(共19张PPT)
3.2 简单的三角恒等变换
第一课时
问题提出
1.两角和与差及二倍角的三角函数公式
分别是什么？
sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ
cos(α±β)＝cosαcosβ sinαsinβ
cos2α＝cos2α－sin2α
＝2cos2α－1
＝1－2sin2α；
sin2α＝2sinαcosα
2.三角函数公式是三角变换的理论依据，基本的三角公式包括同角关系公式，诱导公式，和差公式和二倍角公式等.有了这些公式，使得三角变换的内容、思路、方法丰富多彩，奥妙无穷，并为培养我们的推理、运算能力提供了
很好的平台.在实际应用中，我们不仅
要掌握公式的正向和逆向运用，还要
了解公式的变式运用，做到活用公式，
用活公式.
3.代数式变换与三角变换的区别在于：
代数式变换主要是对代数式的结构形式
进行变换；三角变换一般先寻找三角式
包含的各个角之间的联系，并以此为依
据选择可以联系它们的适当公式进行变
换，其中有两个变换原理是需要我们了
解的.
探究（一）：异角和积互化原理
思考1：对于sinαcosβ和cosαsinβ，
二者相加、相减分别等于什么？
思考2：记sinαcosβ＝x，cosαsinβ＝y，利用什么数学思想可求出x、y？
x+y＝sin(α+β)
x-y＝sin(α-β)
方程思想
左边是积右边是和差，
从左到右积化和差.
思考3：由上述分析可知
这两个等式左右两边的结构有什么特点？从左到右的变换功能是什么？
思考4令 ， ，
并交换等式两边的式子可得什么结论？
思考5：这两个等式左右两边的结构有什
么特点？从左到右的变换功能是什么？
思考6：参照上述分析，cosαcosβ，
sinαsinβ分别等于什么？其变换功能
如何？
思考7：cosθ＋cosφ，cosθ－cosφ
分别等于什么？其变换功能如何？
思考8：上述关系表明，两个不同的三角
函数的和（差）与积是可以相互转化的，
但转化是有条件的，其中和差化积的转
化条件是什么？
两个角的函数同名
探究（二）：同角和差合成原理
思考1：sin20°cos30°＋cos20°sin30°
可合成为哪个三角函数？
sin(20°+30°)=sin50°
思考2：
可分别合成为哪个三角函数？
sin(20°-60°)
sin(30°-20°)
思考3：
可分别合成为哪个三角函数？
思考4：
可合成为哪个三角函数？
思考5：一般地， 可
合成为一个什么形式的三角函数？
其中
理论迁移
例1 化简
tan(α＋β)
例2 已知cosx＝cosαcosβ，求证：
例4 如图，已知OPQ是半径为1，圆心角
为60°的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记∠COP=α,求当角α取何值时，矩形ABCD
的面积最大？并求出这个
最大面积.
O
A
B
P
Q
C
D
α
例3 求函数 的周期，
最大值和最小值？
小结作业
1.异角和积互化原理与同角和差合成原
理，是三角变换的两个基本原理，具体
公式不要求记忆，但要明确其变换思想，
会在实际问题中灵活运用.
2.“明确思维起点，把握变换方向，抓住
内在联系，合理选择公式”是三角变换的
基本要决.
3.对形如 的函数，转
化为 的形式后，可使
问题得到简化，这是一种化归思想.
作业：
P143习题3.2A组：
1(5)(6)(7)(8) ，2，3，4，5.(共5张PPT)
第三课时
含非特殊角的求值问题（习题课）
3.2 简单的三角恒等变换
例1 求 sin(－340°)cos400°＋
sin830°cos50°的值.
例2 求 的值.
－2
例3 求 的值.
例4 求 的值.
3
例5 求 的值.
2
例6 求 的值.
－32
例7 求 的值.
作业：
P146复习参考题A组：
4，5，8.(共14张PPT)
3.1.2 两角和与差的正弦、
余弦、正切公式
问题提出
1.两角差的余弦公式是什么？它有哪些基本变式？
2.利用两角差的余弦公式固然能解决一些问题，但范围太窄，我们希望在此基础上获取一系列有应用价值的公式，实现资源利用和可持续发展战略.
3.有了两角差的余弦公式，自然想得到两角差的正弦、正切公式，以及两角和的正弦、余弦、正切公式，对此，我们将逐个进行探究，让希望成为现实.
探究（一）：两角和与差的基本三角公式
思考1：注意到α＋β＝α―(―β)，结合两角差的余弦公式及诱导公式，cos(α＋β)等于什么？
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.
