人教B版（2019）高中数学选择性必修第二册3.1.1 基本计数原理 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
情境引入
有4位同学和1位老师站成一排照相，如果老师要站在正中间，如图所示，则有多少种不同的站法？
情境引入
由4个数字组成的密码锁，如图所示，如果忘记了密码，最多要试多少次才能打开蜜码锁？
人教B版同步教材名师课件
3.1.1 基本计数原理
学习目标
学 习 目 标 核心素养
结合实例,理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理 数学抽象
能根据具体问题的特征,准确地应用两个计数原理解决一些简单的实际问题 数学运算
学习目标
学习目标:
1.理解两个计数原理,能用它们解决简单的实际问题.
2.正确理解“完成一件事”的含义和区分“分步”与“分类”的特征.
学科核心素养:
1.经历两个计数原理的发现过程,感受和体会通过归纳、类比把实际问题抽象概括为数学原理的思想方法,发展学生的数学抽象核心素养.
2.在解决计数的实际应用问题过程中,发展学生的数学运算核心素养.
探究新知
问题探究一 分类加法计数原理
如图,从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,一天中火车有3班,汽车有2班,那么一天中,乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有几种方法？
分类加法原理:完成一件事有n类不同方案,在第一类方案中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m1 +m2+…+mn种不同方法.完成这件事情的N类方法中,只需用一种方法就能完成这件事.
甲
乙
汽车1
火车3
火车2
火车1
汽车2
典例讲解
例1、某班共有男生28名,女生20名,从该班选出学生代表参加校学代会.若学校分配给该班1名代表,有多少种不同的选法
选出1名代表有2类方式:
第1类是从男生中选出1名代表,有28种不同方法;
第2类是从女生中选出1名代表,有20种不同方法.
根据分类加法计数原理,共有不同的选法种数是28＋20=48.
解析
利用分类加法计数原理计数时的解题流程
　
方法归纳
变式训练
1.高二(1)班有学生50人,其中男生30人,女生20人;高二(2)班有学生60人,其中男生30人,女生30人;高二(3)班有学生55人,其中男生35人,女生20人.
(1)从高二(1)班或(2)班或(3)班中选一名学生任校学生会主席,有多少种不同的选法？
(2)从高二(1)班、(2)班男生中或从高二(3)班女生中选一名学生任校学生会体育部长,有多少种不同的选法？
(1)从高二(1)班中选一名学生任校学生会主席,有50种选法;从高二(2)班中选一名学生任校学生会主席,有60种选法;从高二(3)班中选一名学生任校学生会主席,有55种选法,由分类加法计数原理得,从高二(1)班或(2)班或(3)班中选一名学生任校学生会主席,有50＋60＋55＝165种选法.
解析
变式训练
1.高二(1)班有学生50人,其中男生30人,女生20人;高二(2)班有学生60人,其中男生30人,女生30人;高二(3)班有学生55人,其中男生35人,女生20人.
(1)从高二(1)班或(2)班或(3)班中选一名学生任校学生会主席,有多少种不同的选法？
(2)从高二(1)班、(2)班男生中或从高二(3)班女生中选一名学生任校学生会体育部长,有多少种不同的选法？
解析
(2)从高二(1)班男生中选一名学生任校学生会体育部长有30种选法;从高二(2)班男生中选一名学生任校学生会体育部长有30种选法;从高二(3)班女生中选一名学生任校学生会体育部长有20种选法,由分类加法计数原理得,从高二(1)班、(2)班男生中或从高二(3)班女生中选一名学生任校学生会体育部长,不同的选法有30＋30＋20＝80种.
探究新知
问题探究二 分步乘法计数原理
如图,从甲地到乙地,要从甲地先乘火车到丙地,再于次日从丙地乘汽车到乙地,一天中,火车有3班,汽车有2班,那么两天中,从甲地到乙地共有多少种不同的走法？并罗列出所有的走法.
甲
丙
乙
汽车1
火车3
火车2
火车1
汽车2
探究新知
分步乘法计数原理:
完成一件事有n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,……,做第n步中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m1m2…mn种不同方法.
完成这件事情的n个步骤中,每个步骤都完成才能完成这件事.
典例讲解
例2、从1,2,3,4中选三个数字,组成无重复数字的整数,则满足下列条件的数有多少个？
(1)三位数;(2)三位数的偶数.
(1)三位数有三个数位,故可分三个步骤完成:
第1步,排个位,从1,2,3,4中选1个数字,有4种方法;
第2步,排十位,从剩下的3个数字中选1个,有3种方法;
第3步,排百位,从剩下的2个数字中选1个,有2种方法.
依据分步乘法计数原理,共有4×3×2＝24个满足要求的三位数.
解析
典例讲解
例2、 从1,2,3,4中选三个数字,组成无重复数字的整数,则满足下列条件的数有多少个？
(1)三位数;(2)三位数的偶数.
(2)分三个步骤完成:
第1步,排个位,从2,4中选1个,有2种方法;
第2步,排十位,从余下的3个数字中选1个,有3种方法;
第3步,排百位,只能从余下的2个数字中选1个,有2种方法.
故共有2×3×2＝12个三位数的偶数.
解析
利用分步乘法计数原理计数时的解题流程
　
方法归纳
变式训练
由题意可知E→F共有6种走法,F→G共有3种走法,由分步乘法计数原理知,共有6×3=18种走法.
