(共18张PPT)
1.6 三角函数模型的简单应用
第二课时
问题提出
1.函数
的最小正周期是 ，且 ，能否确定函数f(x)的图象和性质？
2.三角函数的应用十分广泛， 对于与角有关的实际问题，我们可以建立一个三角函数，通过研究其图象和性质或进行定量分析，就能解决相应问题.这是一种数学思想，需要结合具体问题的研究才能领会和掌握.
探究一：建立三角函数模型求临界值
【背景材料】如图，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，φ为该地的纬度值.当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值. 如果在北京地区（纬度数约为北纬40°）的一幢高为h0的楼房北
面盖一新楼，要使新
楼一层正午的太阳全
年不被前面的楼房遮
挡，两楼的距离不应
小于多少？
太阳光
φ
δ
θ
φ-δ
思考1：图中θ、δ、φ这三个角之间的关系是什么？
θ=90°－∣φ－δ∣.
思考2：当太阳高度角为θ时，设高为h0的楼房在地面上的投影长为h，那么θ、h0、h三者满足什么关系？
h=h0 tanθ.
太阳光
φ
δ
θ
φ-δ
思考3：根据地理知识，北京地区一年中,正午太阳直射什么纬度位置时,物体的影子最短或影子最长？
太阳直射北回归线时物体的影子最短，直射南回归线时物体的影子最长.
思考4：如图，A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点.要
使新楼一层正午
的太阳全年不被
前面的楼房遮挡，
两楼的临界距离
应是图中哪两点
之间的距离？
-23°26
0°
23°26
40°
M
A
C
B
h0
思考5：右图中∠C的度数是多少？MC的长度如何计算？
思考6：综上分析，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？
-23°26
0°
23°26
40°
M
A
C
B
h0
探究二：建立三角函数模型解决最值问题
【背景材料】某地拟修建一条横断面为等腰梯形的水渠（如图），为了降低成本，必须尽量减少水与水渠周壁的接触面.若水渠横断面面积设计为定值S，渠深为h，问应怎样修建才能使修建成本最低？
A
B
C
D
S
思考1：修建水渠的成本可以用哪个几何量来反映？
思考2：设想将AD＋DC＋CB表示成某个变量的函数，那么自变量如何选取？
A
B
C
D
S
E
h
思考3：取∠BCE=x为自变量，设y=AD＋DC＋CB，那么如何建立y与x的函数关系？
A
B
C
D
S
E
h
x
思考5：注意到S、h为常数，要使y的值最小，只需研究哪个三角函数的最小值？
思考4：考虑x的实际意义，这个函数的定义域是什么？
A
B
C
D
S
E
h
x
思考6：对于函数
你有什么办法求出当x为何值时，k取最小值？
x
y
O
P(-sinx,cosx)
A(0,2)
思考7：如何对原问题作出相应回答？
修建时使梯形的腰与底边的夹角为60°，才能使修建成本最低.
A
B
C
D
S
E
h
x
理论迁移
例1 某市的纬度是北纬21°34′，小王想在某住宅小区买房，该小区的楼高7层，每层3米，楼与楼之间相距15米，要使所买楼房在一年四季正午的太阳不被前面的楼房遮挡，最低应该选择第几层的房？
15
15
6
三楼
21
例2 如图，甲船在点A处测得乙船在北偏东60°的B处，并以每小时10海里的速度向正北方向行使，若甲船沿北偏东θ角方向直线航行，并与乙船在C处相遇，求甲船的航速.
B
C
A
北
θ
D
1.三角函数应用题通常涉及生产、生活、军事、天文、地理和物理等实际问题，其解答流程大致是：审读题意 设角建立三角函数 分析三角函数性质 解决实际问题. 其中根据实际问题的背景材料，建立三角函数关系，是解决问题的关键.
小结作业
2.在解决实际问题时，要学会具体问题
具体分析，充分运用数形结合的思想，
灵活的运用三角函数的图象和性质进行
解答.
作业:
P65习题1.6A组：1，2，3.(共17张PPT)
1.3 三角函数的诱导公式
第二课时
问题提出
1.诱导公式一、二、三、四分别反映了2kπ+α（k∈Z）、π＋α、－α、 π－α与α的三角函数之间的关系，这四组公式的共同特点是什么？
函数同名，象限定号.
2.对形如π－α、π＋α的角的三角函数可以转化为α角的三角函数，对形如 、 的角的三角函数与α角
的三角函数，是否也存在着某种关系，需要我们作进一步的探究.
思考1：sin（90°－60°）与sin60°
的值相等吗？相反吗？
思考2：sin（90°－60°)与cos60°，
cos（90°－60°）与sin60°的值分别
有什么关系？据此，你有什么猜想？
知识探究（一）： 的诱导公式
思考3：如果α为锐角，你有什么办法证明 ， ？
α
a
b
c
思考5：点P1（x，y）关于直线y=x对称的点P2的坐标如何？
思考4：若α为一个任意给定的角，那么
的终边与角α的终边有什么对称关系？
α的终边
O
x
y
的终边
思考6：设角α的终边与单位圆的交点为P1（x，y），则 的终边与单位圆的交点为P2（y，x），根据三角函数的定义，你能获得哪些结论？
α的终边
P1(x，y)
O
x
y
的终边
P2(y，x)
公式五：
思考1：sin（90°＋60°）与cos60°，cos（90°＋60°）与sin60°的值分别有什么关系？据此，你有什么猜想？
知识探究（二）： 的诱导公式
思考3：根据相关诱导公式推导，
， 分别等于什么？
公式六：
思考2： 与 有什么内在联系？
思考4： 与 有什么关系？
思考5：根据相关诱导公式推导，
分别等于什么？
思考6：正弦函数与余弦函数互称为余函数，你能概括一下公式五、六的共同特点和规律吗？
公式六：
公式五：
思考7：诱导公式可统一为
的三角函数与α的三角函数之间的关系，你有什么办法记住这些公式？
奇变偶不变，符号看象限.
理论迁移
例1 化简：
例2 已知 ，求 的值
例3 已知 ，求
的值.
2.诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通.
小结作业
1.诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是记住这些公式的有效方法.
作业: P29习题1.3 A组：3.
B组：1，2.(共14张PPT)
1.1 任意角和弧度制
1.1.1 任意角
第二课时
知识回顾
1.角的定义
角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形.
A
O
B
α
始边
终边
顶点
规定：
按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．
如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角.
2.角的方向
3.象限角
在直角坐标系中，角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合. 如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于如何象限，或称这个角为轴线角.
x
o
y
4.终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内所构成的集合:
S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}
知识拓展
思考1：终边在x轴正半轴、负半轴，y轴正半轴、负半轴上的角分别如何表示？
x轴正半轴：α= k·360°;
x轴负半轴：α= 180°＋k·360°;
y轴正半轴：α= 90°＋k·360°;
y轴负半轴：α= 270°＋k·360°.
其中k∈Z .
思考2：终边在x轴、y轴上的角的集合分别如何表示？
终边在x轴上：
S={α|α=k·180°，k∈Z}.
终边在y轴上：
S={α|α=90°＋k·180°,k∈Z}.
