点到它的距离为1,求该直线的方程.
解:设过两条直线交点的直线方程为x+3y-10+λ(3x-y)=0,即(1+3λ)x+(3-λ)y-10=0.
因为原点到所求直线的距离为1,
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
方法技巧1.求直线的方程、圆的方程的方法主要有两种:直接法和待定系数法,其中待定系数法应用最广泛,它是指首先设出所求直线的方程或圆的方程,然后根据题目条件确定其中的参数值,最后代入方程即得所要求的直线方程或圆的方程.
2.选择合适的直线方程、圆的方程的形式是很重要的.一般情况下,与截距有关的,可设直线的斜截式方程或截距式方程;与斜率有关的,可设直线的斜截式或点斜式方程等.与圆心和半径相关时,常设圆的标准方程,其他情况下设圆的一般方程.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
变式训练1求经过点A(-2,-4)且与直线l:x+3y=26相切于点B(8,6)的圆C的一般方程.
解:设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
因为点A(-2,-4),B(8,6)在圆C上,CB⊥l,
故圆C的一般方程为x2+y2-11x+3y-30=0.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题二、用图示法解决圆中的最值或范围问题
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
方法技巧1.数形结合思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,即把代数中的“数”与几何中的“形”结合起来认识问题,理解问题并解决问题的思维方法.数形结合一般包括两个方面,即以“形”助“数”,以“数”解“形”.
2.本章直线的方程和直线与圆的位置关系中有些问题,如距离、倾斜角、斜率、直线与圆相切等都很容易转化成“形”,因此这些问题若利用直观的几何图形处理会得到很好的效果.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
变式训练2(1)已知B(3,4),求圆x2+y2=4上的点与B的最大距离和最小距离.
解:如图所示,设直线BO与圆交于P,Q两点,P'是圆上任意一点.
则|BP'|+|P'O|≥|BO|=|OP|+|BP|,∴|BP'|≥|BP|.
∴P是圆上与B距离最近的点.
∵|BP'|≤|BO|+|OP'|=|BO|+|OQ|=|BQ|,
∴Q是圆上与B距离最远的点.
∴|BP|=3,|BQ|=7.
∴圆上的点与B的最大距离为7,最小距离为3.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
(2)已知P(x,y)为圆x2+y2-6x-4y+12=0上的点.求x2+y2的最大值和最小值.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题三、对称问题
例5已知直线l:y=3x+3,求:
(1)点P(4,5)关于l的对称点的坐标;
(2)直线l1:y=x-2关于l的对称直线的方程.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
例6已知圆C:x2+y2+Dx-6y+1=0上有两点P,Q关于直线x-y+4=0对称.
(1)求圆C的半径;
(2)若OP⊥OQ,其中O为坐标原点,求直线PQ的方程;
(3)直线l:(2m-1)x-(m-1)y+8m-6=0被圆C截得弦长最短时,求m的值.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
所以x1·x2+y1·y2=0.
所以x1·x2+(-x1+b)(-x2+b)=0.
所以2x1·x2-b(x1+x2)+b2=0.
则b2-6b+1+b(4-b)+b2=0,
即b2-2b+1=0,解得b=1.
经检验满足Δ=4(4-b)2-4×2×(b2-6b+1)>0.
所以直线PQ的方程为y=-x+1.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
方法技巧1.中心对称
(1)两点关于点对称:设P1(x1,y1),P(a,b),则P1(x1,y1)关于P(a,b)对称的点为P2(2a-x1,2b-y1),即P为线段P1P2的中点;特别地,P(x,y)关于原点对称的点为P'(-x,-y).
(2)两条直线关于点对称:设直线l1,l2关于点P对称,这时其中一条直线上任一点关于P对称的点都在另外一条直线上,并且l1∥l2,P到l1,l2的距离相等.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
2.轴对称
(1)两点关于直线对称:设P1,P2关于直线l对称,则直线P1P2与l垂直,且P1P2的中点在l上,解决这类问题的关键是由“垂直”和“平分”列方程.
(2)两条直线关于直线对称:设l1,l2关于直线l对称.
①当三条直线l1 ,l2,l共点时,l上任意一点到l1,l2的距离相等,并且l1,l2中一条直线上任意一点关于l对称的点在另外一条直线上;
②当l1∥l2∥l时,l1到l的距离等于l2到l的距离.
3.涉及圆的对称问题,主要把握住圆心;涉及的计算公式,同直线中的计算公式.
