教科版（2019） 必修 第二册 全册综合教师用书（含解析）

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第1节曲线运动
　核心素养点击
物理观念 知道曲线运动是一种变速运动
科学思维 会在轨迹上画出速度方向；掌握速度、合外力与轨迹在方向上的关系
科学探究 通过演示实验，探究物体做曲线运动的条件
科学态度与责任 会利用所学知识定性判断生活中曲线运动的轨迹
一、曲线运动及其特点
1．定义
物体运动轨迹是曲线的运动。
2．速度方向
质点在某一位置的速度方向沿曲线在这一点的切线方向。
3．曲线运动是变速运动
做曲线运动的质点，速度方向时刻发生变化，即速度时刻发生变化，因此，曲线运动一定是变速运动。
二、曲线运动的条件
1．实验探究
如图1 1 1所示，沾有印泥的钢珠在水平桌面的纸面上做直线运动，在钢珠旁侧放上磁铁，钢珠受到磁铁对它的侧向吸引力而做曲线运动。
图1 1 1
2．结论
当运动物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一直线上时，物体就做曲线运动。
[澄清微点]
(1)曲线运动的速度方向可能不变。(×)
(2)曲线运动的速度大小和方向一定同时改变。(×)
(3)曲线运动一定是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动。(√)
(4)物体做曲线运动时，合力一定不为零。(√)
(5)物体做曲线运动时，加速度一定不为零。(√)
1．物体做曲线运动时，合力一定是变力吗？
提示：不一定。只要合力方向与速度方向不在同一直线上，物体就做曲线运动。
2．加速度方向和速度方向满足什么关系时，物体做曲线运动？
提示：加速度方向与合力方向相同，所以当加速度方向和速度方向不在一条直线上时，物体做曲线运动。
考点一 对曲线运动的理解
1．曲线运动的速度：曲线运动的速度方向与该时刻运动轨迹曲线上相应点的切线方向相同，速度的方向时刻在发生变化。
2．曲线运动的性质：由于做曲线运动的物体的速度方向时刻在变化，不管速度大小是否变化，因其矢量性，物体的速度时刻在变化，所以曲线运动一定是变速运动。
3．运动的五种类型
轨迹特点 加速度特点 运动性质
直线 加速度为零 匀速直线运动
加速度不变 匀变速直线运动
加速度变化 变加速直线运动
曲线 加速度不变 匀变速曲线运动
加速度变化 变加速曲线运动
[合作共研]
[典例]　翻滚过山车是大型游乐园里比较刺激的一种娱乐项目。如图1 1 2所示，翻滚过山车(可看成质点)从高处冲下，过M点时速度方向如图所示，在圆形轨道内经过A、B、C三点。下列说法正确的是(　　)
图1 1 2
A．过山车做匀速运动
B．过山车做变速运动
C．过山车受到的合力等于零
D．过山车经过A、C两点时的速度方向相同
[思路点拨]　解答本题可按以下思路分析：
→→
[解析]　过山车做曲线运动，其速度方向时刻变化，速度是矢量，故过山车的速度是变化的，即过山车做变速运动，A错，B对；做变速运动的物体具有加速度，由牛顿第二定律可知物体所受合力一定不为零，C错；过山车经过A点时速度方向竖直向上，经过C点时速度方向竖直向下，D错。
[答案]　B
探规寻律　
曲线运动性质的两种判断方法
(1)看物体的合外力。若物体的合外力为恒力，则它做匀变速曲线运动；若物体的合外力为变力，则它做非匀变速曲线运动。
(2)看物体的加速度。若物体的加速度不变，则它做匀变速曲线运动；若物体的加速度变化，则它做非匀变速曲线运动。
[即时应用]
1.做曲线运动的物体，在运动过程中，一定发生变化的物理量是(　　)
A．速率　　　　　　　　 B．速度
C．加速度 D．合力
解析：选B　曲线运动物体的速度方向一定变化，但大小可能变，也可能不变，B正确，A错误；做曲线运动的物体所受合外力一定不为零，一定具有加速度，但合外力、加速度可能不变，也可能变化，故C、D错误。
2.跳水运动是一项难度很大又极具观赏性的运动，我国运动员多次在国际跳水赛上摘金夺银，被誉为跳水“梦之队”，如图1 1 3是一位跳水队员从高台做“反身翻腾二周半”动作时头部的运动轨迹，最后运动员沿竖直方向以速度v入水，整个过程中，有几个位置头部的速度方向与入水时v的方向垂直(　　)