思考3：第一、二、三、四象限的角的集合分别如何表示？
第一象限：
S={α|k·3600<α<900＋k·3600,k∈Z}；
第二象限：
S={α|900＋k·3600<α<1800+k·3600,k∈Z}；
第三象限：
S={α|1800＋k·3600<α<2700+k·3600,k∈Z}；
第四象限：
S={α|－900＋k·3600<α思考4：如果α是第二象限的角，那么2α、α/2分别是第几象限的角？
90°＋k·360°<α<180°＋k·360°
45°＋k·180°<α/2<90°＋k·180°
180°＋k·720°<2α<360°＋k·720°
理论迁移
例1 在0°～360°范围内，找出与－950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角.
129°48′，第二象限角.
例2 求与3900°终边相同的最小正角和最大负角.
300°，-60°.
S={α|α=45°＋k·180°，k∈Z}.
例3 写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤ ＜720°的元素写出来.
－315°，-135°，45°，225°，405°，585°.
例4 已知角θ的终边与30°角的终边关于x轴对称，试在0°～360°范围内，找出与 终边相同的角.
110°， 230°， 350°.
小结作业
1.角的概念推广后，角的大小可以任意取值. 把角放在直角坐标系中进行研究，对于一个给定的角，都有唯一的一条终边与之对应，并使得角具有代数和几何双重意义.
2.终边相同的角有无数个，在0°～360°范围内与已知角β终边相同的角有且只有一个. 用β除以360°，若所得的商为k，余数为α（α必须是正数），则α即为所找的角.
作业：
P9 习题1.1 A组：1，3.(共23张PPT)
1.2 任意角的三角函数
1.2.1 任意角的三角函数
第二课时
问题提出
1.设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），角α的三角函数是怎样定义的？
2.三角函数在各象限的函数值符号分别如何？
一全正，二正弦，三正切，四余弦.
3.公式 ， ， ( ).其数学意义如何？
4.角是一个几何概念，同时角的大小也具有数量特征.我们从数的观点定义了三角函数，如果能从图形上找出三角函数的几何意义，就能实现数与形的完美统一.
终边相同的角的同名三角函数值相等.
知识探究（一）：正弦线和余弦线
思考1：如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则
， 都是正数，你能分别用一条线段表示角α的正弦值和余弦值吗？
P（x，y）
O
x
y
M
思考2：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则
， 都是负数，此时角α的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？
P（x，y）
O
x
y
M
思考3：为了简化上述表示，我们设想将线段的两个端点规定一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性，带有正负值符号.根据实际需要，应如何规定线段的正方向和负方向？
规定：线段从始点到终点与坐标轴同向时为正方向，反向时为负方向.
思考4：规定了始点和终点，带有方向的线段，叫做有向线段.由上分析可知，当角α为第一、三象限角时，sinα、cosα可分别用有向线段MP、OM表示，即MP= sinα，OM=cosα，那么当角α为第二、四象限角时，你能检验这个表示正确吗？
P（x，y）
O
x
y
M
P（x，y）
O
x
y
M
思考5：设角α的终边与单位圆的交点为P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，称有向线段MP，OM分别为角α的正弦线和余弦线.当角α的终边在坐标轴上时，角α的正弦线和余弦线的含义如何？
P
O
x
y
M
O
x
y
P
P
思考6：设α为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明sinα＋cosα>1吗？
P
O
x
y
M
MP＋OM>OP=1
知识探究（二）：正切线
A
T
思考1：如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 是正数，用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？
P
O
x
y
M
A
T
思考2：若角α为第四象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 是负数，此时用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？
P
O
x
y
M
A
T
A
T
P
O
x
y
M
思考3：若角α为第二象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 是负数，此时用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？
思考4：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 是正数，此时用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？
P
O
x
y
M
A
T
A
T
思考5：根据上述分析，你能描述正切线的几何特征吗？
过点A（1，0）作单位圆的切线，与角α的终边或其反向延长线相交于点T，则AT=tanα.
A
T
O
x
y
P
A
T
O
x
y
P
思考6：当角α的终边在坐标轴上时，角α的正切线的含义如何？
O
x
y
P
P
当角α的终边在x轴上时，角α的正切线是一个点；当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在.
思考7：观察下列不等式：
你有什么一般猜想？
思考8：对于不等式
（其中α为锐角），你能用数形结合思想证明吗？
P
O
x
y
M
A
T
理论迁移
例1 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .
例2 在0～ 内，求使 成立的α的取值范围.
O
x
y
P
M
P1
P2
例3 求函数 的定义域.
O
x
y
P2
M
P1
P
小结作业
1.三角函数线是三角函数的一种几何表示，即用有向线段表示三角函数值，是今后进一步研究三角函数图象的有效工具.
2.正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化，余弦线和正切线的始点都是定点，分别是原点O和点A（1，0）.
3.利用三角函数线处理三角不等式问题，是一种重要的方法和技巧，也是一种数形结合的数学思想.
作业：
P17 练习：1，2.
P21习题1.2A组：5，7.(共19张PPT)
1.6 三角函数模型的简单应用
第一课时
问题提出
1.函数 中的参数 对图象有什么影响？三角函数的性质包括哪些基本内容？
2.我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质，其中周期性是三角函数的一个显著性质.在现实生活中，如果某种变化着的现象具有周期性，那么它就可以借助三角函数来描述，并利用三角函数的图象和性质解决相应的实际问题.
探究一：根据图象建立三角函数关系
思考1：这一天6～14
时的最大温差是多少？
【背景材料】如图，某地一天从6～14时
的温度变化曲线近似满足函数:
T/℃
10
20
30
o
t/h
6
10
14
思考2：函数式中A、b的值分别是多少？
30°-10°=20°
A=10,b=20.
T/℃
10
20
30
o
t/h
6
10
14
思考3：如何确定函数式中 和 的值
思考4：这段曲线对应的函数是什么？
思考5：这一天12时的温度大概是多少 （℃）？
27.07℃.
探究二：根据相关数据进行三角函数拟合
【背景材料】 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
5.0
2.5
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
7.5
5.0
水深/米
24
21
18
15
12
9
6
3
0
时刻
思考1：观察表格中的数据，每天水深的变化具有什么规律性？
呈周期性变化规律.
5.0
2.5
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
7.5
5.0
水深/米
24
21
18
15
12
9
6
3
0
时刻
思考2：设想水深y是时间x的函数，作出表中的数据对应的散点图，你认为可以用哪个类型的函数来拟合这些数据？
y
o
18
24
6
12
2
4
6
8
x
5.0
2.5
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
7.5
5.0
水深/米
24
21
18
15
12
9
6
3
0
时刻
思考3: 用一条光滑曲线连结这些点，得到一个函数图象，该图象对应的函数解析式可以是哪种形式？
3
x
y
o
18
24
6
12
2
4
6
8
思考4：用函数 来刻画水深和时间之间的对应关系，如何确定解析式中的参数值？
x
y
o
18
24
6
12
2
4
6
8
思考5：这个港口的水深与时间的关系可
用函数 近似描述，你能
根据这个函数模型，求出各整点时水深的近似值吗？（精确到0.001）
3.754
2.835
2.500
2.835
3.754
5.000
水深
23：00
22：00
21：00
20：00
19：00
18：00
时刻
6.250
7.165
7.500
7.165
6.250
5.000
水深
17：00
16：00
15：00
14：00
13：00
12：00
时刻
3.754
2.835
2.500
2.835
3.754
5.000
水深
11：00
10：00
9：00
8：00
7：00
6：00
时刻
6.250
7.165
7.500
7.165
6.250
5.000
水深
5：00
4：00
3：00
2：00
1：00
0：00
时刻
思考6：一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？
A
B
C
D
o
x
y
2
4
6
8
5
10
15
o
x
A
B
C
D
y
2
4
6
8
5
10
15
货船可以在0时30分左右进港，早晨5时30分左右出港；或在中午12时30分左右进港，下午17时30分左右出港.每次可以在港口停留5小时左右.