特别地,直线f(x,y)=0关于直线y=x+a的对称直线方程为f(y-a,x+a)=0,直线f(x,y)=0关于直线y=-x+a的对称直线方程为f(a-y,a-x)=0,可以很方便地求解很多对称问题.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
解析:(1)设两圆的圆心分别为A,B,因此原题可转化为在直线y=x上找一个点P,使|PB|-|PA|最大,即只需作点B关于直线y=x的对称点B',显然B'的坐标是(0,2),从而可知原点即为要求的点.故|PN|-|PM|的最
(2)圆方程可化为(x+2)2+(y-4)2=20-a,
则圆心为(-2,4),且20-a>0,即a<20.
又圆关于y=2x+b成轴对称,
所以点(-2,4)在直线y=2x+b上,
所以b=8,所以a-b<12.
答案:(1)D (2)(-∞,12)
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题四、求轨迹方程问题
例7已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C为一个焦点作过A,B的椭圆,求椭圆的另一个焦点F的轨迹方程.
分析先根据椭圆的定义列出关系式,再将其坐标化即可.
解:∵|AC|=13,|BC|=15,|AB|=14,
又|AF|+|AC|=|BF|+|BC|,
∴|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2,
故点F的轨迹是以A,B为焦点,实轴长为2的双曲线的一支.又c=7,a=1,b2=48,
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
例8设A(-c,0),B(c,0)(c>0)为两定点,动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a>0),求P点的轨迹.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
方法技巧
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
变式训练4(1)设A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线,且|PA|=1,则P点的轨迹方程是( )
A.(x-1)2+y2=4 B.(x-1)2+y2=2
C.y2=2x D.y2=-2x
解析:作图可知圆心(1,0)到P点距离为 ,所以P在以(1,0)为圆心,
以 为半径长的圆上,其轨迹方程为(x-1)2+y2=2.
答案:B
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
(2)过双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线,垂足为N.求线段QN的中点P的轨迹方程.
解:设动点P的坐标为(x,y),点Q的坐标为(x1,y1),则点N的坐标为(2x-x1,2y-y1).因为点N在直线x+y=2上,所以2x-x1+2y-y1=2.①
又因为PQ垂直于直线x+y=2,
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题五、离心率问题
例9已知中心在坐标原点的双曲线C与抛物线x2=2py(p>0)有相同的焦点F,点A是两曲线的交点,且AF⊥y轴,则双曲线的离心率为( )
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
答案:B
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
答案:D
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
方法技巧
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
变式训练5(1)2019年1月3日10点26分(北京时间),“嫦娥四号”探测器成功着陆月球背面东经177.6度、南纬45.5度附近的预选着陆区,并通过“鹊桥”中继星传回了月背影像图,揭开了古老月背的神秘面纱.如图所示,假设“嫦娥四号”卫星沿地月转移轨道飞向月球后,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用e1和e2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的离心率,则( )
A.e1>e2
B.e1C.e1=e2
D.不能确定
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
解析:(1)设椭圆轨道Ⅰ和椭圆轨道Ⅱ的长轴长分别为2a1,2a2,焦距分别为2c1,2c2,由题意知a1>a2,c1>c2,且a1-c1=a2-c2.令a1-c1=a2-c2=t,t>0,∴a1=t+c1,a2=t+c2,
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
(2)如图所示.
根据余弦定理|AF|2=|BF|2+|AB|2-2|AB|·|BF|cos∠ABF,即|BF|2-16|BF|+64=0,得|BF|=8.
又|OF|2=|BF|2+|OB|2-2|OB|·|BF|cos∠ABF,得|OF|=5.
根据椭圆的对称性|AF|+|BF|=2a=14,得a=7.
又|OF|=c=5,故离心率e= .
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
(3)由圆x2+y2=a2+b2,得x2+y2=c2,
∴圆过焦点F1和F2.∴∠F1PF2=90°.
又2∠PF1F2=∠PF2F1,
∴∠PF1F2=30°,∠PF2F1=60°.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题六、圆锥曲线中的定点、定值、最值或探索类问题
1.定点问题
例11已知A(-2,0),B(2,0),点C是动点,且直线AC和直线BC的斜率之积为- .
(1)求动点C的轨迹方程;
(2)设直线l与(1)中轨迹相切于点P,与直线x=4相交于点Q,判断以PQ为直径的圆是否过x轴上一定点.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
方法技巧圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.
