2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市高二（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市高二（上）期中数学试卷
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
已知双曲线的虚轴长为，则实数的值为( )
A. B. C. D.
已知直线：，：，若，则实数的值为( )
A. 或 B. C. D. 或
已知数列满足，，则( )
A. B. C. D.
若过点的直线与圆有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
已知直线与椭圆相交于，两点，椭圆的两个焦点分别是，，线段的中点为，则的面积为( )
A. B. C. D.
在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为天，那么感染人数由初始感染者增加到大约需要的天数为初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染，，参考数据：( )
A. B. C. D.
已知是双曲线上的动点，是圆上的动点，则，两点间的最短距离为( )
A. B. C. D.
已知圆：和两点，，若圆上存在点，使得，的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
已知曲线：，、为实数，则下列说法错误的是( )
A. 曲线可能表示两条直线
B. 若，则是椭圆，长轴长为
C. 若，则是圆，半径为
D. 若，则是双曲线，渐近线方程为
已知抛物线的焦点为，、是抛物线上两点，则下列结论正确的是( )
A. 点的坐标为
B. 若直线过点，则
C. 若，则的最小值为
D. 若，则线段的中点到轴的距离为
已知等差数列，为其前项和，下列说法正确的是( )
A. 若，公差，则
B. 若，则
C. 若前项中，偶数项的和与奇数项的和之比为：，且，则公差为
D. 若，，则的最小值是
已知椭圆的左，右焦点分别为，，椭圆的上顶点和右顶点分别为，，若为椭圆上任意一点，且，关于坐标原点对称，则( )
A.
B. 椭圆上存在无数个点，使得
C. 直线和的斜率之积为
D. 面积的最大值为
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
已知抛物线：的焦点为，过且垂直于轴的直线与相交于，两点，若为坐标原点的面积为，则______．
已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足，，成等差数列，则______．
已知直线：，抛物线上一动点到直线的距离为，则的最小值是______．
已知双曲线的左焦点为，过且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且若，则双曲线的离心率是______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
在数列中，，，．
设，求证：数列是等比数列；
求数列的前项和．
本小题分
已知圆过，两点，且圆心在直线上
求圆的方程；
若直线过点且被圆截得的线段长为，求的方程．
本小题分
设是等差数列，是等比数列，且．
求与的通项公式；
设的前项和为，求证：；
求．
本小题分
已知抛物线：上一点到焦点的距离为，
求抛物线的方程；
若在第一象限，不过的直线与抛物线相交于，两点，且直线，的斜率之积为，证明：直线过定点．
本小题分
已知双曲线的一条渐近线方程为，且双曲线过点．
求双曲线的标准方程；
过点的直线与双曲线的左、右支分别交于、两点，是否存在直线，使得成立，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
本小题分
已知定点，圆，为圆上的动点，线段的垂直平分线和半径相交于点．
求点的轨迹的方程；
过的直线与轨迹交于，两点，若点满足，求四边形面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意虚轴在轴，，．
故选：．
由双曲线方程确定虚轴在轴，从而确定参数值．
本题主要考查了双曲线的性质，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：直线：，：，，
则，解得，
经经验，当时，两直线均不重合，
故实数的值为或．
故选：．
由已知结合直线的一般式方程平行的条件即可求解．
本题主要考查了直线的一般式方程的平行条件的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
，
，
数列是以为最小正周期的周期数列．
又，
．
故选：．
根据递推关系逐步代入可发现数列是一个周期数列，即可得出答案．
本题考查数列的递推式和周期数列，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：当过点的直线与圆相切时，设斜率为，
则此直线方程为，即．
由圆心到直线的距离等于半径可得，求得或，