思考7：若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
y=-0.3x+6.1
2
6
x
8
10
12
y
4
o
2
4
6
8
货船最好在6.5时之前停止卸货，将船驶向较深的水域.
思考8：右图中，
设点P(x0，y0)，
有人认为，由于
P点是两个图象的
交点，说明在x0
时，货船的安全水深正好与港口水深相等，因此在这时停止卸货将船驶向较深水域就可以了，你认为对吗？
2
6
x
8
10
12
y
4
y=-0.3x+6.1
o
2
4
6
8
P
.
理论迁移
例 弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的距离s（cm）随时间t（s）的变化曲线是一个三角函数的图象，如图.
（1）求这条曲线对
应的函数解析式；
（2）小球在开始振
动时，离开平衡位
置的位移是多少？
4
t/s
s/cm
O
-4
1.根据三角函数图象建立函数解析式，就是要抓住图象的数字特征确定相关的参数值，同时要注意函数的定义域.
2.对于现实世界中具有周期现象的实际问题，可以利用三角函数模型描述其变化规律.先根据相关数据作出散点图，再进行函数拟合，就可获得具体的函数模型，有了这个函数模型就可以解决相应的实际问题.
小结作业
作业：
P65 练习:1，2，3.(共15张PPT)
1.2.2 同角三角函数的基本关系
1.2 任意角的三角函数
问题提出
1.任意角的正弦、余弦、正切函数分别是如何定义的？
2.在单位圆中，任意角的正弦、余弦、正切函数线分别是什么？
MP=sinα，
OM=cosα，
AT=tanα.
P
O
x
y
M
A
T
3.对于一个任意角α，sinα，cosα，tanα是三个不同的三角函数，从联系的观点来看，三者之间应存在一定的内在联系，我们希望找出这种同角三角函数之间的基本关系，实现正弦、余弦、正切函数的互相转化，为进一步解决三角恒等变形问题提供理论依据．
知识探究（一）：基本关系
思考1：如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P，那么，正弦线MP和余弦线OM的长度有什么内在联系？由此能得到什么结论？
P
O
x
y
M
1
思考2：上述关系反映了角α的正弦和余弦之间的内在联系，根据等式的特点，将它称为平方关系.那么当角α的终边在坐标轴上时，上述关系成立吗？
O
x
y
P
P
思考3：设角α的终边与单位圆交于点 P（x，y），根据三角函数定义，有
， ， ， 由此可得sinα，cosα，tanα满足什么关系？
思考4：上述关系称为商数关系，那么商数关系成立的条件是多么？
同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于这个角的正切.
思考5：平方关系和商数关系是反映同一个角的三角函数之间的两个基本关系，它们都是恒等式，如何用文字语言描述这两个关系？
知识探究（二）：基本变形
思考1：对于平方关系 可作哪些变形？
思考2：对于商数关系 可作哪些变形？
思考3：结合平方关系和商数关系，可得到哪些新的恒等式？
思考4：若已知sinα的值，如何求cosα和tanα的值？
思考5：若已知tanα的值，如何求sinα和cosα的值？
理论迁移
例1 求证：
例2 已知 ,求 ， 的值.
若α是第三象限角，则 ， .
若α是第四象限角，则 ， .
例3 已知tanα=2，求下列各式的值.
（1） ；（2）
例4 已知 ，
求 的值.
小结作业
1.同角三角函数的两个基本关系是对同一个角而言的，由此可以派生出许多变形公式，应用中具有灵活、多变的特点.
2.利用平方关系求值时往往要进行开方运算，因此要根据角所在的象限确定三角函数值符号，必要时应就角所在象限进行分类讨论．
3.化简、求值、证明，是三角变换的三个基本问题，具有一定的技巧性，需要加强训练，不断总结、提高.
作业：
P20 练习：1，2，4，5.
P21习题1.2A组：11，12.(共7张PPT)
1.6 三角函数模型的简单应用
第三课时
(习题课)
例1 弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的距离s（cm）随时间t（s）的变化曲线是一个三角函数的图象，如图.
（1）求这条曲线对
应的函数解析式；
（2）小球在开始振
动时，离开平衡位
置的位移是多少？
4
t/s
s/cm
O
-4
例2 如图，甲船在点A处测得乙船在北偏东60°的B处，并以每小时10海里的速度向正北方向行使，若甲船沿北偏东θ角方向直线航行，并与乙船在C处相遇，求甲船的航速.
B
C
A
北
θ
D
x
y
1
－1
o
例3 已知函数
的部分图象如图所示，
试确定函数 的奇偶性.
例4 将函数y=sin2x的图象先向左平
移 个单位,再把图象上各点的横坐标
缩短到原来的 倍,纵坐标伸长到原来的
4倍,然后将所得图象向下平移2个单位得曲线C,求曲线C对应的函数解析式.
例5 在函数 的图象与直线 的交点中，距离最近
的两点之间的距离是 ，求函数f(x)的最小正周期.
T=π
例6 已知函数 在区间 上的最小值是-2,求ω的取值范围.
作业:
P71复习参考题B组：
2，3，4，7，8.(共23张PPT)
1.2 任意角的三角函数
1.2.1 任意角的三角函数
第一课时
问题提出
1.角的概念是由几个要素构成的，具体怎样理解？
（1）角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形.
（2）按逆时针方向旋转形成的角为正角，按顺时针方向旋转形成的角为负角，没有作任何旋转形成的角为零角.
（3）角的大小是任意的.
2.什么叫做1弧度的角？度与弧度是怎样换算的？
（1）等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
3. 与角α终边相同的角的一般表达式是什么？
β=α＋k·360°（k∈Z）或
（2）180°＝ rad.
4.如图，在直角三角形ABC中，sinα，cosα，tanα分别叫做角α的正弦、余弦和正切，它们的值分别等于什么？
A
B
C
α
5.当角α不是锐角时，我们必须对sinα，cosα，tanα的值进行推广，以适应任意角的需要.
