教科版（2019） 必修 第二册 第三章 万有引力定律 重难点强化练(二) 万有引力定律的应用（含答案）

PAGE
第 1 页 共 6 页
重难点强化练(二) 万有引力定律的应用
1.如图1所示，某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球绕地球运转半径的，设月球绕地球运动的周期为27天，则此卫星的运转周期大约是(　　)
图1
A.天　　　　　　　　 B.天
C．1天 D．9天
2．卫星电话在抢险救灾中能发挥重要作用。第一代、第二代海事卫星只使用静止轨道卫星，不能覆盖地球上的高纬度地区。而第三代海事卫星采用同步和中轨道卫星结合的方案，解决了覆盖全球的问题。它由4颗同步卫星与12颗中轨道卫星构成。中轨道卫星高度约为地球半径的2倍，分布在几个轨道平面上(与赤道平面有一定的夹角)。地球表面处的重力加速度为g，则中轨道卫星处的重力加速度约为(　　)
A. B.
C．4g D．9g
3．人造卫星在太空绕地球运行中，若天线偶然折断，天线将(　　)
A．继续和卫星一起沿轨道运行
B．做平抛运动，落向地球
C．由于惯性，沿轨道切线方向做匀速直线运动，远离地球
D．做自由落体运动，落向地球
4. (多选)某行星绕太阳沿椭圆轨道运行，如图2所示，在这颗行星的轨道上有a、b、c、d四个对称点，若行星运动周期为T，则该行星(　　)
图2
A．从a到b的运动时间等于从c到d的运动时间
B．从d经a到b的运动时间等于从b经c到d的运动时间
C．a到b的时间tab<
D．c到d的时间tcd>
5．恒星演化发展到一定阶段，可能成为恒星世界的“侏儒”——中子星。中子星的半径较小，一般在7～20 km，但它的密度大得惊人。若某中子星的半径为10 km，密度为1.2×1017kg/m3，那么该中子星上的第一宇宙速度约为(　　)
A．7.9 km/s B．16.7 km/s
C．2.9×104 km/s D．5.8×104 km/s
6．(2017·浙江4月学考)如图3所示，设行星绕太阳的运动是匀速圆周运动，金星自身的半径是火星的n倍，质量为火星的k倍。不考虑行星自转的影响，则(　　)
图3
A．金星表面的重力加速度是火星的倍
B．金星的“第一宇宙速度”是火星的 倍
C．金星绕太阳运动的加速度比火星小
D．金星绕太阳运动的周期比火星大
7．(2018·全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(　　)
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
8．登上火星是人类的梦想。“嫦娥之父”欧阳自远透露：中国计划于2020年登陆火星。地球和火星公转视为匀速圆周运动，忽略行星自转影响。根据下表，火星和地球相比(　　)
行星 半径/m 质量/kg 轨道半径/m
地球 6.4×106 6.0×1024 1.5×1011
火星 3.4×106 6.4×1023 2.3×1011
A.火星的公转周期较小
B．火星做圆周运动的加速度较小
C．火星表面的重力加速度较大
D．火星的第一宇宙速度较大
9．假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为(　　)
A．1－ B．1＋
C.2 D.2
10．中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期为T＝ s。
问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定，不致因自转而瓦解？计算时星体可视为均匀球体。(引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2)
11．甲、乙两颗人造地球卫星在同一轨道平面上的不同高度处同向运行，甲距地面高度为地球半径的0.5倍，乙距地面高度为地球半径的5倍，两卫星在某一时刻正好位于地球表面某处的正上空，试求：
(1)两卫星运行的速度之比；
(2)乙卫星至少经过多少周期时，两卫星间的距离达到最大？
12．宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，已观测到的稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种形式是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运动；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，设每个星体的质量均为m。
(1)试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。
(2)假设两种形式下星体的运动周期相同，则第二种形式下星体之间的距离应为多少？
重难点强化练(二) 万有引力定律的应用
1.如图1所示，某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球绕地球运转半径的，设月球绕地球运动的周期为27天，则此卫星的运转周期大约是(　　)
图1
A.天　　　　　　　　 B.天
C．1天 D．9天
解析：选C　由于r卫＝r月，T月＝27天，由开普勒第三定律＝，可得T卫＝1天，故选项C正确。
2．卫星电话在抢险救灾中能发挥重要作用。第一代、第二代海事卫星只使用静止轨道卫星，不能覆盖地球上的高纬度地区。而第三代海事卫星采用同步和中轨道卫星结合的方案，解决了覆盖全球的问题。它由4颗同步卫星与12颗中轨道卫星构成。中轨道卫星高度约为地球半径的2倍，分布在几个轨道平面上(与赤道平面有一定的夹角)。地球表面处的重力加速度为g，则中轨道卫星处的重力加速度约为(　　)
