《基本计数原理》学考达标练
一、选择题
1.（2020·河北安平中学月考）把10个苹果分成三堆，要求每堆至少1个，至多5个，则不同的分法共有（ ）
A.4种
B.5种
C.6种
D.7种
2.（2020·湖北孝感五校教学联盟）李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的半身裙，另有2套不同样式的连衣裙.若“五一”节需选择1套服装参加歌舞演出，则李芳不同的选择方式有（ ）
A.24种
B.14种
C.10种
D.9种
3.（2020·成都期末）用0,1,…,9这十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ）
A.243
B.252
C.261
D.279
4.（2020·陕西西安中学期末）现有小麦、大豆、玉米、高粱4种不同农作物供选择，在如图所示的四块土地上进行种植，要求有公共边界的两块地不能种同一种农作物，则不同的种植方法共有（ ）
A.24种
B.30种
C.36种
D.48种
二、填空题
5.（2020·怀柔一中测试）在1,2,3,…,200中，能够被5整除的数共有_____个.
6.（2020·大连育明中学检测）如图，在A,B之间有4个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致线路不通.今发现A,B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有_____种.
三、解答题
7.（2020·北京育才学校检测）某单位职工义务献血，在体检合格的人中，0型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人
（1）从中任选1人去献血，有多少种不同的选法
（2）从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？
参考答案
一、选择题
1.
答案：A
解析：根据题意分类。三堆中“最多”的一堆为5个,其他两堆总和为5,又每堆至少1个,故只有两种分法,即1和4,2和3两种方法;三堆中“最多”的一堆为4个,其他两堆总和为6,又每堆至少1个,故只有两种分法,即2和4,3和3两种方法;三堆中“最多”的一堆为3个,这是不可能的。所以不同的分法共有(种).
2.
答案：B
解析：由题意,可得李芳不同的选择方式有种.
3.
答案：B
解析：能够组成三位数的个数为，能够组成无重复数字的三位数的个数为,故能够组成有重复数字的三位数的个数为.
4.
答案：D
解析：根据题意,如图,假设4个区域为,分4步进行分析:对于,有4种农作物供选择,有4种情况;对于,与相邻,有3种农作物供选择,有3种情况;对于,与相邻,有2种农作物供选择,有2种情况;对于,与相邻,有2种农作物供选择,有2种情况。则不同的种植方法共有48(种),故选D.
二、填空题
5.
答案：40
解析：能够被5整除的数，末位数字是0或5，因此可以分两类计数第1类，末位数字是0的数，共有20个第2类，末位数字是5的数，共有20个.根据分类加法计数原理，能够被5整除的数共有20+20=40（个）.
6.
答案：13
解析：每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，A,B之间线路不通可能是1个或多个焊接点脱落，若以此进行分类，则问题比较复杂.但是A,B之间线路通的情况只有3种，即焊接点1和焊接点4均未脱落且焊接点2和焊接点3至少有一个未脱落，故A,B之间线路不通时，焊接点脱落的不同情况共有（种）.
三、解答题
7.
答案：见解析
解析：从O型血的人中选1人有28种不同的选法;
从A型血的人中选1人有7种不同的选法；
从B型血的人中选1人有9种不同的选法;
从AB型血的人中选1人有3种不同的选法.
（1）任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，所以采用分类加法计数原理.
故不同的选法有（种）.
（2）要从四种血型的人中各选1人，即从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才算完成，所以采用分步乘法计数原理。
故不同的选法有（种）.
1 / 4《基本计数原理》高考通关练
一、选择题
1.（2020福建龙岩新罗区模拟）用5种不同颜色给图中的,四个区域涂色,规定一个区域只涂一种颜色,相邻的区域颜色不同,则不同的涂色方案共有（ ）
A.120种
B.180种
C.54种
D.45种
2.（2020·深圳模拟）设集合,那么集合中满足条件“”的元素个数为（ ）
A.60
B.65
C.80
D.81
3.（2020·珠海模拟）某校教学大楼共有五层,每层均有两个楼梯,一学生由一层到五层的走法有（ ）
A.10种
B.种
C.种
D.种
4.（2020·铁路二中月考）从这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为,,共可得到的不同值的个数是（ ）
A.9
B.10
C.18
D.20
5.（2020·营口大石桥一中月考）从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
6.（2020·抚顺十中月考）定义非空集合的真子集的真子集为的“孙集”,则集合,的孙集的个数为_____.
7.（2020·开封模拟）如图,某电子元件由3个电阻串联而成,形成回路,其中有6个焊接点,如果焊接点脱落,整个电路就会不通。现发现电路不通,那么焊接点脱落的可能情况共有_____种.