故直线的倾斜角的取值范围是，
故选：．
当过点的直线与圆相切时，设斜率为，由圆心到直线的距离等于半径求得的范围，即可求得该直线的倾斜角的取值范围．
本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：设，，
则，
所以，
即，，
解得，
所以，
故选：．
根据线段的中点为，利用点差法求得，再利用三角形面积公式求解．
本题主要考查椭圆的几何性质，椭圆中的焦点三角形面积的计算等知识，属于中等题．
6.【答案】
【解析】解：设第轮感染的人数为，
则数列是首项，公比的等比数列，
由，可得，两边同时取对数可得，，即，
所以．
故需要的天数为．
故选：．
根据已知条件，结合等比数列的前项和公式，可得，再结合对数函数的公式，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：已知是双曲线上的动点，是圆上的动点，
圆的圆心坐标为，设，
则，
由此．
故选：．
求出圆心到的距离，再根据得出答案．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：设，又，，且，
，
化简得点的轨迹为圆：，圆心，半径，
又点在圆：上，圆心，半径，
两圆有公共点，
，
，，
解得．
故选：．
设，先由，求出的轨迹方程，根据题意可得两圆有公共点，从而建立不等式即可求解．
本题考查轨迹方程的求解，圆与圆的位置关系，不等式思想，属基础题．
9.【答案】
【解析】解：当，时，曲线：即为，表示两条直线，选项A正确；
当，曲线：可化为，此时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，长轴长为，选项B错误；
若，曲线：可化为，表示半径为的圆，选项C正确；
若，则是双曲线，其渐近线方程为，选项D错误．
故选：．
根据曲线的方程，结合直线，椭圆，双曲线的标准方程及其性质判断即可．
本题考查曲线与方程，考查椭圆以及双曲线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，由抛物线方程知其焦点在轴上，焦点为，故A错误；
对于，由题意知：直线斜率存在，设其方程为：，
由得：，，故B正确；
对于，若，则直线过焦点，的最小值为抛物线的通径长，故C错误；
对于，因为，所以，，即点纵坐标为，
到轴的距离为，故D正确．
故选：．
由抛物线方程确定焦点坐标知A错误；直线与抛物线方程联立，利用韦达定理可知B正确；根据过焦点可知最小值为通径长，知C错误；利用抛物线焦半径公式，结合中点坐标公式可求得点纵坐标，知D正确．
本题考查了抛物线方程、性质，考查了转化思想、运算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于：因为为等差数列，且，，
所以，，
所以，故A正确；
对于：因为为等差数列，
所以，，，为等差数列，
设，由，得，
所以，，，为等差数列，
所以，
所以，故B错误；
对于：，
，
因为前项中，偶数项的和与奇数项的和之比为：，
所以，
设，，
因为，
所以，即，
所以，
所以，
所以等差数列的公差为，故C正确；
对于：因为为等差数列，且，
所以，
即，
所以当，，，，时，，
当时，，
所以的最小值为，故D正确，
故选：．
对于：由为等差数列，且，，得，再由等差数列的前项和，即可判断是否正确；
对于：由为等差数列，得，，，为等差数列，设，由，得，进而可得，即可判断是否正确；
对于：根据题意可得，，进而可得，设，，由，解得，即可判断是否正确；
对于：由为等差数列，且，得，当，，，，时，，当时，，即可判断是否正确．
本题考查等差数列的性质和前项和，解题中需要理清思路，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于选项A，连接，，，，则四边形为平行四边形，则，即选项A错误；
对于选项B，由椭圆的性质可得，又，即，即，即椭圆上存在无数个点，使得，即选项B正确，
对于选项C，设，则，
又，则，
又，则，
所以，即选项C正确；
对于选项D，设，则，则，即选项D正确；
故选：．
由椭圆的性质逐一判断即可得解．
本题考查了椭圆的性质，同时还涉及了直线的斜率以及三角形的面积等知识，考查运算求解能力，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：抛物线：的焦点为，
将代入可得，即有，
所以，
所以，
解得．
故答案为：．
首先得到抛物线的焦点坐标，将代入抛物线方程，即可求出、，再根据面积公式计算可得．
本题考查了抛物线的性质，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：设等比数列的公比为，
，，成等差数列，
，即，解得或不合题意，舍去，
，
故答案为：．
由题意设等比数列的公比为，，即，求出，即可得出答案．
本题考查等比数列的通项公式和等差数列的性质，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：抛物线，
抛物线的准线为，焦点，
过点作直线的垂线交于点，如图所示：
由抛物线的定义可知，，