(2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
变式训练6已知抛物线C的顶点在原点,焦点在坐标轴上,点A(1,2)为抛物线C上一点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若点B(1,-2)在抛物线C上,过点B作抛物线C的两条弦BP与BQ,若kBP·kBQ=-2,求证:直线PQ过定点.
(1)解:若抛物线的焦点在x轴上,设抛物线方程为y2=ax,代入点A(1,2),可得a=4,所以抛物线方程为y2=4x.
若抛物线的焦点在y轴上,设抛物线方程为x2=my,代入点A(1,2),可得
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
(2)证明:因为点B(1,-2)在抛物线C上,所以由(1)可得抛物线C的方程是y2=4x.
易知直线BP,BQ的斜率均存在,设直线BP的方程为y+2=k(x-1),
将直线BP的方程代入y2=4x,消去y,得k2x2-(2k2+4k+4)x+(k+2)2=0.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
2.定值问题
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
方法技巧圆锥曲线中定值问题的两大解法
①从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;
②引起变量法:其解题流程为
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
变式训练7已知直线l过抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,且垂直于抛物线的对称轴,l与抛物线两交点间的距离为2.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若点P(2,2),过点(-2,4)的直线m与抛物线C相交于A,B两点,设直线PA与PB的斜率分别为k1和k2.求证:k1k2为定值,并求出此定值.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
(1)解:由题意可知,2p=2,解得p=1,则抛物线的方程为x2=2y.
(2)证明:由题易知直线m的斜率存在,设直线m的方程为y-4=k(x+2),A(x1,y1),B(x2,y2),
联立抛物线x2=2y与直线y-4=k(x+2)的方程消去y得x2-2kx-4k-8=0,其中Δ=4(k2+4k+8)>0恒成立,可得x1+x2=2k,x1x2=-4k-8,则k1k2=-1.
因此k1k2为定值,且该定值为-1.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
3.最值问题
例13已知点A(4,-2),F为抛物线y2=8x的焦点,点M在抛物线上移动,当|MA|+|MF|取最小值时,点M的坐标为( )
解析:如图,过点M作抛物线的准线l的垂线,垂足为E.由抛物线的定义知|MF|=|ME|.当点M在抛物线上移动时,|ME|+|MA|的值在变化,显然当M移到M'时,A,M',E'三点共线,|M'E'|+|M'A|最小,此时AM'∥Ox.把y=-2代入y2=8x,得x=
答案:D
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
例14已知F1,F2为椭圆x2+ =1的两个焦点,AB是过焦点F1的一条动弦,求△ABF2面积的最大值.
分析△ABF2的面积是由直线AB的斜率k确定的,因此可构建以k为自变量的目标函数,用代数的方法求函数的最大值.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
方法技巧与圆锥曲线有关的最值问题,大都是些综合性问题,解法灵活,技巧性强,涉及代数、三角、几何诸方面的知识,这类问题的求解策略与方法如下:
(1)平面几何法.
平面几何法求最值问题,主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解.
(2)目标函数法.
建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题,是常规方法,其关键是选取适当的变量建立目标函数.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
变式训练8(1)长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=2x上移动,M为AB的中点,则M点到y轴的最短距离为 .
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
答案:1
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
(2)如图,点P(0,-1)是椭圆C1: (a>b>0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2:x2+y2=4的直径,l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于A,B两点,l2交椭圆C1于另一点D.
①求椭圆C1的方程;
②求△ABD面积取最大值时直线l1的方程.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
4.探索性问题
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)在x轴上是否存在一点T,使得当l变化时,总有TS与TR所在直线关于x轴对称 若存在,请求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
方法技巧此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件,则可先假设条件成立,再验证结论是否成立,成立则存在,否则不存在;若探究结论,则应先求出结论的表达式,再针对其表达式进行讨论,往往涉及对参数的讨论.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
变式训练9已知动点P到定点F(1,0)和到直线x=2的距离之比为 ,设动点P的轨迹为曲线E,过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A,B两点,直线l:y=mx+n与曲线E交于C,D两点,与AB相交于一点(交点位于线段AB上,且与A,B不重合).
(1)求曲线E的方程;
(2)当直线l与圆x2+y2=1相切时,四边形ACBD的面积是否有最大值 若有,求出其最大值及对应的直线l的方程;若没有,请说明理由.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
章末整合
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题一、用待定系数法求直线或圆的方程
例1过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=( )
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
答案:C
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
例2若一条直线经过两条直线x+3y-10=0和3x-y=0的交点,且原点到它的距离为1,求该直线的方程.