A. B.
C．4g D．9g
解析：选B　由题意可知中轨道卫星的轨道半径是地球半径的3倍，设地球半径为R，则中轨道卫星的轨道半径为3R，在地球表面有：G＝mg
对中轨道卫星有：G＝ma
解得：a＝，故选B。
3．人造卫星在太空绕地球运行中，若天线偶然折断，天线将(　　)
A．继续和卫星一起沿轨道运行
B．做平抛运动，落向地球
C．由于惯性，沿轨道切线方向做匀速直线运动，远离地球
D．做自由落体运动，落向地球
解析：选A　当地球对卫星的万有引力提供向心力时，人造卫星绕地球做匀速圆周运动，由：G＝m得，v＝ 。卫星的天线偶然折断了，天线的线速度不变，其受到的万有引力恰好为天线提供绕地球做圆周运动的向心力。所以天线继续和卫星一起沿轨道做匀速圆周运动。故A正确，B、C、D错误。
4. (多选)某行星绕太阳沿椭圆轨道运行，如图2所示，在这颗行星的轨道上有a、b、c、d四个对称点，若行星运动周期为T，则该行星(　　)
图2
A．从a到b的运动时间等于从c到d的运动时间
B．从d经a到b的运动时间等于从b经c到d的运动时间
C．a到b的时间tab<
D．c到d的时间tcd>
解析：选CD　根据开普勒第二定律知行星在近日点速度最大，在远日点速度最小。行星由a到b运动时的平均速度大于由c到d运动时的平均速度，而弧长ab等于弧长cd，故A错误；同理可知B错误；在整个椭圆轨道上tab＝tda<，tcd＝tbc>，故C、D正确。
5．恒星演化发展到一定阶段，可能成为恒星世界的“侏儒”——中子星。中子星的半径较小，一般在7～20 km，但它的密度大得惊人。若某中子星的半径为10 km，密度为1.2×1017kg/m3，那么该中子星上的第一宇宙速度约为(　　)
A．7.9 km/s B．16.7 km/s
C．2.9×104 km/s D．5.8×104 km/s
解析：选D　中子星上的第一宇宙速度即为它表面处的飞行器的环绕速度。飞行器的轨道半径近似认为是该中子星的半径，且中子星对飞行器的万有引力充当向心力，由G＝m，得v＝ ，又M＝ρV＝ρ，得v＝r＝1×104× m/s＝5.8×107 m/s＝5.8×104 km/s。
6．(2017·浙江4月学考)如图3所示，设行星绕太阳的运动是匀速圆周运动，金星自身的半径是火星的n倍，质量为火星的k倍。不考虑行星自转的影响，则(　　)
图3
A．金星表面的重力加速度是火星的倍
B．金星的“第一宇宙速度”是火星的 倍
C．金星绕太阳运动的加速度比火星小
D．金星绕太阳运动的周期比火星大
解析：选B　由G＝mg得g＝，可知＝，选项A错；由G＝m得v＝ ，可知＝ ，选项B对；由G＝ma得a＝，可知距离越远，加速度越小，而＝c，可知越远周期越大，所以选项C、D均错。
7．(2018·全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(　　)
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
解析：选C　脉冲星自转，边缘物体m恰对星体无压力时万有引力提供向心力，则有G＝mr，又M＝ρ·πr3，整理得密度ρ＝＝ kg/m3≈5.2×1015 kg/m3。
8．登上火星是人类的梦想。“嫦娥之父”欧阳自远透露：中国计划于2020年登陆火星。地球和火星公转视为匀速圆周运动，忽略行星自转影响。根据下表，火星和地球相比(　　)
行星 半径/m 质量/kg 轨道半径/m
地球 6.4×106 6.0×1024 1.5×1011
火星 3.4×106 6.4×1023 2.3×1011
A.火星的公转周期较小
B．火星做圆周运动的加速度较小
C．火星表面的重力加速度较大
D．火星的第一宇宙速度较大
解析：选B　火星和地球都绕太阳做圆周运动，万有引力提供向心力，由＝mr＝ma知，因r火＞r地，而＝，故T火＞T地，选项A错误；向心加速度a＝，则a火＜a地，故选项B正确；地球表面的重力加速度g地＝，火星表面的重力加速度g火＝，代入数据比较知g火＜g地，故选项C错误；地球和火星上的第一宇宙速度：v地＝ ，v火＝ ，v地＞v火，故选项D错误。