思考2：上述公式就是两角和的余弦公式，记作 ，该公式有什么特点？如何记忆？
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
思考4：上述公式就是两角和与差的正弦公式，分别记作 ， ，这两个公式有什么特点？如何记忆？
思考3： 诱导公式 可以实
现由正弦到余弦的转化，结合 和 你能推导出sin(α＋β)，sin(α－β)分别等于什么吗？
思考6：上述公式就是两角和与差的正切公式，分别记作 ， ，这两个公式有什么特点？如何记忆？公式成立的条件是什么？
思考5：正切函数与正弦、余弦函数之间存在商数关系，从 、 出发，tan(α＋β)、tan(α－β)分别与tanα、tanβ有什么关系
思考7：为方便起见，公式 称为和角公式，公式 称为差角公式.怎样理解这6个公式的逻辑联系？
C(α－β)
C(α＋β)
S(α－β)
S(α＋β)
T(α＋β)
T(α－β)
探究（二）：两角和与差三角公式的变通
思考1：若cosα＋cosβ＝a，sinα－sinβ＝b，则cos(α＋β)等于什么？
思考2：若sinα＋cosβ＝a，cosα＋sinβ＝b，则sin(α＋β)等于什么？
思考4：在△ABC中，tanA，tanB，tanC三者有什么关系？
思考5：sinx＋cosx能用一个三角函数表示吗？
思考3：根据公式 ，tanα＋tanβ可变形为什么？
tanα＋tanβ=tan(α+β)(1- tanαtanβ)
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
理论迁移
例1 已知 ，α是第四象限角，
求 ， ， 的值.
例3 求证： .
例2 求下列各式的值：
（1）cos75°；
（2 )sin20°cos50°-sin70°cos40°；
（3） ；
（4）tan17°＋tan28°+tan17°tan28°
小结作业
1.两角差的余弦公式 是两角和与差的三角系列公式的基础，明确了各公式的内在联系，就自然掌握了公式的形成过程.
2.公式 与 ， 与 与 的结构相同，但运算符号不同，必须准确记忆，防止混淆.
3.公式都是有灵性的，应用时不能生搬硬套，要注意整体代换和适当变形.
作业：
P131练习：3，4，5，6.(共8张PPT)
第四课时
三角函数中的三角变换问题 （习题课）
3.2 简单的三角恒等变换
例1 已知函数
（1）求f(x)的最小正周期和单调递减区 间；
（2）当 时，求f(x)的最大值和 最小值.
T=π
例2 已知函数f(x)＝sin(x＋α)＋ cos(x－α)为偶函数，求α的值.
例3 已知函数
（1）若对任意x∈R都有 成立， 求a的取值范围；
（2）若 ，求关于x的不等式 的解集.
例4 已知向量a ，
b ，其中 ，求函
数f(x)＝a·b－|a＋b|的值域.
例5 已知函数
若函数y=f(x)的图象关于直线 对称，求a的最小值.
例6 如图，正方形ABCD的边长为1 ，P、Q分别为边AB，DA上的点，当△APQ的周长为2时，求∠PCQ的大小.
A
B
C
D
P
Q
45°
作业：
P147复习参考题A组：
10,11,12,13.(共21张PPT)
3.1 两角和与差的正弦、余弦 和正切公式
3.1.1 两角差的余弦公式
问题提出
1.在三角函数中，我们学习了哪些基本的三角函数公式？
2.对于30°，45°，60°等特殊角的三角函数值可以直接写出，利用诱导公式还可进一步求出150°，210°，315°等角的三角函数值.我们希望再引进一些公式，能够求更多的非特殊角的三角函数值，同时也为三角恒等变换提供理论依据.
3.若已知α，β的三角函数值，那么cos(α－β)的值是否确定？它与α，β的三角函数值有什么关系？这是我们需要探索的问题.
