8.4.2三元一次方程组的应用 课件 (共18张PPT)

(共18张PPT)
* 8.4.2 三元一次方程组的应用
1．理解三元一次方程组的概念．
2．掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元或一元的思路．
3. 熟练掌握用三元一次方程组解决实际问题.
1.什么是三元一次方程？那三元一次方程组呢？
①三元一次方程：
含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程.
2.解三元一次方程组的基本思路是什么？
②三元一次方程组：
含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 1 ，并且一共有三个方程.
消元
消元
三元一次方程组 三元一次方程组 三元一次方程组
（2022·湖北武汉）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将 9 个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的 3 个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方.
图（2）是一个未完成的幻方，求 x + y.
4 9 2
3 5 7
8 1 6
x 6 20
22 y
（1） （2）
问题1 “每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等”怎么理解呢？
问题2 突破口在哪里呢？
x 6 20
22 y
分析：如图，设表格里依次为 z，n，m. 由题意，得：
x 6 20
22 z y
n m
x 6 20
22 z y
n m
②x + 22 + n = 20 + z + n，整理得：x = z - 2；
①x + 6 + 20 = 22 + z + y，整理得：x - y = -4 + z；
解：由题意，得
解这个方程组，得
∴ x + y = 10 + 2 = 12.
③20 + y + m = x + z + m，整理得：y = x + z - 20；
三元一次方程组的解法
（1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．这与解二元一次方程组是一样的.其思想方法是：
三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程组
（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法．
消元
消元
列三元一次方程组解应用题的一般步骤
1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如 x，y，z )表示题目中的两个(或三个)未知数；
2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系；
3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；
4．解这个方程组，求出未知数的值；
5．写出答案(包括单位名称)．
注意：解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．
例1 甲、乙、丙三个数的和是 35，甲数的 2 倍比乙数大 5，乙数的 等于丙数的 .求这三个数.
数量关系：
（1）甲 ＋ 乙 ＋丙 = 35 .
（2）甲 × 2 = 乙 ＋ 5.
（3）
例1 甲、乙、丙三个数的和是 35，甲数的 2 倍比乙数大 5，乙数的 等于丙数的 .求这三个数.
解：设甲为 x ，乙为 y ，丙为 z .
由题意，得
解这个方程组，得
答：甲是 10，乙是 15，丙是 10.
例 2 某电脑公司有 A型、B型、C型三种型号的电脑，其中 A型每台6 000 元、
B型每台 4 000 元、C型每台 2 500 元.某中学现有资金 100 500元，计划全部用于从这家电脑公司购进 36 台两种型号的电脑.请你设计几种不同的购买方案供这个学校选择，并说明理由.
【分析】
两种型号共 36 台，共有资金 100 500 元；
所以分类讨论，舍弃负数、小数值，即可解答此题.
解：设购买 A 型电脑 x 台，B 型 y 台，C 型 z 台.
（1）若购买 A 型、B 型时，由题意，得
解得 不符合题意，舍去.
（2）若购买 A 型、C 型时，由题意，得
解得
（3）若购买 B 型、C 型时，由题意，得
解得
答：有两种方案供该校选择，第一种方案是购进 A 型电脑 3 台，
C 型电脑 33 台；第二种方案是购进 B 型电脑 7 台，C 型电脑 29 台.
例3 甲地到乙地全程是 3.3 km，一段上坡、一段平路、一段下坡.如果保持上坡每小时走 3 km，平路每小时走 4 km，下坡每小时走 5 km，那么从甲地到乙地需 0.85 h，从乙地到甲地需 0.89 h.从甲地到乙地时，上坡、平路、下坡的路程各是多少？
【分析】
路程 = 速度 × 时间，时间 = 路程 ÷ 速度
解：设从甲地到乙地，上坡路是 x km，平路是 y km，下坡路是 z km.
根据题意，得
解这个方程，得
答：从甲地到乙地，上坡路是 1.2 km，平路是 0.6 km，下坡路是 1.5 km.
1．一个三位数，个位、百位上的数的和等于十位上的数，百位上的数
的 7 倍比个位、十位上的数的和大 2，且个位、十位、百位上的数的和
是 14. 求这个三位数.
解：设这个三位数百位上的数是 x ，十位是 y ，个位是 z.
根据题意，得
解这个方程，得
答：这个三位数是275.
D
2．甲、乙、丙三种商品，若购买甲 2 件、乙 4 件、丙3 件，共需 220 元钱；购甲 3 件、乙 1 件、丙 2 件共需 235 元钱.那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（ ）
A．85元 B．89元 C．90元 D．91元
【小结】注意观察方程组的特征，
运用整体思想是解题的关键．
解析：设购甲商品 x 件 ，乙商品 y 件，丙商品 z 件.
根据题意，得
两式相加，得 5x + 5y + 5z = 455 .
解得 x + y + z = 91.
所以购三种商品各一件需 91 元.
3．某服装厂专门安排 210 名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由 2 个衣袖、1 个衣身、1 个衣领组成. 如果每人每天能够缝制衣袖 10 个， 或衣身 15个，或衣领 12 个，那么应该如何安排工人，使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套？
解：设应该安排 x 名工人缝制衣袖，y 名工人缝制衣身，z 名工人缝制衣领.
根据题意，得 解得
答：应该安排 120 名工人缝制衣袖，40 名工人缝制衣身，50 名工人缝制衣领.
三元一次
方程组应用
步骤
方法