知识探究（一）：任意角的三角函数
思考1：为了研究方便，我们把锐角α放到直角坐标系中，并使角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合.在角α的终边上取一点P（a，b）,设点P与原点的距离为r，那么，sinα，cosα，tanα的值分别如何表示？
思考2：对于确定的角α，上述三个比值是否随点P在角α的终边上的位置的改变而改变呢？为什么？
x
y
o
P(a，b)
α
r
A
B
思考3：为了使sinα，cosα的表示式更简单，你认为点P的位置选在何处最好？此时，sinα，cosα分别等于什么？
x
y
o
P(a，b)
α
1
思考4：在直角坐标系中，以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆.对于角α的终边上一点P，要使|OP|=1，点P的位置如何确定？
α的终边
O
x
y
P
思考5：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），为了不与当α为锐角时的三角函数值发生矛盾，
你认为sinα，cosα，tanα对应的值应分别如何定义？
α的终边
P(x，y)
O
x
y
思考6：对于一个任意给定的角α，按照上述定义，对应的sinα，cosα，tanα的值是否存在？是否惟一？
α的终边
P(x，y)
O
x
y
正、余弦函数的定义域为R，
正切函数的定义域是
思考7：对应关系 ， ， 都是以角为自变量，以单位圆
上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，分别称为正弦函数、余弦函数和正切函数，并统称为三角函数，在弧度制中，这三个三角函数的定义域分别是什么？
思考8：若点P（x，y）为角α终边上任意一点，那么sinα，cosα，tanα对应的函数值分别等于什么？
P(x，y)
O
x
y
知识探究（二）：三角函数符号与公式
思考1：当角α在某个象限时，设其终边与单位圆交于点P（x，y），根据三角函数定义，sinα，cosα，tanα的函数值符号是否确定？为什么？
α的终边
P(x，y)
O
x
y
思考2：设α是一个任意的象限角，那么当α在第一、二、三、四象限时，sinα的取值符号分别如何？cosα，tanα的取值符号分别如何？
思考3：综上分析，各三角函数在各个象限的取值符号如下表：
三角函数
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
+
+
+
+
－
－
－
－
+
－
+
－
你有什么办法记住这些信息？
思考4：如果角α与β的终边相同，那么sinα与sinβ有什么关系？cosα与cosβ有什么关系？tanα与tanβ有什么关系？
思考5：上述结论表明，终边相同的角的同名三角函数值相等，如何将这个性质用一组数学公式表达？
公式一：
（ )
思考6：若sinα=sinβ，则角α与β的终边一定相同吗？
思考7：在求任意角的三角函数值时，上述公式有何功能作用？
可将求任意角的三角函数值，转化为求0～ （或0°～360°)范围内的三角函数值.
思考8：函数的对应形式有一对一和多对一两种，三角函数是哪一种对应形式？
O
x
y
理论迁移
例1 求 的正弦、余弦和正切值.
例2 已知角的终边过点P（－3，－4），求角的正弦、余弦和正切值.
O
x
y
P（－3，－4）
例3 求证：当且仅当不等式组
成立时，角θ为第三象限角.
例4 确定下列三角函数值的符号.
（1） ;（2） ;（3） ;
（4） ; （5） ;（6） .
小结作业
1.三角函数都是以角为自变量，在弧度制中，三角函数的自变量与函数值都是在实数范围内取值.
2.三角函数的定义是三角函数的理论基础，三角函数的定义域、函数值符号、公式一等，都是在此基础上推导出来的.
4.一个任意角的三角函数只与这个角的终边位置有关，与点P（x，y）在终边上的位置无关.公式一揭示了三角函数值呈周期性变化，即角的终边绕原点每旋转一周，函数值重复出现.
3.若已知角α的一个三角函数符号，则角α所在的象限有两种可能；若已知角α的两个三角函数符号，则角α所在的象限就惟一确定.
作业：
P15 练习：1，2，5，7.
3，4，6 做在书上(共21张PPT)
1.4 三角函数的图象与性质
1.4.1正弦函数、余弦函数的图象
2.任意给定一个实数x，对应的正弦值（sinx）、余弦值(cosx)是否存在？惟一？
问题提出
1.在单位圆中，角α的正弦线、余弦线分别是什么？
P（x，y）
O
x
y
M
sinα=MP
cosα=OM
4.一个函数总具有许多基本性质，要直观、全面了解正、余弦函数的基本特性，我们应从哪个方面人手？
3.设实数x对应的角的正弦值为y，则对应关系y=sinx就是一个函数，称为正弦函数；同样y= cosx也是一个函数，称为余弦函数，这两个函数的定义域是什么？
知识探究（一）：正弦函数的图象
思考1：作函数图象最原始的方法是什么？
思考2：用描点法作正弦函数y=sinx在[0，2π]内的图象，可取哪些点？
思考3：如何在直角坐标系中比较精确地描出这些点，并画出y=sinx在[0，2π]内的图象？
x
y
1
-1
O
2π
π
思考4：观察函数y=sinx在[0，2π]内的图象，其形状、位置、凸向等有何变化规律？
思考5：在函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象上，起关键作用的点有哪几个？
x
-1
O
2π
π
1
y
思考6：当x∈[2π，4π], [-2π，0],…时，y=sinx的图象如何？
y
-1
x
O
1
π
2π
3π
4π
5π
6π
-2π
-3π
-4π
-5π
-6π
-π
思考7：函数y=sinx，x∈R的图象叫做正弦曲线，正弦曲线的分布有什么特点？
y
-1
x
O
1
π
2π
3π
4π
5π
6π
-2π
-3π
-4π
-5π
-6π
-π
思考8：你能画出函数y=|sinx|，
x∈[0，2π]的图象吗？
y
x
O
π
1
2π
-1
知识探究（二）：余弦函数的图象
思考1：观察函数y=x2与y=(x＋1)2 的图象，你能发现这两个函数的图象有什么内在联系吗？
x
y
o
-1
思考2：一般地，函数y=f(x＋a)(a>0)的图象是由函数y=f(x)的图象经过怎样的变换而得到的？
向左平移a个单位.
思考3：设想由正弦函数的图象作出余弦函数的图象，那么先要将余弦函数y=cosx转化为正弦函数，你可以根据哪个公式完成这个转化？
思考4：由诱导公式可知，y=cosx与
是同一个函数，如何作函数 在[0，2π]内的图象？
x
y
O
2π
π
1
y=sinx
-1
思考5：函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象如何？其中起关键作用的点有哪几个？
x
y
O
2π
π
1
-1
思考6：函数y=cosx，x∈R的图象叫做余弦曲线，怎样画出余弦曲线，余弦曲线的分布有什么特点？
x
y
O
1
-1
理论迁移
例1 用“五点法”画出下列函数的简图：
(1)y=1+sinx，x∈[0，2π]；
(2)y=-cosx，x∈[0，2π] .
x
sinx
1+sinx
1
0
0
0
0
1
-1
1
2
0
1
x
-1
O
2π
π
1
y
2
y=1+sinx
x
cosx
-cosx
1
0
1
0
0
1
-1
-1
0
0
-1
x
-1
O
2π
π
1
y
y=-cosx
例2 当x∈[0，2π]时，求不等式
的解集.
x
y
O
2π
π
1
-1
小结作业
1.正、余弦函数的图象每相隔2π个单位重复出现，因此，只要记住它们在[0，2π]内的图象形态，就可以画出正弦曲线和余弦曲线.
2.作与正、余弦函数有关的函数图象，是解题的基本要求，用“五点法”作图是常用的方法.
3.正、余弦函数的图象不仅是进一步研究函数性质的基础，也是解决有关三角函数问题的工具，这是一种数形结合的数学思想.
作业：P34练习：2
P46习题1.4 A组: 1(共17张PPT)
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第二课时
问题提出
1.周期函数是怎样定义的？
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x +T)=f(x), 那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期.
2.正、余弦函数的最小正周期是多少？函数 和
的最小正周期是多少？
3.周期性是正、余弦函数所具有的一个基本性质，此外，正、余弦函数还具有哪些性质呢？我们将对此作进一步探究.