8.（2020大连第二十三中学月考）若一个三位数中任意两个相邻数位上的数字的差均不超过1,则称其为“平稳数”.平稳数的个数是_____.
9.（2020·烟台期末）如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上1种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色.如果只有5种颜C色可供使用，那么不同的染色方法数为_____种.
三、解答题
10.（2020·呼铁一中检测）设一个三位数的百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c，且以a,b,c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，这样的三位数有多少个？
参考答案
1.
答案：B
解析：由题意,由于规定一个区域只涂一种颜色,相邻的区域颜色不同,则可分步进行。区域有5种涂法,区域有4种涂法,区域有3种涂法,区域有3种涂法,故不同的涂色方案共有(种).
2.
答案：D
解析：由题意知,每一个元素都有3种取法,所以满足题意的元素的个数为.
3.
答案：D
解析：共分4步:一层到二层有2种走法,二层到三层有2种走法,三层到四层有2种走法,四层到五层有2种走法,故一共有种走法.
4.
答案：C
解析：有多少个不同值,只要看不同值的个数即可。分两步分别取出:第1步,从五个数中取出一个数作为,有5种方法;第2步,从剩下的四个数中取出一个数作为,有4种方法.根据分步乘法计数原理,取法共有(种).由于,故的不同值的个数为.
5.
答案：D
解析：将符合个位数与十位数之和为奇数的两位数分成两类：
第1类,十位数是奇数,个位数是偶数,共有(个),其中个位数为0的有,共5个;
第2类,十位数是偶数(只有,个位数是奇数,共有（个）.
根据分类加法计数原理,满足条件的两位数共有45(个),其中0在个位的有5个，故所求的概率为.
二填空题
6.
答案：11
解析：经分析不难看出,所求集合的孙集必为真子集,而且最多是二元真子集。所以分三类:空集,有1个;一元集合,有4个;二元集合,有6个.根据分类加法计数原理,集合的孙集共有(个).
7.
答案：63
解析：因为每个焊接点都有脱落与有脱落两种情况,而只要有一个焊接点脱落,则电路就不通,故共有(种)可能情况.
8.
答案：75
解析：设平稳数的百位、十位、个位上的数字分别为,.
若,则,有2个平稳数.
若,则,平稳数有(个).
若,则,平稳数有个.
若,则,平稳数有(个).
综上可知,平稳数的个数是.
9.
答案：420
解析：以的顺序分步染色。第1步,对点染色,有5种方法。第2步,对点染色,与在同一条棱上,有4种方法.第3步,对点染色,与分别在同一条棱上,有3种方法.第4步,对点染色,但考虑到点与相邻,需要针对与是否同色进行分类.当与同色时,点有3种染色方法;当与不同色时,因为与也不同色,所以点有2种染色方法,点也有2种染色方法.由分步乘法计数原理和分类加法计数原理得不同的染色方法共有种.
三、解答题
10.
答案：见解析
解析：当时,共有9种情况.
当或或时,三种情形下满足题意的三位数的个数一样多,
以为例:
①当时,有5种情况,有8种情况,情况共有40(种);
②当时,,共有6种情况;
③当时,,共有4种情识;
④当时,,共有2种情况.
综上所述,情况共有(种,即满足题意的三位数有165个.
3 / 6《基本计数原理》竞赛培优
一、填空题
1.上海交大自主招生
甲、乙、丙三人玩传球游戏，第1次由甲将球传出，传了4次球后，球回到甲手里的不同方法共有_____种.
二、解答题
2.复旦大学自主招生
对于一个四位数，其各位数字至多有两个不相同，试求共有多少个这种四位数？
参考答案
一、填空题
1.
答案：6
解析：画树形图，如图，可知经过4次传球后，球仍回到甲手中的不同传球的方法共有6种.
二、解答题
2.显然四位数字全部相同的四位数有9个.
下面考虑四位数字恰有两个不同数字的四位数，分三个步骤考虑.
第1步,先考虑千位数字,有9种可能取法:.
第2步,再考虑百位、十位,个位上的数字,由于恰有两个不同数字,故除了千位数字外,再从中选出1个数字,有9种可能取法.
第3步,前两步2个数字确定后,再对个位、十位、百位上的数字进一步确定。这三个位置上分别各有2种可选择性,但要去掉一种情况:即个位、十位、百位上的数字选出的都和千位数字完全相同，故有种选法.
综上所述，共有四位数（个）.
1 / 2
甲
甲丙
丙甲
子
甲
乙1丙
甲
乙
乙丙
甲丙
甲
丙
甲
乙
乙
丙
甲
乙