图1 1 3
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
解析：选D　运动员做曲线运动，入水时速度方向竖直向下；由于曲线运动的速度方向为该点轨迹的切线方向，图中共有5个位置，头部的速度方向是水平的，故D正确。
3．如图1 1 4所示为一个做匀变速曲线运动的质点的轨迹示意图，已知在B点时的速度与加速度相互垂直，则下列说法中正确的是(　　)
图1 1 4
A．D点的速率比C点的速率大
B．A点的加速度与速度的夹角小于90°
C．A点的加速度比D点的加速度大
D．从A到D加速度与速度的夹角先增大后减小
解析：选A　质点做匀变速曲线运动，加速度不变，故C错误。由B点速度与加速度相互垂直可知，加速度方向与B点切线垂直且向下，故质点由C到D的过程，加速度方向与速度方向的夹角小于90°，速率增大，A正确。A点的加速度方向与A点的切线，即速度方向的夹角大于90°，B错误。从A到D加速度与速度的夹角一直变小，D错误。
考点二 对曲线运动条件的理解
1．物体做曲线运动的条件
(1)动力学条件：物体所受的合力方向与速度方向不共线。
(2)运动学条件：加速度与速度方向不共线。
2．物体做曲线运动时，关于受力(加速度)的几个关系
(1)合外力与运动轨迹的关系：物体运动时其轨迹总偏向合外力所指的一侧，或者说合外力总指向运动轨迹的凹侧。
(2)合外力与速率变化的关系
①合外力方向与速度方向夹角为锐角时，物体做速率越来越大的曲线运动。
②合外力方向与速度方向夹角为直角时，物体做速率不变的曲线运动。
③合外力方向与速度方向夹角为钝角时，物体做速率越来越小的曲线运动。
[合作共研]
[典例]　如图1 1 5所示，一物体以速度v运动，到达位置A开始受到向前但偏右的(观察者沿物体的运动方向看，下同)合力，到达B时，合力改成与前进方向相同，到达C时，合力又突然改成向前但偏左，最终到达D。以下四图表示物体全程的运动轨迹，正确的是(　　)
图1 1 5
[思路点拨]　合力F一定指向曲线的内侧，按照轨迹的方向，逐步分析即可。
[解析]　轨迹与速度方向相切，而不是与力，故B错误；轨迹往合力方向弯曲，但B点速度偏转不可能超过合力，故C错误；而且B点速度方向也不能发生突变，故D错误；只有A正确。
[答案]　A
探规寻律　
曲线运动的轨迹特点
(1)做曲线运动的物体，运动轨迹不断改变，其改变后的轨迹处在运动方向与合外力方向构成的夹角之间，且偏向合外力所指的一侧。
(2)若物体在恒力作用下做曲线运动，物体的运动轨迹越来越接近力的方向，但不会与力的方向相同。
[即时应用]
1．在越野赛车时，一辆赛车在水平公路上减速转弯，从俯视图中可以看到赛车沿曲线由M向N行驶。下图中分别画出了汽车转弯时所受合力F的四种方向，你认为正确的是(　　)
解析：选C　赛车做的是曲线运动，赛车受到的合力应该指向运动轨迹弯曲的内侧，由于赛车是从M向N运动的，并且速度在减小，所以合力与赛车的速度方向的夹角要大于90°，故C正确。
2．(多选)物体受到几个恒力的作用而处于平衡状态，若再对物体施加一个恒力，则物体可能(　　)
A．静止或做匀速直线运动
B．做匀变速直线运动
C．做变加速曲线运动
D．做匀变速曲线运动
解析：选BD　物体处于平衡状态，则原来几个力的合力一定为零，现受到另一个恒力作用，物体一定做匀变速运动，故选项A错误。若物体原来静止，则现在一定做匀加速直线运动；若物体原来做匀速直线运动，且速度与恒力的方向共线，则现在做匀变速直线运动，故选项B正确。若速度与恒力的方向不在同一直线上，则物体做曲线运动，且因为力是恒力，加速度也是恒定的，因此物体做匀变速曲线运动，D正确，C错误。
3.如图1 1 6所示为一质点在恒力F作用下在xOy平面上从O点运动到B点的轨迹，且在A点时的速度vA与x轴平行，则恒力F的方向可能是(　　)
图1 1 6
A．沿＋x方向　　　 B．沿－x方向
C．沿＋y方向　　　 D．沿－y方向
解析：选D　根据做曲线运动的物体所受合外力指向曲线内侧的特点，质点在O点受力方向可能沿＋x方向或－y方向，而在A点速度方向沿＋x可以推知恒力方向不能沿＋x方向，但可以沿－y方向，所以D项正确。