探究（一）：两角差的余弦公式
思考1：设α，β为两个任意角, 你能判断cos(α－β)＝cosα－cosβ恒成立吗
cos(30°－30°)≠cos30°－cos30°
sin60°
sin120°
cos60°
cos120°
cos(120°－60°)
sin30°
sin60°
cos30°
cos60°
cos(60°－30°)
思考2：我们设想cos(α－β)的值与α，β的三角函数值有一定关系，观察下表中的数据，你有什么发现？
思考3：一般地，你猜想cos(α－β)等于什么？
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
思考4：如图，设α，β为锐角，且α＞β，角α的终边与单位圆的交点为P1, ∠P1OP＝β，那么cos(α－β)表示哪条线段长？
M
P
P1
O
x
y
cos(α－β)=OM
思考5：如何用线段分别表示sinβ和cosβ？
P
P1
O
x
y
A
sinβ
cosβ
思考6：cosαcosβ＝OAcosα，它表示哪条线段长？
sinαsinβ＝PAsinα，它表示哪条线段长？
P
P1
O
x
y
A
sinαsinβ
cosαcosβ
B
C
思考7：利用OM＝OB＋BM＝OB＋CP可得什么结论？
sinαsinβ
cosαcosβ
P
P1
O
x
y
A
B
C
M
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
x
y
P
P1
M
B
O
A
C
+
1
1
思考8：上述推理能说明对任意角α，β，都有
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ成立吗？
思考9：根据cosαcosβ＋sinαsinβ的结构特征，你能联想到一个相关计算原理吗？
思考10：如图，设角α，β的终边与单位圆的交点分别为A、B，则向量 、
的坐标分别是什么？其数量积是什么？
B
O
A
x
y
α
β
=(cosα,sinα)
=(cosβ,sinβ)
思考11：向量与的夹角θ与α、β有什么关系？根据数量积定义， 等于什么？由此可得什么结论？
α＝2kπ＋β＋θ或β＝2kπ＋α＋θ
B
O
A
x
y
α
β
θ
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
思考12：公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ称为差角的余弦公式，记作 ，该公式有什么特点？如何记忆？
探究（二）：两角差的余弦公式的变通
思考1：若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cosα的值？
cosα＝cos[(α＋β)－β]＝ cos(α＋β) cosβ＋sin(α＋β)sinβ.
思考2：利用α－(α－β)＝β可得cosβ等于什么？
cosβ＝cos[(α－β)－α]＝ cos(α－β)cosα＋sin(α－β)sinα.
思考3：若cosα＋cosβ＝a，sinα＋sinβ＝b，则cos(α－β)等于什么？
思考4：若cosα－cosβ＝a，sinα－sinβ＝b，则cos(α－β)等于什么？
例1 利用余弦公式求cos15°的值.
例2 已知
β是第三象限角,求cos(α－β)的值.
理论迁移
例3 已知
且 , 求 的值.
小结作业
1.在差角的余弦公式的形成过程中，蕴涵着丰富的数学思想、方法和技巧，如数形结合，化归转换、归纳、猜想、构造、换元、向量等，我们要深刻理解和领会.
2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角的余弦（或正弦）值时, 要注意该角所在的象限，从而确定该角的三角函数值符号.
作业：
P127练习：1，2，3，4.
3.在差角的余弦公式中，α，β既可以是单角，也可以是复角，运用时要注意角的变换，如，2β＝(α＋β)－(α－β) 等. 同时，公式的应用具有灵活性，解题时要注意正向、逆向和变式形式的选择.(共13张PPT)
3.1.3 二倍角的正弦、 余弦、正切公式
问题提出
1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式分别是什么？
2. 是特殊角， 与 是倍半关系，利用上述公式可以求 的三角函数值.如果能推导一组反映倍半关系的三角函数公式，将是很有实际意义的.
探究（一）：二倍角基本公式
思考1：两角和的正弦、余弦和正切公式都是恒等式，特别地，当β＝α时，这三个公式分别变为什么？
sin2α＝2sinαcosα；
.
cos2α＝cos2α－sin2α；
思考2：上述公式称为倍角公式，分别记作S2α，C2α，T2α，利用平方关系，二倍角的余弦公式还可作哪些变形？
cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α
思考3：在二倍角的正弦、余弦和正切公式中，角α的取值范围分别如何？
思考4：如何推导sin3α，cos3α与α的三角函数关系？
探究（二）：二倍角公式的变通
思考1：1＋sin2α可化为什么？
1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2
思考2：根据二倍角的余弦公式，sinα，cosα与cos2α的关系分别如何？
思考3：tanα与sin2α，cos2α之间是否存在某种关系？
思考4：sin2α，cos2α能否分别用tanα表示？
理论迁移
例1 已知 ，
求 ， ， 的值.
例2 在△ABC中,
求 的值.
例3 化简
tanx
例4 已知 ，且α∈(0，π)，求cos2α的值.
小结作业
1.角的倍半关系是相对而言的, 2α是α的两倍, 4α是2α的两倍, 是 的两倍等等，这里蕴含着换元的思想.
2.二倍角公式及其变形各有不同的特点和作用，解题时要注意公式的灵活运用，在求值问题中，要注意寻找已知与未知的联结点.
3.二倍角公式有许多变形，不要求都记忆，需要时可直接推导.
作业：
P135练习：2，3，4，5.(共5张PPT)
3.2 简单的三角恒等变换
第二课时
含未知角的求值问题（习题课）
例1 已知 ,且
求 值.
例2 已知 ，且
,求 值.
例3 已知 ，求
的值.
例4 已知 ,
求 值.
例5 已知 tanα＝2，且sinβ＝sinαcos(α＋β)，求tan(α＋β)的值.
4
例6 已知 ，
，求
的值.
作业：
P146复习参考题A组：
1，2，3，6，7.
