教科版（2019） 必修 第二册 全册综合重难点强化练(三) 动能定理和机械能守恒的综合应用（含答案）

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重难点强化练(三) 动能定理和机械能守恒的综合应用
1．如图1所示，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高；质量为m的质点自轨道端点P由静止开始滑下，滑到最低点Q时，对轨道的正压力为2 mg，重力加速度大小为g。质点自P滑到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为(　　)
图1
A.mgR　　　　　　 B.mgR
C.mgR D.mgR
2．(多选)如图2所示，半径为R的光滑圆弧槽固定在小车上，有一小球静止在圆弧槽的最低点。小车和小球一起以速度v向右匀速运动。当小车遇到障碍物突然停止后，小球上升的高度可能是(　　)
图2
A．等于 B．大于
C．小于 D．与小车的速度v有关
3.如图3所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环，圆环与竖直放置的轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点，弹簧处于原长时，圆环高度为h。让圆环沿杆滑下，滑到杆的底端时速度为零。则在圆环下滑到底端的过程中(杆与水平方向夹角为30°)(　　)
图3
A．圆环机械能守恒
B．弹簧的弹性势能先减小后增大
C．弹簧的弹性势能变化了mgh
D．弹簧与光滑杆垂直时圆环动能最大
4.质量均为m、半径均为R的两个完全相同的小球A、B，在水平轨道上以某一初速度向右冲上倾角为θ的倾斜轨道，两小球运动过程中始终接触。若两轨道通过一小段圆弧平滑连接，不计摩擦阻力及弯道处的能量损失，则两小球运动到最高点的过程中，A球对B球所做的功(　　)
图4
A．0 B．mgRsin θ
C．2mgRsin θ D．2mgR
5.如图5所示，一辆汽车通过图中的细绳拉起井中质量为m的重物。开始时汽车在A点，绳子已拉紧且竖直，左侧绳长为H。汽车加速向左运动，沿水平方向从A经过B驶向C，且A、B间的距离也为H，汽车过B点时的速度为v0。求汽车由A移动到B的过程中，绳的拉力对重物做的功。设绳和滑轮的质量及摩擦力不计，滑轮、汽车的大小都不计。
图5
6．如图6甲所示，一质量为m＝1 kg的物块静止在粗糙水平面上的A点，从t＝0时刻开始，物块受到按如图乙所示规律变化的水平力F作用并向右运动，第3 s末物块运动到B点时速度刚好为0，第5 s末物块刚好回到A点，已知物块与粗糙水平面之间的动摩擦因数μ＝0.2 (g取10 m/s2)，求：
图6
(1)A与B间的距离；
(2)水平力F在5 s内对物块所做的功。
7.如图7所示，竖直平面内的圆弧形光滑管道半径略大于小球半径，管道中心线到圆心的距离为R，A端与圆心O等高，AD为水平面，B点在O的正下方，小球自A点正上方由静止释放，自由下落至A点时进入管道，从上端口飞出后落在C点，当小球到达B点时，管壁对小球的弹力大小是小球重力大小的9倍。求：
图7
(1)释放点距A点的竖直高度；
(2)落点C与A点的水平距离。
8.如图8所示，半径为R＝1.5 m的光滑圆弧支架竖直放置，圆心角θ＝60°，支架的底部CD离地面足够高，圆心O在C点的正上方，右侧边缘P点固定一个光滑小轮，可视为质点的小球A、B分别系在足够长的跨过小轮的轻绳两端，两球的质量分别为mA＝0.3 kg、mB＝0.1 kg。将A球从紧靠小轮处由静止释放，求：
图8
(1)当A球运动到C点时，两球组成系统的重力势能的变化量；
(2)A球运动到C点时的速度大小；
(3)若A球运动到C点时轻绳突然断裂，从此时开始，需经过多少时间两球重力功率的大小相等？
9.如图9所示，倾角为θ的光滑斜面上放有两个质量均为m的小球A和B，两球之间用一根长为L的轻杆相连，下面的小球B离斜面底端的高度为h。两球从静止开始下滑，不计球与水平面碰撞时的机械能损失，且地面光滑，求：
图9
(1)两球在光滑水平面上运动时的速度大小；
(2)此过程中杆对A球所做的功。
10．(2017·江苏高考)如图10所示，两个半圆柱A、B紧靠着静置于水平地面上，其上有一光滑圆柱C，三者半径均为R。C的质量为m，A、B的质量都为，与地面间的动摩擦因数均为μ。现用水平向右的力拉A，使A缓慢移动，直至C恰好降到地面。整个过程中B保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。求：
图10
(1)未拉A时，C受到B作用力的大小F；