2.如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A.24 B.18 C.12 D.9
解析
B
典例讲解
例3、书架的第一层放有3本不同的艺术书,第二层放有2本不同的计算机书,第三层放有5本不同的体育书,从书架上任取2本不同学科的书,共有多少种不同的取法
根据取书的学科不同,可以分为三类:
1.计算机与艺术:3×2＝6
2.计算机与体育: 2×5＝10
3.艺术与体育: 3×5＝15
共有6+10+15=31种不同的取法
解析
　
方法归纳
(1)当题目无从下手时,可考虑要完成的这件事是什么,即怎样做才算完成这件事,然后给出完成这件事的一种或几种方法,从这几种方法中归纳出解题方法.
(2)分类时标准要明确,做到不重不漏,有时要恰当画出示意图或树形图,使问题的分析更直观、清楚,便于探索规律.
(3)综合问题一般是先分类再分步.
利用两个计数原理解题时的三个注意点
变式训练
3.甲同学有5本不同的数学书、4本不同的物理书、3本不同的化学书,现在乙同学向甲同学借书,
(1)若借1本书,则有多少种借法？
(2)若每科各借1本书,则有多少种借法？
(3)若任借2本不同学科的书,则有多少种借法？
(1)需完成的事情是“借1本书”,所以借给乙数学、物理、化学书中的任何1本,都可以完成这件事情.根据分类加法计数原理,共有5＋4＋3＝12种借法.
(2)需完成的事情是“每科各借1本书”,意味着要借给乙3本书,只有从数学、物理、化学三科中各借1本,才能完成这件事情.根据分步乘法计数原理,共有5×4×3＝60种借法.
解析
变式训练
(3)需完成的事情是“从三种学科的书中借2本不同学科的书”,可分三类:
第1类,借1本数学书和1本物理书,只有2本书都借,事情才能完成,根据分步乘法计数原理,有5×4＝20种借法;
第2类,借1本数学书和1本化学书,有5×3＝15种借法;
第3类,借1本物理书和1本化学书,有4×3＝12种借法.
根据分类加法计数原理,共有20＋15＋12＝47种借法.
3.甲同学有5本不同的数学书、4本不同的物理书、3本不同的化学书,现在乙同学向甲同学借书,
(1)若借1本书,则有多少种借法？
(2)若每科各借1本书,则有多少种借法？
(3)若任借2本不同学科的书,则有多少种借法？
解析
素养提炼
1.如果完成一件事有两类方案,这两类方案彼此之间是相互独立的,无论哪一类方案中的哪一种方法都能单独完成这件事,求能完成这件事的方法种数就用分类加法计数原理
2.如果完成一件事需要分成多个步骤,各个步骤都是不可缺少的,需要依次完成所有步骤,才能完成这件事,而完成每一个步骤有若干种不同的方法,求能完成这件事的方法种数就用分步乘法计数原理
用两个计数原理解决具体问题时,首先要分清是“分类”还是“分步”,其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准,在“分类”时要做到“不重不漏”,在“分步”时要正确设计“分步”的程序,注意步与步之间的连续性.
当堂练习
1.已知两条异面直线上分别有5个点和8个点,则这13个点可以确定不同的平面的个数是(　　)
A.40　　　　B.13 C.10 D.16
直线a与b上的8个点可分别确定8个不同的平面;直线b与a上的5个点可分别确定5个不同的平面.故可确定5＋8＝13个不同的平面
2.在一块并排共10垄的田地上,选择2垄分别种植A、B两种作物,每种作物种植1垄,为了有利于作物生长,要求A、B两种作物的间隔不小于6垄,则不同的选垄方法有________种(结果用数字作答).
把空的6垄看作一个整体,A、B两种作物可在其余4垄上种植,不同的选垄方法为(3＋2＋1)×2＝12种.
B
解析
解析
12
当堂练习
3.如图,用五种不同的颜色分别给A,B,C,D四个区域涂色,相邻区域必须涂不同颜色,若允许同一种颜色多次使用,则不同的涂色方法共有多少种(　　)
A.280 B.180
C.96 D.60
按区域分四步:第一步:A区域有5种颜色可选;第二步:B区域有4种颜色可选;第三步:C区域有3种颜色可选;第四步:由于可重复使用区域A中已有过的颜色,故也有3种颜色可选用.由分步乘法计数原理,共有5×4×3×3＝180种涂色方法.
解析
B
当堂练习
4.将1,2,3,…,9这9个数字填在如图的9个空格中,要求每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大.当3,4固定在图中的位置时,填写空格的方法为( )
A.6种 B.12种
C.18种 D.24种
因为每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大,数字1、2、9只有一种填法,5只能填在右上角或左下角,5填好后与之相邻的空格可填6、7、8任一个;余下两个数字按从小到大只有一种方法.共有2×3=6种结果,故选A
解析
A
归纳小结
加法原理 乘法原理
联系
区别一
完成一件事情共有n类办法,关键词是“分类”
完成一件事情,共分n个
步骤,关键词是“分步”
区别二
每类办法都能独立完成这件事情.
每一步得到的只是中间结果,任何一步都不能能独立完成这件事情,缺少任何一步也不能完成这件事情,只有每个步骤完成了,才能完成这件事情.
分类计数原理和分步计数原理,回答的都是关于完成一件事情的不同方法的种数的问题.
区别三
各类办法是互斥的、并列的、独立的
各步之间是相关联的
作 业
课本P7页练习第1,3题
P8页练习第2,3题