探究（一）：正、余弦函数的奇偶性和单调性
思考1：观察下列正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？
y
-1
x
O
1
π
2π
3π
4π
5π
6π
-2π
-3π
-4π
-5π
-6π
-π
y=sinx
x
y
O
1
-1
y=cosx
思考2：上述对称性反映出正、余弦函数分别具有什么性质？如何从理论上加以验证？
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.
思考3：观察正弦曲线，正弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？
y
-1
x
O
1
π
2π
3π
4π
5π
6π
-2π
-3π
-4π
-5π
-6π
-π
y=sinx
正弦函数在每一个闭区间
上都是增函数；在每一个闭区间
上都是减函数.
思考4：类似地，余弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？
余弦函数在每一个闭区间
上都是增函数；在每一个闭区间
上都是减函数.
x
y
O
1
-1
y=cosx
思考5：正弦函数在每一个开区间（2kπ， ＋2kπ） (k∈Z)上都是增函数，能否认为正弦函数在第一象限是增函数？
探究（二）：正、余弦函数的最值与对称性
思考1：观察正弦曲线和余弦曲线，正、余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？
思考2：当自变量x分别取何值时，正弦函数y=sinx取得最大值1和最小值－1？
正弦函数当且仅当 时取最大值1, 当且仅当 时取最小值-1
思考3：当自变量x分别取何值时，余弦函数y=cosx取得最大值1和最小值－1？
余弦函数当且仅当 时取最大值1, 当且仅当 时取最小值-1.
思考4：根据上述结论，正、余弦函数的值域是什么？函数y=Asinωx（Aω≠0）的值域是什么？
思考5：正弦曲线除了关于原点对称外，是否还关于其它的点和直线对称？
正弦曲线关于点（kπ，0）和直线
对称.
[-|A|，|A|]
思考6：余弦曲线除了关于y轴对称外，是否还关于其它的点和直线对称？
余弦曲线关于点 和直线x=kπ对称.
理论迁移
例1 求下列函数的最大值和最小值，并写出取最大值、最小值时自变量x的集合
（1） y=cosx＋1，x∈R；
（2）y=－3sin2x，x∈R.
例3 求函数 ，
x∈[－2π，2π]的单调递增区间.
例2 比较下列各组数的大小:
小结作业
1. 正、余弦函数的基本性质主要指周期性、奇偶性、单调性、对称性和最值，它们都是结合图象得出来的，要求熟练掌握.
2.正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.一般地，y=Asinωx是奇函数，y=Acosωx（Aω≠0）是偶函数.
作业：P40-41练习：1，2，3，5，6.
3.正、余弦函数有无数个单调区间和无数个最值点，简单复合函数的性质应转化为基本函数处理.(共24张PPT)
1.1 任意角和弧度制
1.1.1 任意角
第一章 三角函数
高中新课程数学必修④
问题提出
1.角是平面几何中的一个基本图形，角是可以度量其大小的.在平面几何中，角的取值范围如何？
2.体操是力与美的结合，也充满了角的概念．2002年11月22日，在匈牙利德布勒森举行的第36届世界体操锦标赛中，“李小鹏跳”——“踺子后手翻转体180度接直体前空翻转体900度”，震惊四座，这里的转体180度、 转体900度就是一个角的概念.
3.过去我们学习了0°～360°范围的角，但在实际问题中还会遇到其他角．如在体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中，常常听到“转体10800”、“转体12600”这样的解说．再如钟表的指针、拧动螺丝的扳手、机器上的轮盘等，它们按照不同方向旋转所成的角，不全是0°～3600范围内的角.因此，仅有0°～360°范围内的角是不够的，我们必须将角的概念进行推广.
知识探究（一）：角的概念的推广
思考1：对于角的图形特点有如下两种认识：①角是由平面内一点引出的两条射线所组成的图形（如图1）；②角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形（如图2）.你认为哪种认识更科学、合理？
图2
图1
思考2：如图，一条射线的端点是O，它从起始位置OA旋转到终止位置OB，形成了一个角α，其中点O，射线OA、OB分别叫什么名称？
A
O
B
α
始边
终边
顶点
思考3：在齿轮传动中，被动轮与主动轮是按相反方向旋转的.一般地，一条射线绕其端点旋转，既可以按逆时针方向旋转，也可以按顺时针方向旋转.你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转600所形成的角，与按顺时针方向旋转600所形成的角是否相等？
思考4：为了区分形成角的两种不同的旋转方向，可以作怎样的规定？如果一条射线没有作任何旋转，它还形成一个角吗？
规定：
按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．
如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角.
画图表示一个大小一定的角，先画一条射线作为角的始边，再由角的正负确定角的旋转方向，再由角的绝对值大小确定角的旋转量，画出角的终边，并用带箭头的螺旋线加以标注.
β
B2
γ
A
B1
α
O
思考5：度量一个角的大小，既要考虑旋转方向，又要考虑旋转量，通过上述规定，角的范围就扩展到了任意大小. 对于α＝210°， ＝－150°，＝－660°，你能用图形表示这些角吗？你能总结一下作图的要点吗？
思考6：如果你的手表慢了20分钟，或快了1.25小时，你应该将分钟分别旋转多少度才能将时间校准？
－120°，450°.
思考7：任意两个角的数量大小可以相加、相减，如 50°＋80°=130°， 50°－80°=－30°，你能解释一下这两个式子的几何意义吗？
以50°角的终边为始边，逆时针（或顺时针）旋转80°所成的角.
思考8：一个角的始边与终边可以重合吗？如果可以，这样的角的大小有什么特点？
k·360°（k∈Z）
知识探究（二）：象限角
思考1：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？
x
o
y
思考2：如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于如何象限，或称这个角为轴线角.那么下列各角：-50°，405°，210°,
-200°，－450°分别是第几象限的角？
－50°
x
y
o
x
y
o
210°
－450°
x
y
o
405°
x
y
o
－200°
x
y
o
思考3：锐角与第一象限的角是什么逻辑关系？钝角与第二象限的角是什么逻辑关系？直角与轴线角是什么逻辑关系？
思考4：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？
象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小.
思考5：在直角坐标系中，135°角的终边在什么位置？终边在该位置的角一定是135°吗？
x
y
o
知识探究（三）：终边相同的角
思考1：－32°，328°，－392°是第几象限的角？这些角有什么内在联系？
－32°
－392°
x
y
o
328°
思考2：与－32°角终边相同的角有多少个？这些角与－32°角在数量上相差多少？
思考3：所有与－32°角终边相同的角，连同－32°角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？
S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}，即任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
思考4：一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内所构成的集合S可以怎样表示？
思考5：终边在x轴正半轴、负半轴，y轴正半轴、负半轴上的角分别如何表示？
x轴正半轴：α= k·360°，k∈Z ； x轴负半轴：α= 180°＋k·360°，k∈Z ；
y轴正半轴：α= 90°＋k·360°，k∈Z ； y轴负半轴：α= 270°＋k·360°，k∈Z .
思考6：终边在x轴、y轴上的角的集合分别如何表示？
终边在x轴上：S={α|α=k·180°，k∈Z}；终边在y轴上：S={α|α=90°＋k·180°， k∈Z}.