基础层级——基稳才能楼高
1．(多选)下列说法中正确的是(　　)
A．做曲线运动的物体，速度方向一定变化
B．速度方向发生变化的运动一定是曲线运动
C．速度变化的运动一定是曲线运动
D．做曲线运动的物体一定具有加速度
解析：选AD　做曲线运动的物体，其运动轨迹上某点的切线方向表示速度的方向，切线方向是时刻变化的，故速度方向一定变化，A正确。向空中竖直上抛一小球，小球减速至最高点后又反向做加速运动，小球在运动中速度的方向和大小都发生了改变，但其运动是直线运动，B、C错误。做曲线运动的物体的速度一定是变化的，即Δv≠0，故物体一定具有加速度，D正确。
2．(多选)一质点做匀速直线运动。现对其施加一恒力，且原来作用在质点上的力不发生改变，则(　　 )
A．质点速度的方向总是与该恒力的方向相同
B．质点速度的方向不可能总是与该恒力的方向垂直
C．质点加速度的方向总是与该恒力的方向相同
D．质点单位时间内速率的变化量总是不变
解析：选BC　质点原来做匀速直线运动，说明所受合外力为0，当对其施加一恒力后，恒力的方向与原来运动的速度方向关系不确定，则质点可能做直线运动，也可能做曲线运动，但加速度的方向一定与该恒力的方向相同，选项B、C正确。
3．如图1所示，篮球沿优美的弧线穿过篮筐，图中能正确表示篮球在相应点速度方向的是(　　)
图1
A．v1　　　　　　　　　 B．v2
C．v3 D．v4
解析：选C　依据曲线运动特征可知：物体做曲线运动时，任意时刻的速度方向是曲线上该点的切线方向，所以图中能正确表示篮球在相应点速度方向的只有v3，故C正确。
4．(多选)下列关于力和运动关系的说法中，正确的是(　　)
A．物体做曲线运动，一定受到了力的作用
B．物体做匀速运动，一定没有力作用在物体上
C．物体运动状态变化，一定受到了力的作用
D．物体受到摩擦力作用，运动状态一定会发生改变
解析：选AC　物体做曲线运动，一定受到与速度不在同一直线上的力的作用，A对；匀速运动的物体所受合力为零，并不是不受力的作用，B错；力是改变物体运动状态的原因，C对；受摩擦力作用仍可能处于平衡状态，D错。
5．质点在某一平面内沿曲线由P运动到Q，如果用v、a、F分别表示质点运动过程中的速度、加速度和受到的合外力。则下列选项中可能正确的是(　　)
解析：选D　质点做曲线运动时，速度方向是曲线上这一点的切线方向，选项A错误；质点所受合外力和加速度的方向指向运动轨迹的凹侧，选项B、C错误，只有选项D正确。
6. (多选)如图2所示，小铁球m以初速度v0在光滑的水平面上运动。后来受到磁铁的作用力而做图示的曲线运动到达P点。据图判断磁铁的位置可能在(　　)
图2
A．A点　　　　　　 B．B点
C．C点 D．D点
解析：选BD　小铁球受到磁铁的引力一定指向轨迹的凹侧，故磁铁可能在B、D两点。
7.如图3所示，物体在恒力F的作用下沿曲线从A运动到B，这时突然使它所受外力反向，大小不变，在这样的力作用下，关于物体以后的运动情况，下列说法中正确的是(　　)
图3
A．物体沿曲线Ba运动
B．物体沿直线Bb运动
C．物体沿曲线Bc运动
D．物体沿曲线从B又返回A
解析：选C　根据曲线运动的条件，做曲线运动的物体受到的合力的方向与曲线AB上各点的速度方向(即切线方向)都不在一条直线上，其方向应是由曲线AB上的各点指向曲线弯曲的内侧，如图所示的F1是在A点时恒力F的可能方向之一。当物体运动到B点时，恒力F突然反向后与B点的速度方向仍不在同一条直线上，所以物体继续做曲线运动，而不可能沿直线Bb运动，同时反向后的恒力－F1应指向B点之后的曲线弯曲的内侧，故物体不可能沿曲线Ba运动，也不可能沿原曲线由B返回A，只可能沿曲线Bc运动，因此C正确。
8.如图4所示为某一物体的速度—时间图像(曲线为圆弧)，则由此可知物体是做(　　)
图4
A．曲线运动
B．匀速直线运动
C．匀变速直线运动
D．变减速直线运动
解析：选D　本图像不是物体运动的轨迹，而是物体运动的v t图像。据题图可知，物体运动的速度方向一直为正方向，其大小逐渐减小，斜率逐渐增大，即物体做加速度逐渐增大的变减速直线运动。所以本题的正确选项为D。
能力层级——跳跳摘到桃子