9．假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为(　　)
A．1－ B．1＋
C.2 D.2
解析：选A　令地球的密度为ρ，则在地球表面，物体的重力和地球对物体的万有引力大小相等，有：g＝G，由于地球的质量为：M＝ρπR3，所以重力加速度的表达式可写成：
g＝＝G＝GρπR。
根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，在深度为d的井底，物体受到地球的万有引力即为半径等于(R－d)的球体在其表面产生的万有引力，故井底的重力加速度g′＝Gρπ(R－d)，所以有＝＝＝1－，故选A。
10．中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期为T＝ s。
问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定，不致因自转而瓦解？计算时星体可视为均匀球体。(引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2)
解析：考虑中子星赤道处一小块物体，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体一起旋转所需的向心力时，中子星才不会瓦解。设中子星的密度为ρ，质量为M，半径为R，自转角速度为ω，位于赤道处的小块物体质量为m，则有＝mω2R，ω＝，M＝πR3ρ，由以上各式得ρ＝，代入数据解得ρ≈1.27×1014 kg/m3。
答案：1.27×1014 kg/m3
11．甲、乙两颗人造地球卫星在同一轨道平面上的不同高度处同向运行，甲距地面高度为地球半径的0.5倍，乙距地面高度为地球半径的5倍，两卫星在某一时刻正好位于地球表面某处的正上空，试求：
(1)两卫星运行的速度之比；
(2)乙卫星至少经过多少周期时，两卫星间的距离达到最大？
解析：(1)卫星的向心力由万有引力提供，＝，
得：v＝
所以：＝＝ ＝。
(2)卫星的向心力由万有引力提供：＝m
得：T＝
所以：＝＝
又因为卫星间的距离第一次最大时，它们转过的角度差为π，可得：t－t＝π
解得：t＝。
答案：(1)2∶1　(2)
12．宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，已观测到的稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种形式是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运动；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，设每个星体的质量均为m。
(1)试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。
(2)假设两种形式下星体的运动周期相同，则第二种形式下星体之间的距离应为多少？
解析：(1)对于第一种运动情况，以某个运动星体为研究对象，受力分析如图甲所示，根据牛顿第二定律和万有引力定律有
F1＝，F2＝
F1＋F2＝　①
运动星体的线速度v＝　②
设周期为T，则有T＝　③
T＝4π 。　④
(2)设第二种形式星体之间的距离为r，则三个星体做圆周运动的半径为
R′＝　⑤
由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其他两个星体的万有引力的合力提供，受力分析如图乙所示，由力的合成和牛顿运动定律有
F合＝2cos 30°　⑥
F合＝mR′　⑦
由④⑤⑥⑦式得r＝R。
答案：(1)　4π 　(2)R