解:设过两条直线交点的直线方程为x+3y-10+λ(3x-y)=0,即(1+3λ)x+(3-λ)y-10=0.
因为原点到所求直线的距离为1,
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
方法技巧1.求直线的方程、圆的方程的方法主要有两种:直接法和待定系数法,其中待定系数法应用最广泛,它是指首先设出所求直线的方程或圆的方程,然后根据题目条件确定其中的参数值,最后代入方程即得所要求的直线方程或圆的方程.
2.选择合适的直线方程、圆的方程的形式是很重要的.一般情况下,与截距有关的,可设直线的斜截式方程或截距式方程;与斜率有关的,可设直线的斜截式或点斜式方程等.与圆心和半径相关时,常设圆的标准方程,其他情况下设圆的一般方程.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
变式训练1求经过点A(-2,-4)且与直线l:x+3y=26相切于点B(8,6)的圆C的一般方程.
解:设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
因为点A(-2,-4),B(8,6)在圆C上,CB⊥l,
故圆C的一般方程为x2+y2-11x+3y-30=0.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题二、用图示法解决圆中的最值或范围问题
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
方法技巧1.数形结合思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,即把代数中的“数”与几何中的“形”结合起来认识问题,理解问题并解决问题的思维方法.数形结合一般包括两个方面,即以“形”助“数”,以“数”解“形”.
2.本章直线的方程和直线与圆的位置关系中有些问题,如距离、倾斜角、斜率、直线与圆相切等都很容易转化成“形”,因此这些问题若利用直观的几何图形处理会得到很好的效果.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
变式训练2(1)已知B(3,4),求圆x2+y2=4上的点与B的最大距离和最小距离.
解:如图所示,设直线BO与圆交于P,Q两点,P'是圆上任意一点.
则|BP'|+|P'O|≥|BO|=|OP|+|BP|,∴|BP'|≥|BP|.
∴P是圆上与B距离最近的点.
∵|BP'|≤|BO|+|OP'|=|BO|+|OQ|=|BQ|,
∴Q是圆上与B距离最远的点.
∴|BP|=3,|BQ|=7.
∴圆上的点与B的最大距离为7,最小距离为3.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
(2)已知P(x,y)为圆x2+y2-6x-4y+12=0上的点.求x2+y2的最大值和最小值.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题三、对称问题
例5已知直线l:y=3x+3,求:
(1)点P(4,5)关于l的对称点的坐标;
(2)直线l1:y=x-2关于l的对称直线的方程.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
例6已知圆C:x2+y2+Dx-6y+1=0上有两点P,Q关于直线x-y+4=0对称.
(1)求圆C的半径;
(2)若OP⊥OQ,其中O为坐标原点,求直线PQ的方程;
(3)直线l:(2m-1)x-(m-1)y+8m-6=0被圆C截得弦长最短时,求m的值.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
所以x1·x2+y1·y2=0.
所以x1·x2+(-x1+b)(-x2+b)=0.
所以2x1·x2-b(x1+x2)+b2=0.
则b2-6b+1+b(4-b)+b2=0,
即b2-2b+1=0,解得b=1.
经检验满足Δ=4(4-b)2-4×2×(b2-6b+1)>0.
所以直线PQ的方程为y=-x+1.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
方法技巧1.中心对称
(1)两点关于点对称:设P1(x1,y1),P(a,b),则P1(x1,y1)关于P(a,b)对称的点为P2(2a-x1,2b-y1),即P为线段P1P2的中点;特别地,P(x,y)关于原点对称的点为P'(-x,-y).
(2)两条直线关于点对称:设直线l1,l2关于点P对称,这时其中一条直线上任一点关于P对称的点都在另外一条直线上,并且l1∥l2,P到l1,l2的距离相等.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
2.轴对称
(1)两点关于直线对称:设P1,P2关于直线l对称,则直线P1P2与l垂直,且P1P2的中点在l上,解决这类问题的关键是由“垂直”和“平分”列方程.
(2)两条直线关于直线对称:设l1,l2关于直线l对称.
①当三条直线l1 ,l2,l共点时,l上任意一点到l1,l2的距离相等,并且l1,l2中一条直线上任意一点关于l对称的点在另外一条直线上;
②当l1∥l2∥l时,l1到l的距离等于l2到l的距离.