(2)动摩擦因数的最小值μmin；
(3)A移动的整个过程中，拉力做的功W。
重难点强化练(三) 动能定理和机械能守恒的综合应用
1．如图1所示，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高；质量为m的质点自轨道端点P由静止开始滑下，滑到最低点Q时，对轨道的正压力为2 mg，重力加速度大小为g。质点自P滑到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为(　　)
图1
A.mgR　　　　　　 B.mgR
C.mgR D.mgR
解析：选C　在Q点，N－mg＝，所以v＝；由P到Q根据动能定理得mgR－Wf＝mv2，
解得Wf＝mgR，故C正确。
2．(多选)如图2所示，半径为R的光滑圆弧槽固定在小车上，有一小球静止在圆弧槽的最低点。小车和小球一起以速度v向右匀速运动。当小车遇到障碍物突然停止后，小球上升的高度可能是(　　)
图2
A．等于 B．大于
C．小于 D．与小车的速度v有关
解析：选ACD　小球冲上圆弧槽，则有两种可能，一是速度较小，滑到某处小球速度为0，根据动能定理有mv2＝mgh，解得h＝；另一可能是速度较大，小球滑出弧面做斜抛运动，到最高点还有水平速度，则此时小球所能达到的最大高度要小于。故A、C、D正确，B错误。
3.如图3所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环，圆环与竖直放置的轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点，弹簧处于原长时，圆环高度为h。让圆环沿杆滑下，滑到杆的底端时速度为零。则在圆环下滑到底端的过程中(杆与水平方向夹角为30°)(　　)
图3
A．圆环机械能守恒
B．弹簧的弹性势能先减小后增大
C．弹簧的弹性势能变化了mgh
D．弹簧与光滑杆垂直时圆环动能最大
解析：选C　圆环与弹簧构成的系统机械能守恒，圆环机械能不守恒，A错误；弹簧形变量先增大后减小然后再增大，所以弹性势能先增大后减小再增大，B错误；由于圆环与弹簧构成的系统机械能守恒，圆环的机械能减少了mgh，所以弹簧的弹性势能增加mgh，C正确；弹簧与光滑杆垂直时，圆环所受合力沿杆向下，圆环具有与速度同向的加速度，所以做加速运动，D错误。
4.质量均为m、半径均为R的两个完全相同的小球A、B，在水平轨道上以某一初速度向右冲上倾角为θ的倾斜轨道，两小球运动过程中始终接触。若两轨道通过一小段圆弧平滑连接，不计摩擦阻力及弯道处的能量损失，则两小球运动到最高点的过程中，A球对B球所做的功(　　)
图4
A．0 B．mgRsin θ
C．2mgRsin θ D．2mgR
解析：选B　设A球的重心在斜面上上升的高度为h。两球的初速度大小为v。对AB整体，根据机械能守恒定律得
·2mv2＝mgh＋mg(h＋2Rsin θ)
再对B，由动能定理得
W－mg(h＋2Rsin θ)＝0－mv2
联立解得A球对B球所做的功W＝mgRsin θ，
故选B。
5.如图5所示，一辆汽车通过图中的细绳拉起井中质量为m的重物。开始时汽车在A点，绳子已拉紧且竖直，左侧绳长为H。汽车加速向左运动，沿水平方向从A经过B驶向C，且A、B间的距离也为H，汽车过B点时的速度为v0。求汽车由A移动到B的过程中，绳的拉力对重物做的功。设绳和滑轮的质量及摩擦力不计，滑轮、汽车的大小都不计。
图5
解析：将汽车到达B点时的速度v0分解如图所示，汽车到达B点时重物的速度与同一时刻沿绳方向的速度分量v1相等，即重物速度v1＝v0 cos θ
重物上升的高度h＝－H，设拉力对重物做的功为WF，
由动能定理得WF－mgh＝mv12
拉力对重物做的功WF＝mg＋m(v0 cos θ)2
＝(－1)mgH＋mv02。
答案：(－1)mgH＋mv02
6．如图6甲所示，一质量为m＝1 kg的物块静止在粗糙水平面上的A点，从t＝0时刻开始，物块受到按如图乙所示规律变化的水平力F作用并向右运动，第3 s末物块运动到B点时速度刚好为0，第5 s末物块刚好回到A点，已知物块与粗糙水平面之间的动摩擦因数μ＝0.2 (g取10 m/s2)，求：
图6
(1)A与B间的距离；
(2)水平力F在5 s内对物块所做的功。
解析：(1)根据题目条件及题图乙可知，物块在从B返回A的过程中，在恒力作用下做匀加速直线运动，即
F－μmg＝ma
由运动学公式知：xAB＝at2
代入数据解得：xAB＝4 m。
(2)物块在前3 s内动能改变量为零，由动能定理得：
W1－Wf＝0，即W1－μmg·xAB＝0
则前3 s内水平力F做的功为W1＝8 J
根据功的定义式W＝Fx得，水平力F在第3～5 s时间内所做的功为W2＝F·xAB＝16 J