思考7：第一、二、三、四象限的角的集合分别如何表示？
第一象限：S={α | k·360°<α<
90°＋k·360°，k∈Z}；
第二象限：S={α | 90°＋k·360°<α<
180°＋k·360°，k∈Z}；
第三象限：S={α | 180°＋k·360°<α<
270°＋k·360°，k∈Z}；
第四象限：S={α | －90°＋k·360°<
α思考8：如果α是第二象限的角，那么2α、α/2分别是第几象限的角？
90°＋k·360°<α<180°＋k·360°
180°＋k·720°<2α<360°＋k·720°
45°＋k·180°<α/2<90°＋k·180°
理论迁移
例1 在0°～360°范围内，找出与－950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角.
129°48′，第二象限角.
S={α|α=45°＋k·180°，k∈Z}.
－315°，-135°，45°，225°，405°，585°.
例2 写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤ ＜720°的元素写出来.
小结作业
1.角的概念推广后，角的大小可以任意取值. 把角放在直角坐标系中进行研究，对于一个给定的角，都有唯一的一条终边与之对应，并使得角具有代数和几何双重意义.
2.终边相同的角有无数个，在0°～360°范围内与已知角β终边相同的角有且只有一个. 用β除以360°，若所得的商为k，余数为α（α必须是正数），则α即为所找的角.
作业：
P5 练习 ：3，4，5.(共26张PPT)
第二课时
1.5 函数 的图象
问题提出
1.函数 图象是由函数 的图象经过怎样的变换而得到的？
的图象，可以看作是把正弦曲线 上所有的点向左（当
＞0时）或向右（当 ＜0时）平行移动| |个单位长度而得到.
2.函数 的图象是由函数
的图象经过怎样的变换而得到的？
函数 的图象，可以看作是把函数 的图象上所有点的横坐标缩短（当 ＞1时）或伸长（当0＜ ＜1时）到原来的 倍（纵坐标不变）而得到的.
3.函数 的图象，不仅受 、 的影响，而且受A的影响，对此，我们再作进一步探究.
探究（一）：A（A>0）对 的图象的影响
思考1：函数 的周期是多少？如何用“五点法”画出该函数在一个周期内的图象？
π
2π
o
y
x
2-
-2-
思考2：比较函数 与函数
的图象的形状和位置，你有什么发现？
π
2π
o
y
x
2-
-2-
函数 的图象，可以看作是把 的图象上所有的点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）而得到的.
π
2π
o
y
x
2-
-2-
思考3：用五点法作出函数 在一个周期内的图象，比较它与函数
的图象的形状和位置，你又有什么发现？
π
2π
o
y
x
1-
-1-
函数 的图象，可以看作是把 的图象上所有的点纵坐标缩短到原来的 倍（横坐标不变）而得到的.
π
2π
o
y
x
1-
-1-
思考4：一般地，对任意的A（A＞0且A≠1），函数 的图象是由函数 的图象经过怎样的变换而得到的？
函数 的图象，可以看作是把函数 的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）而得到的.
思考5：上述变换称为振幅变换，据此理论，函数 的图象是由
函数 的图象经过怎样的变换而得到的？
函数 的图象，可以看作是
把 的图象上所有的点纵坐标伸长到原来的1.5倍（横坐标不变）而得到的.
探究（二）： 与 的图象关系
思考2：你能设计一个变换过程完成上述变换吗？
左移
思考1：将函数 的图象经过几次变换，可以得到函数 的图象？
横坐标缩短到原来的
纵坐标伸长到原来的3倍
思考3：一般地，函数 （A＞0， ＞0）的图象，可以由函数 的图象经过怎样的变换而得到？
先把函数 的图象向左（右）平移| |个单位长度，得到函数 的图象；再把曲线上各点的横坐标变为原来的 倍，得到函数 的图象；然后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍，就得到函数 的图象.
思考4：将函数 的图象变换到函数 （其中A＞0， ＞0）的图象，共有多少种不同的变换次序？
6种!
思考5：若将函数 的图象先作振幅变换，再作周期变换，然后作平移变换得到函数 的图象，具体如何操作？
左移
横坐标缩短到原来的
纵坐标伸长到原来的3倍
.exe
思考6：物理中，简谐运动的图象就是函数 ， 的图象，其中A＞0， ＞0.描述简谐运动的物理量有振幅、周期、频率、相位和初相等，你知道这些物理量分别是指那些数据以及各自的含义吗？
称为初相,即x=0时的相位.
A是振幅，它是指物体离开平衡位置的最大距离；
是周期，它是指物体往复运动一次所需要的时间；
是频率，它是指物体在单位时间内往复运动的次数；
称为相位;
理论迁移
例1 说明函数 的图象是由函数 的图象经过怎样的变换而得到的？
右移
横坐标伸长到原来的3倍
纵坐标伸长到原来的2倍
例2 如图是某简谐运动的图象，试根据图象回答下列问题：
2
x/s
A
B
C
D
E
F
y/cm
0.4
0.8
1.2
O
-2
2
x/s
A
B
C
D
E
F
y/cm
0.4
0.8
1.2
O
-2
⑴ 这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？
振幅A=2
周期T=0.8s
频率f=1.25
⑵ 从O点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往返运动？如从A点算起呢？
2
x/s
A
B
C
D
E
F
y/cm
0.4
0.8
1.2
O
-2
O～D
A～E
⑶ 写出这个简谐运动的表达式.
2
x/s
A
B
C
D
E
F
y/cm
0.4
0.8
1.2
O
-2
小结作业
1.函数 （A＞0，＞0）的图象，可以由函数 的图象通过三次变换而得到，共有6种不同的变换次序.在实际应用中，一般按“左右平移→横向伸缩→纵向伸缩”的次序进行.
2.用“变换法”作函数 的图象，其作图过程较复杂，不便于操作，在一般情况下，常用“五点法”作图.
3.通过平移，将函数 的图象变换为 的图象，其平移单位是 .
4.若已知函数 的图象及有关数字特征，则可以求出函数的解析式.
作业：
P56 练习：3，4.
P58习题1.5A组：4，5.(共22张PPT)
第一课时
1.5 函数 的图象
问题提出
1.正弦函数y=sinx的定义域、值域分别是什么？它有哪些基本性质？
2.正弦曲线有哪些基本特征？
y
-1
x
O
1
π
2π
3π
4π
5π
6π
-2π
-3π
-4π
-5π
-6π
-π
4. 、 、A是影响函数图象形态的重要参数，对此，我们分别进行探究.
3.正弦函数y=sinx是最基本、最简单的三角函数，在物理中，简谐运动中的单摆对平衡位置的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如 的函数.我们需要了解它与函数y=sinx的内在联系.
探究一：对 的图象的影响
思考1： 函数周期是多少？你有什么办法画出该函数在一个周期内的图象？
π
2π
o
y
x
思考2：比较函数 与 的图象的形状和位置，你有什么发现？
函数 的图象，可以看作是把曲线 上所有的点向左平移个单位长度而得到的.
π
2π
o
y
x
思考3：用“五点法”作出函数
在一个周期内的图象，比较它与函数 的图象的形状和位置，你又有什么发现？
π
2π
o
y
x
思考4：一般地，对任意的 （ ≠0），函数 的图象是由函数 的图象经过怎样的变换而得到的？
的图象，可以看作是把正弦曲线 上所有的点向左（当
＞0时）或向右（当 ＜0时）平行移动| |个单位长度而得到.
思考5：上述变换称为平移变换，据此
理论，函数 的图象可以看
作是由 的图象经过怎样变换而得到？
函数 的图象，可以看作是把曲线 上所有的点向右平移 个单位长度而得到的.