3.涉及圆的对称问题,主要把握住圆心;涉及的计算公式,同直线中的计算公式.
特别地,直线f(x,y)=0关于直线y=x+a的对称直线方程为f(y-a,x+a)=0,直线f(x,y)=0关于直线y=-x+a的对称直线方程为f(a-y,a-x)=0,可以很方便地求解很多对称问题.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
解析:(1)设两圆的圆心分别为A,B,因此原题可转化为在直线y=x上找一个点P,使|PB|-|PA|最大,即只需作点B关于直线y=x的对称点B',显然B'的坐标是(0,2),从而可知原点即为要求的点.故|PN|-|PM|的最
(2)圆方程可化为(x+2)2+(y-4)2=20-a,
则圆心为(-2,4),且20-a>0,即a<20.
又圆关于y=2x+b成轴对称,
所以点(-2,4)在直线y=2x+b上,
所以b=8,所以a-b<12.
答案:(1)D (2)(-∞,12)
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题四、求轨迹方程问题
例7已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C为一个焦点作过A,B的椭圆,求椭圆的另一个焦点F的轨迹方程.
分析先根据椭圆的定义列出关系式,再将其坐标化即可.
解:∵|AC|=13,|BC|=15,|AB|=14,
又|AF|+|AC|=|BF|+|BC|,
∴|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2,
故点F的轨迹是以A,B为焦点,实轴长为2的双曲线的一支.又c=7,a=1,b2=48,
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
例8设A(-c,0),B(c,0)(c>0)为两定点,动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a>0),求P点的轨迹.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
方法技巧
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
变式训练4(1)设A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线,且|PA|=1,则P点的轨迹方程是( )
A.(x-1)2+y2=4 B.(x-1)2+y2=2
C.y2=2x D.y2=-2x
解析:作图可知圆心(1,0)到P点距离为 ,所以P在以(1,0)为圆心,
以 为半径长的圆上,其轨迹方程为(x-1)2+y2=2.
答案:B
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
(2)过双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线,垂足为N.求线段QN的中点P的轨迹方程.
解:设动点P的坐标为(x,y),点Q的坐标为(x1,y1),则点N的坐标为(2x-x1,2y-y1).因为点N在直线x+y=2上,所以2x-x1+2y-y1=2.①
又因为PQ垂直于直线x+y=2,
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题五、离心率问题
例9已知中心在坐标原点的双曲线C与抛物线x2=2py(p>0)有相同的焦点F,点A是两曲线的交点,且AF⊥y轴,则双曲线的离心率为( )
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
答案:B
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
答案:D
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
方法技巧
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
变式训练5(1)2019年1月3日10点26分(北京时间),“嫦娥四号”探测器成功着陆月球背面东经177.6度、南纬45.5度附近的预选着陆区,并通过“鹊桥”中继星传回了月背影像图,揭开了古老月背的神秘面纱.如图所示,假设“嫦娥四号”卫星沿地月转移轨道飞向月球后,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用e1和e2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的离心率,则( )
A.e1>e2
B.e1
D.不能确定
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
解析:(1)设椭圆轨道Ⅰ和椭圆轨道Ⅱ的长轴长分别为2a1,2a2,焦距分别为2c1,2c2,由题意知a1>a2,c1>c2,且a1-c1=a2-c2.令a1-c1=a2-c2=t,t>0,∴a1=t+c1,a2=t+c2,
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
(2)如图所示.
根据余弦定理|AF|2=|BF|2+|AB|2-2|AB|·|BF|cos∠ABF,即|BF|2-16|BF|+64=0,得|BF|=8.
又|OF|2=|BF|2+|OB|2-2|OB|·|BF|cos∠ABF,得|OF|=5.
根据椭圆的对称性|AF|+|BF|=2a=14,得a=7.
又|OF|=c=5,故离心率e= .
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
(3)由圆x2+y2=a2+b2,得x2+y2=c2,
∴圆过焦点F1和F2.∴∠F1PF2=90°.
又2∠PF1F2=∠PF2F1,
∴∠PF1F2=30°,∠PF2F1=60°.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题六、圆锥曲线中的定点、定值、最值或探索类问题
1.定点问题
例11已知A(-2,0),B(2,0),点C是动点,且直线AC和直线BC的斜率之积为- .
(1)求动点C的轨迹方程;
(2)设直线l与(1)中轨迹相切于点P,与直线x=4相交于点Q,判断以PQ为直径的圆是否过x轴上一定点.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
方法技巧圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.