则，
，
当，，三点共线时，取得最小值，即取得最小值，
，
．
故答案为：．
先求得抛物线的准线，过点作直线的垂线，交直线于点，过点作准线的分别交准线，轴于点，，再结合图象，以及抛物线的定义，即可求解．
本题主要考查抛物线的性质，考查数形结合的能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
由于且，则点在渐近线上，不妨设，
设直线的倾斜角为，则，则，即，则，
，
又，则，
又，则，则，
点的坐标为，
，即，
．
故答案为：．
过点作轴于点，过点作轴于点，依题意，点在渐近线上，不妨设，根据题设条件可求得点的坐标为，代入双曲线方程，化简可得，的关系，进而得到离心率．
本题考查双曲线的性质，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】证明：，
，
又，
数列是首项为、公比为的等比数列；
解：由可知，即，
．
【解析】利用，化简可知，进而可知数列是首项为、公比为的等比数列；
通过可知，进而利用分组求和法计算即得结论．
本题考查数列的通项及前项和，考查分组求和法，注意解题方法的积累，属于中档题．
18.【答案】解：根据题意，设圆的圆心为，半径为，则圆方程为，
又由圆过，两点，且圆心在直线上，
则有，解可得，，，
则圆的方程为；
根据题意，设直线与圆交与两点，则，设是线段的中点，
则有，则，．
在中，可得．
当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为，满足题意，
当直线的斜率存在时，设所求直线的斜率为，则直线的方程为：，
即由点到直线的距离公式：，
解可得，此时直线的方程为．
故所求直线的方程为或．
【解析】根据题意，设圆的圆心为，半径为，结合题意可得，解出、、的值，将其值代入圆的方程即可得答案；
根据题意，分类讨论，斜率存在和斜率不存在两种情况：当直线的斜率不存在时，满足题意，当直线的斜率存在时，设所求直线的斜率为，则直线的方程为：，由点到直线的距离公式求得的值，即可得直线的方程，综合种情况即可得答案．
本题考查直线与圆的位置关系，涉及两点间的距离公式，点到直线的距离公式，圆的标准方程，属于中档题．
19.【答案】解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
，
，，
解得，
，；
证明：由知，等比数列的公比为，
，
，
为数列的前项和，
，
；
，
，
设．
则，
，
，得：
，
，
．
【解析】本题考查等差数列与等比数列的通项公式与前项和公式，错位相减法求和，以及数列中前项和与第项的关系，属于较难题．
设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由，可得，，解得，，即可得出数列与的通项公式；
由等比数列的性质及通项公式与前项和的关系即可证明；
先求出，利用并项求和，结合错位相减法即可求出结果．
20.【答案】解：由抛物线方程可得，准线方程为，
因为抛物线：上一点到焦点的距离为，
所以，解得，
所以抛物线的方程为：；
证明：由抛物线的方程为，在抛物线上，
所以，
因为在第一象限，故，
所以，
依题意，直线的斜率存在若不存在，则与抛物线至多只有一个交点，
设直线为，，，
联立，消去，得，
则，，，
因为直线，的斜率之积为，即，
故，
整理得，
所以，得，
故直线为，
所以直线过定点．
【解析】根据抛物线的定义和已知条件可求出的值，即可求得抛物线的方程；
联立方程利用韦达定理得，，再由整理，由此得到，直线为，从而求得定点．
本题考查了抛物线的定义和方程，考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
21.【答案】解：依题意，，解得：，所以双曲线的标准方程是；
假定存在直线，使得成立，显然不垂直于轴，否则，
设直线：，
由消去并整理得：，
因直线与双曲线的左右支分别交于、两点，设，，
于是得，
，，
则有，即或，
因此，，解得，
所以存在直线，使得成立，此时直线的方程为：或．
【解析】根据给定的渐近线方程及所过的点列式计算作答．
假定存在符合条件的直线，设出其方程，借助弦长公式计算判断作答．
本题考查了双曲线的方程及直线与双曲线相交的弦长问题，属于中档题．
22.【答案】解：因为为圆上的动点，线段的垂直平分线和半径相交于点，
所以由线段垂直平分线的性质可得：，所以，
故点的轨迹是以、为焦点的椭圆．其中，，
所以，
故点的轨迹的方程为．
由题意，设直线的方程为，，，
联立，整理可得：，
所以，
，，
所以，
点到直线的距离，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
因为，
所以，
所以四边形面积的最大值为．
【解析】利用定义法求轨迹方程；
设直线的方程为，与椭圆方程联立，得，利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出的面积最大值，从而可得四边形面积的最大值．
本题主要考查轨迹方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
第1页，共1页