探究二：（ ＞0）对 的图象的影响
思考1：函数 周期是多少？如何用“五点法”画出该函数在一个周期内的图象？
π
2π
o
y
x
思考2：比较函数 与
的图象的形状和位置，你有什么发现？
π
2π
o
y
x
函数 的图象，可以看作是把 的图象上所有的点横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）而得到的.
π
2π
o
y
x
思考3：用“五点法”作出函数 在一个周期内的图象，比较它与函数
的图象的形状和位置，你又有什么发现？
π
2π
o
y
x
3π
函数 的图象，可以看作是把 的图象上所有的点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）而得到的.
π
2π
o
y
x
3π
思考4：一般地，对任意的 （ ＞0），函数 的图象是由函数
的图象经过怎样的变换而得到的？
函数 的图象，可以看作是把函数 的图象上所有点的横坐标缩短（当 ＞1时）或伸长（当0＜ ＜1时）到原来的 倍（纵坐标不变）而得到的.
思考5：上述变换称为周期变换，据此理论，函数 的图象可以看作是把函数 的图象进行怎样变换而得到的？
函数 的图象，可以看作是把 的图象上所有的点横坐标伸长到原来的1.5倍（纵坐标不变）而得到的.
思考6：函数 的图象可以看作是把函数 的图象进行怎样变换而得到的？
函数 的图象，可以看作是先把 的图象向右平移 ,再把图象上所有的点的横坐标伸长到原来的1.5倍（纵坐标不变）而得到的.
理论迁移
例1 要得到函数 的图象，只需将函数 的图象 ( )
A．向左平移个 单位 B．向右平移个 单位
C．向左平移个 单位 D．向右平移个 单位
D
例2 画出函数 的简图，并说明它是由函数 的图象进行怎样变换而得到的？
π
2π
o
y
x
小结作业
1.函数 的图象可以由函数 的图象经过平移变换而得到，其中平移方向和单位分别由φ的符号和绝对值所确定.
2.对函数 的图象作周期变换，它只改变x的系数，不改变φ的值.
3.函数 的图象可以由函数 的图象通过平移、伸缩变换而得到，但有两种变换次序，不同的变换次序会影响平移单位.
4.余弦函数 的图象变换与正弦函数类似，可参照上述原理进行.
作业：
P55练习： 1 .
P57习题1.5 A组：1.（1)（2） （做书上）(共14张PPT)
第一课时
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
问题提出
1.正弦函数和余弦函数的图象分别是什么？二者有何相互联系？
y
-1
x
O
1
π
2π
3π
4π
5π
6π
-2π
-3π
-4π
-5π
-6π
-π
y=sinx
x
y
O
1
-1
y=cosx
2.世界上有许多事物都呈现“周而复始”的变化规律，如年有四季更替，月有阴晴圆缺.这种现象在数学上称为周期性，在函数领域里，周期性是函数的一个重要性质.
知识探究（一）：周期函数的概念
思考1：由正弦函数的图象可知, 正弦曲线每相隔2π个单位重复出现， 这一规律的理论依据是什么？
.
思考2：设f(x)=sinx，则
可以怎样表示？其数学意义如何？
思考3：为了突出函数的这个特性，我们把函数f(x)=sinx称为周期函数，2kπ为这个函数的周期.一般地，如何定义周期函数？
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x), 那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期.
思考4：周期函数的周期是否惟一？正弦函数的周期有哪些？
思考5：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数, 则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.那么, 正弦函数的最小正周期是多少？为什么？
正、余弦函数是周期函数，2kπ（k∈Z, k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π．
思考6：就周期性而言，对正弦函数有什么结论？对余弦函数呢？
知识探究（二）：周期概念的拓展
思考1：函数f(x)=sinx（x≥0）是否为周期函数？函数f(x)=sinx（x≤0）是否为周期函数？
思考2：函数f(x)=sinx（x>0）是否为周期函数？函数f(x)=sinx（x≠3kπ）是否为周期函数？
思考3：函数f(x)=sinx，x∈[0，10π]是否为周期函数？周期函数的定义域有什么特点？
思考4：函数y=3sin(2x＋4)的最小正周期是多少？
思考5：一般地，函数
的最小正周期是多少
思考6：如果函数y=f(x)的周期是T，那么函数y=f(ωx＋φ)的周期是多少？
理论迁移
例1 求下列函数的周期：
（1）y=3cosx; x∈R
（2）y=sin2x，x∈R；
（3） ， x∈R ；
（4）y=|sinx| x∈R.
例2 已知定义在R上的函数f(x)满足
f(x＋2)＋f(x)=0，试判断f(x)是否为周期函数？
例3 已知定义在R上的函数f(x)满足
f(x＋1)=f(x－1)，且当x∈[0，2]时，f(x)=x－4，求f(10)的值.
小结作业
1.函数的周期性是函数的一个基本性质，判断一个函数是否为周期函数，一般以定义为依据，即存在非零常数T，使f(x＋T)=f(x)恒成立.
2.周期函数的周期与函数的定义域有关，周期函数不一定存在最小正周期.
3.周期函数的周期有许多个，若T为周期函数f(x)的周期，则T的整数倍也是f(x)的周期.
4.函数 和
的最小正周期都是 ，这是正、余弦函数的周期公式，解题时可以直接应用.
作业：P36练习：1，2，3.(共15张PPT)
1.1.2 弧度制
1.1 任意角和弧度制
问题提出
1.角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形，其中正角、负角、零角分别是怎样规定的？
2.在直角坐标系内讨论角，象限角是什么概念？
4.长度可以用米、厘米、英尺、码等不同的单位度量，物体的重量可以用千克、磅等不同的单位度量.不同的单位制能给解决问题带来方便，以度为单位度量角的大小是一种常用方法，为了进一步研究的需要，我们还需建立一个度量角的单位制.
3.与角α终边相同的角的一般表达式是什么？
S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}
探究1：弧度的概念
思考1：在平面几何中，1°的角是怎样定义的？
将圆周分成360等份，每一段圆弧所对的圆心角就是1°的角.
思考2：在半径为r的圆中，圆心角n°所对的圆弧长如何计算？
思考3：如图，把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad，读作1弧度. 那么，1弧度圆心角的大小与所在圆的半径的大小是否有关？为什么？
O
A
B
r
r
1rad
思考4：约定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数
为0.如果将半径为r圆的一条
半径OA，绕圆心顺时针旋转到
OB，若弧AB长为2r，那么∠AOB
的大小为多少弧度？
－2rad.
B
2r
O
A
r
思考5：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值如何计算？
思考6：半径为r的圆的圆心与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，交圆于点A，终边与圆交于点B，下表中∠AOB的弧度数分别是多少？
弧AB的长 r 2r
OB旋转的方向 逆时针 逆时针 顺时针 顺时针 顺时针
∠AOB的弧度数
-1
-2
探究（二）：度与弧度的换算
思考1：一个圆周角以度为单位度量是多少度？以弧度为单位度量是多少弧度？由此可得度与弧度有怎样的换算关系？
思考2：根据上述关系，1°等于多少弧度？1rad等于多少度？
180°＝ rad.
思考3：根据度与弧度的换算关系，下表中各特殊角对应的弧度数分别是多少？
今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数.如α=2表示α是2rad的角.