(2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
变式训练6已知抛物线C的顶点在原点,焦点在坐标轴上,点A(1,2)为抛物线C上一点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若点B(1,-2)在抛物线C上,过点B作抛物线C的两条弦BP与BQ,若kBP·kBQ=-2,求证:直线PQ过定点.
(1)解:若抛物线的焦点在x轴上,设抛物线方程为y2=ax,代入点A(1,2),可得a=4,所以抛物线方程为y2=4x.
若抛物线的焦点在y轴上,设抛物线方程为x2=my,代入点A(1,2),可得
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
(2)证明:因为点B(1,-2)在抛物线C上,所以由(1)可得抛物线C的方程是y2=4x.
易知直线BP,BQ的斜率均存在,设直线BP的方程为y+2=k(x-1),
将直线BP的方程代入y2=4x,消去y,得k2x2-(2k2+4k+4)x+(k+2)2=0.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
2.定值问题
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
方法技巧圆锥曲线中定值问题的两大解法
①从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;
②引起变量法:其解题流程为
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
变式训练7已知直线l过抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,且垂直于抛物线的对称轴,l与抛物线两交点间的距离为2.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若点P(2,2),过点(-2,4)的直线m与抛物线C相交于A,B两点,设直线PA与PB的斜率分别为k1和k2.求证:k1k2为定值,并求出此定值.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
(1)解:由题意可知,2p=2,解得p=1,则抛物线的方程为x2=2y.
(2)证明:由题易知直线m的斜率存在,设直线m的方程为y-4=k(x+2),A(x1,y1),B(x2,y2),
联立抛物线x2=2y与直线y-4=k(x+2)的方程消去y得x2-2kx-4k-8=0,其中Δ=4(k2+4k+8)>0恒成立,可得x1+x2=2k,x1x2=-4k-8,则k1k2=-1.
因此k1k2为定值,且该定值为-1.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
3.最值问题
例13已知点A(4,-2),F为抛物线y2=8x的焦点,点M在抛物线上移动,当|MA|+|MF|取最小值时,点M的坐标为( )
解析:如图,过点M作抛物线的准线l的垂线,垂足为E.由抛物线的定义知|MF|=|ME|.当点M在抛物线上移动时,|ME|+|MA|的值在变化,显然当M移到M'时,A,M',E'三点共线,|M'E'|+|M'A|最小,此时AM'∥Ox.把y=-2代入y2=8x,得x=
答案:D
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
例14已知F1,F2为椭圆x2+ =1的两个焦点,AB是过焦点F1的一条动弦,求△ABF2面积的最大值.
分析△ABF2的面积是由直线AB的斜率k确定的,因此可构建以k为自变量的目标函数,用代数的方法求函数的最大值.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
方法技巧与圆锥曲线有关的最值问题,大都是些综合性问题,解法灵活,技巧性强,涉及代数、三角、几何诸方面的知识,这类问题的求解策略与方法如下:
(1)平面几何法.
平面几何法求最值问题,主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解.
(2)目标函数法.
建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题,是常规方法,其关键是选取适当的变量建立目标函数.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
变式训练8(1)长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=2x上移动,M为AB的中点,则M点到y轴的最短距离为 .
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
答案:1
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
(2)如图,点P(0,-1)是椭圆C1: (a>b>0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2:x2+y2=4的直径,l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于A,B两点,l2交椭圆C1于另一点D.
①求椭圆C1的方程;
②求△ABD面积取最大值时直线l1的方程.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
4.探索性问题
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)在x轴上是否存在一点T,使得当l变化时,总有TS与TR所在直线关于x轴对称 若存在,请求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
方法技巧此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件,则可先假设条件成立,再验证结论是否成立,成立则存在,否则不存在;若探究结论,则应先求出结论的表达式,再针对其表达式进行讨论,往往涉及对参数的讨论.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
变式训练9已知动点P到定点F(1,0)和到直线x=2的距离之比为 ,设动点P的轨迹为曲线E,过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A,B两点,直线l:y=mx+n与曲线E交于C,D两点,与AB相交于一点(交点位于线段AB上,且与A,B不重合).
(1)求曲线E的方程;
(2)当直线l与圆x2+y2=1相切时,四边形ACBD的面积是否有最大值 若有,求出其最大值及对应的直线l的方程;若没有,请说明理由.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题六