则水平力F在5 s内对物块所做的功为W＝W1＋W2＝24 J。
答案：(1)4 m　(2)24 J
7.如图7所示，竖直平面内的圆弧形光滑管道半径略大于小球半径，管道中心线到圆心的距离为R，A端与圆心O等高，AD为水平面，B点在O的正下方，小球自A点正上方由静止释放，自由下落至A点时进入管道，从上端口飞出后落在C点，当小球到达B点时，管壁对小球的弹力大小是小球重力大小的9倍。求：
图7
(1)释放点距A点的竖直高度；
(2)落点C与A点的水平距离。
解析：(1)设小球到达B点的速度为v1，因为到达B点时，管壁对小球的弹力大小是小球重力大小的9倍，所以有9mg－mg＝
设B点为重力势能的零点，由机械能守恒定律得mg(h＋R)＝mv12
解得h＝3R。
(2)设小球到达最高点的速度为v2，落点C与A点的水平距离为x。由机械能守恒定律得mv12＝mv22＋mg·2R
由平抛运动的规律得R＝gt2，R＋x＝v2t
解得x＝(2－1)R。
答案：(1)3R　(2)(2－1)R
8.如图8所示，半径为R＝1.5 m的光滑圆弧支架竖直放置，圆心角θ＝60°，支架的底部CD离地面足够高，圆心O在C点的正上方，右侧边缘P点固定一个光滑小轮，可视为质点的小球A、B分别系在足够长的跨过小轮的轻绳两端，两球的质量分别为mA＝0.3 kg、mB＝0.1 kg。将A球从紧靠小轮处由静止释放，求：
图8
(1)当A球运动到C点时，两球组成系统的重力势能的变化量；
(2)A球运动到C点时的速度大小；
(3)若A球运动到C点时轻绳突然断裂，从此时开始，需经过多少时间两球重力功率的大小相等？
解析：(1)根据重力做功与重力势能变化的关系得：
A球重力势能变化量为：ΔEpA＝mAghA＝－0.3×10×1.5×(1－cos 60°) J＝－2.25 J，
B球重力势能变化量为：ΔEpB＝mBgR＝0.1×10×1.5 J＝1.5 J，
两球组成系统的重力势能的变化量为：ΔEp＝ΔEpA＋ΔEpB＝－0.75 J，
即系统重力势能减少0.75 J。
(2)系统机械能守恒：mAvA2＋mBvB2＋ΔEp＝0，
根据几何关系得：vAcos 30°＝vB，
联立解得：vA＝2 m/s。
(3)轻绳断裂后，A球平抛，B球竖直上抛，B球上抛初速度为：vB＝vAcos 30°＝ m/s，
设经过时间t两球重力功率大小相等，则有：mAg·(gt)＝mBg·|(vB－gt)|，
解得：t＝ s。
答案：(1)减少0.75 J　(2)2 m/s 　(3) s
9.如图9所示，倾角为θ的光滑斜面上放有两个质量均为m的小球A和B，两球之间用一根长为L的轻杆相连，下面的小球B离斜面底端的高度为h。两球从静止开始下滑，不计球与水平面碰撞时的机械能损失，且地面光滑，求：
图9
(1)两球在光滑水平面上运动时的速度大小；
(2)此过程中杆对A球所做的功。
解析：(1)由于不计摩擦及碰撞时的机械能损失，因此两球组成的系统机械能守恒。两球在光滑水平面上运动时的速度大小相等，设为v，根据机械能守恒定律有：
mg(2h＋Lsin θ)＝2·mv2
解得：v＝。
(2)因两球在光滑水平面上运动时的速度v比B从h处自由滑下的速度大，增加的动能就是杆对B做正功的结果。B增加的动能为：
ΔEkB＝mv2－mgh＝mgLsin θ。
因系统的机械能守恒，所以杆对B球做的功与杆对A球做的功的数值应该相等，杆对B球做正功，对A做负功。
所以杆对A球做的功为：
W＝－mgLsin θ。
答案：(1)　(2)－mgLsin θ
10．(2017·江苏高考)如图10所示，两个半圆柱A、B紧靠着静置于水平地面上，其上有一光滑圆柱C，三者半径均为R。C的质量为m，A、B的质量都为，与地面间的动摩擦因数均为μ。现用水平向右的力拉A，使A缓慢移动，直至C恰好降到地面。整个过程中B保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。求：
图10
(1)未拉A时，C受到B作用力的大小F；
(2)动摩擦因数的最小值μmin；
(3)A移动的整个过程中，拉力做的功W。
解析：
(1)对C受力分析，如图所示：
根据平衡条件有
2Fcos 30°＝mg
解得F＝mg。
(2)C恰好降到地面时，B受C压力的水平分力最大Fxmax＝mg
B受地面的摩擦力f＝μmg
根据题意，B保持静止，
则有fmin＝Fxmax，解得μmin＝。
(3)C下降的高度h＝(－1)R
A的位移x＝2(－1)R
摩擦力做功的大小Wf＝fx＝2(－1)μmgR
根据动能定理W－Wf＋mgh＝0－0
解得W＝(2μ－1)(－1)mgR。
答案：(1)mg　(2)　(3)(2μ－1)(－1)mgR