思考4：在弧度制下，角的集合与实数集R之间可以建立一个一一对应关系，这个对应关系是如何理解的？
度 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 2700 3600
弧度
0
思考5：已知一个扇形所在圆的半径为R，弧长为l，圆心角为α（ ）那么扇形的面积如何计算？
思考6：在弧度制下，与角α终边相同的角如何表示？ 终边在坐标轴上的角如何表示？
终边x轴上：
终边y轴上：
知识迁移
例1 按照下列要求，把67°30′化成弧度：
（1）精确值； （2）精确到0.001的近似值.
例2 (1) 已知扇形的圆心角为72°，半径等于20cm，求扇形的弧长和面积；
（2）已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇形的圆心角的弧度数.
小结作业
1.用度为单位来度量角的单位制叫做角度制，用弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制.
2.度与弧度的换算关系，由180°＝
rad进行转化，以后我们一般用弧度为单位度量角.
3.利用弧度制，使得弧长公式和扇形的面积公式得以简化，这体现了弧度制优点.
作业：
P10 习题1.1 A组：
6，7，8，9，10.(共14张PPT)
1.4.3 正切函数的图象与性质
问题提出
1.正、余弦函数的图象是通过什么方法作出的？
2.正、余弦函数的基本性质包括哪些内容？这些性质是怎样得到的？
3.三角函数包括正、余弦函数和正切函数，我们已经研究了正、余弦函数的图象和性质， 因此, 进一步研究正切函数的性质与图象就成为学习的必然.
知识探究（一）：正切函数的性质
思考1：正切函数的定义域是什么？用区间如何表示？
思考2：根据相关诱导公式，你能判断正切函数是周期函数吗？其最小正周期为多少？
正切函数是周期函数，周期是π.
思考3：函数 的周期为多少？一般地，函数
的周期是什么？
思考4：根据相关诱导公式，你能判断正切函数具有奇偶性吗？
正切函数是奇函数
思考5：观察下图中的正切线，当角x
在 内增加时，正切函数值发生什么变化？由此反映出一个什么性质？
T1
O
x
y
A
T2
O
思考6：结合正切函数的周期性，正切函数的单调性如何？
正切函数在开区间
都是增函数
思考7：正切函数在整个定义域内是增函数吗？正切函数会不会在某一区间内是减函数？
思考8：当x大于 且无限接近 时，正切值如何变化？当x小于 且无限接近
时, 正切值又如何变化？由此分析，正切函数的值域是什么
正切函数的值域是R.
T1
O
x
y
A
T2
O
知识探究（一）：正切函数的图象
思考1：类比正弦函数图象的作法，可以利用正切线作正切函数在区间
的图象，具体应如何操作？
O
x
y
思考2：上图中,直线 和 与正切函数的图象的位置关系如何？图象的凸向有什么特点？
思考3：结合正切函数的周期性, 如何画出正切函数在整个定义域内的图象？
y
O
x
思考4：正切函数在整个定义域内的图象叫做正切曲线.因为正切函数是奇函数，所以正切曲线关于原点对称，此外，正切曲线是否还关于其它的点和直线对称？
正切曲线关于点 对称.
思考5：根据正切曲线如何理解正切函数的基本性质？一条平行于x轴的直线与相邻两支曲线的交点的距离为多少？
理论迁移
例1 求函数 的定义域、周期和单调区间.
例2 试比较tan8 和tan( )的大小.
例3 若 ，求x 的取值范围.
小结作业
1.正切函数的图象是被互相平行的直线所隔开的无数支相同形状的曲线组成,且关于点 对称, 正切函数的性质应结合图象去理解和记忆.
2.正切曲线与x轴的交点及渐近线,是确定图象形状、位置的关键要素,作图时一般先找出这些点和线,再画正切曲线.
3.研究正切函数问题时,一般先考察
的情形, 再拓展到整个定义域.
作业:P45练习:2，3，4，6.(共22张PPT)
1.3 三角函数的诱导公式
第一课时
问题提出
1.任意角α的正弦、余弦、正切是怎样定义的？
α的终边
P(x，y)
O
x
y
2. 2kπ＋α（k∈Z）与α的三角函数之间的关系是什么？
公式一：
（ )
3.你能求sin750°和sin930°的值吗？
4.利用公式一，可将任意角的三角函数值，转化为00～3600范围内的三角函数值.其中锐角的三角函数可以查表计算，而对于900～3600范围内的三角函数值，如何转化为锐角的三角函数值，是我们需要研究和解决的问题.
知识探究（一）：π＋α的诱导公式
思考1：210°角与30°角有何内在联系？
思考2：若α为锐角，则
（180°，270°）范围内的角可以怎样表示？
210°=180°+30°
180°+α
α的终边
x
y
o
π+α的终边
思考3：对于任意给定的一个角α，角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？
思考4：设角α的终边与单位圆交于点P（x，y），则角π＋α的终边与单位圆的交点坐标如何？
α的终边
x
y
o
π+α的终边
P(x，y)
Q(-x，-y)
思考5：根据三角函数定义，
sin（π＋α） 、cos（π＋α）、
tan（π＋α）的值分别是什么？
α的终边
x
y
o
π+α的终边
P(x，y)
Q(-x，-y)
sin(π＋α)=-y
cos(π＋α)=-x
tan(π＋α)=
思考6：对比sinα，cosα，tanα的值，π＋α的三角函数与α的三角函数有什么关系？
思考7：该公式有什么特点，如何记忆？
公式二：
知识探究（二）：-α，π-α的诱导公式：
思考1：对于任意给定的一个角α，－α的终边与α的终边有什么关系？
y
α的终边
x
o
-α的终边
思考2：设角α的终边与单位圆交于点 P（x，y），则－α的终边与单位圆的交点坐标如何？
y
α的终边
x
o
-α的终边
P(x,y)
P(x,-y)
公式三：
思考3：根据三角函数定义，－α的三角函数与α的三角函数有什么关系？
y
α的终边
x
o
-α的终边
P(x,y)
P(x,-y)
思考4：利用π－α＝π＋(－α)，结合公式二、三，你能得到什么结论？
公式四：
思考5：如何根据三角函数定义推导公式四？
-α的终边
y
α的终边
x
o
P(x,y)
P(-x,y)
π-α的终边
思考6：公式三、四有什么特点，如何记忆？
公式三：
公式四：
2kπ＋α（k∈Z），π＋α，－α，π－α的三角函数值，等于α的同名函数值，再放上原函数的象限符号.
思考7：公式一～四都叫做诱导公式，他们分别反映了2kπ＋α（k∈Z），π＋α，－α，π－α的三角函数与α的三角函数之间的关系，你能概括一下这四组公式的共同特点和规律吗？
理论迁移
例1 求下列各三角函数的值：
例2 已知cos(π＋x)＝ ，求下列各式的值：
（1）cos(2π－x)；（2）cos(π－x).
例3 化简：
（1） ；
（2） .
2.以诱导公式一～四为基础，还可以产生一些派生公式，
如sin（2π－α）=－sinα，
sin（3π－α）=sinα等.
小结作业
1.诱导公式都是恒等式，即在等式有意义时恒成立.
3.利用诱导公式一～四，可以求任意角的三角函数，其基本思路是：
这是一种化归与转化的数学思想.
任意负角的
三角函数
任意正角的
三角函数
0～2π的角
的三角函数
锐角的三角
函数
作业：
P27练习：1，2，3，4.