9．物体由静止开始自由下落一小段时间后，突然受一恒定水平向右的风力的影响，但着地前一小段时间风突然停止，则其运动轨迹的情况可能是下列图中的(　　)
解析：选C　第一阶段：开始下落一小段时间内，小球做自由落体运动，其运动轨迹为直线。第二阶段：小球受风力影响，且水平风力和重力的合力F与vA成一夹角，物体开始做匀变速曲线运动。轨迹为如图所示的AB曲线。第三阶段：假设小球运动到B点时风力突然停止，由于小球在B的速度vB的方向沿轨迹的切线方向，则它在重力的作用下将沿曲线BC运动。综上所述，C正确。
10．(多选)在光滑水平面上有一质量为2 kg的物体，受几个共点力作用做匀速直线运动。现突然将与速度方向相反、大小为2 N的力水平旋转90°，则下列关于物体运动情况的叙述中正确的是(　　)
A．物体做速度大小不变的曲线运动
B．物体做加速度为 m/s2的匀变速曲线运动
C．物体做速度越来越大的曲线运动
D．物体做非匀变速曲线运动，其速度越来越大
解析：选BC　物体原来所受合外力为零，当将与速度方向相反、大小为2 N的力水平旋转90°后其受力如图所示，其中F是Fx、Fy的合力，即F＝2 N，且大小、方向都不变，是恒力，故物体的加速度为a＝＝ m/s2＝ m/s2，且恒定。又F与v的夹角θ<90°，所以物体做速度越来越大、加速度恒为 m/s2的匀变速曲线运动。选项B、C正确。
11.如图5所示，物体做圆周运动，在A点物体所受的合外力F既不与速度的方向垂直也不与速度的方向在一条直线上，此时我们可以将F进行正交分解，使一个分力F1与速度v的方向垂直，另一个分力F2与速度方向平行，其中分力F1只改变速度的________，分力F2只改变速度的________。F与v的夹角为α，当α＝0°时，F1＝0，物体做________________运动；α＝90°时，F2＝0，物体的速率__________；α为锐角时，物体运动的速率________。
图5
解析：曲线运动中，物体的合外力可以分解为垂直物体速度的法向分力和与速度共线的切向分力，法向分力只改变速度的方向，切向分力只改变速度的大小，切向分力与速度同向，物体做加速运动，反向则物体做减速运动。
答案：方向　大小　加速直线　不变　增加
12.如图6所示，为一空间探测器的示意图，P1、P2、P3、P4是四个喷气发动机，P1、P3的连线与空间一固定坐标系的x轴平行，P2、P4的连线与y轴平行，每台发动机开动时，都能向探测器提供推力，但不会使探测器转动。开始时，探测器以恒定的速率v0向正x方向平移。
图6
(1)单独分别开动P1、P2、P3、P4，探测器将分别做什么运动？
(2)单独开动P2和P4，探测器的运动有什么不同。
解析：(1)单独开动P1时，力沿－x方向，故探测器做匀减速直线运动；单独开动P3时，探测器做匀加速直线运动；单独开动P2或P4时，探测器做匀变速曲线运动。
(2)单独开动P2时，探测器在坐标系中第Ⅰ象限内做曲线运动，轨迹向上弯曲；单独开动P4，探测器在坐标系第Ⅳ象限内做曲线运动，运动轨迹向下弯曲。
答案：见解析
第2节运动的合成与分解
核心素养点击
物理观念 知道什么是运动的合成与分解；知道合运动与分运动等有关物理量之间的关系
科学思维 熟练使用平行四边形定则进行运动的合成和分解；会确定互成角度的两分运动的合运动的运动性质；会用运动的合成和分解分析小船渡河问题
科学探究 通过实验探究运动的独立性，培养学生分析问题、解决问题的能力
一、位移和速度的合成与分解
1．合运动与分运动
小船渡河时，同时参与了垂直于河岸的运动和沿河岸顺流而下的运动，这两个运动叫分运动，实际的运动叫合运动。
2．位移的合成与分解
(1)位移的合成：由分位移求合位移。
(2)位移的分解：由合位移求分位移。
(3)位移的合成与分解遵循平行四边形定则。
3．速度的合成与分解
(1)合运动与分运动对应的时间是相同的。
(2)速度的合成与分解也遵循平行四边形定则。
二、运动的合成与分解的应用
1．运动的合成与分解
分运动合运动
2．运动的合成与分解的基本法则与意义
(1)基本法则：平行四边形定则。
(2)意义：物体实际参与的曲线运动可转化为两个方向上的直线运动来处理。
[澄清微点]
(1)合运动位移、速度、加速度等于各分运动的位移、速度、加速度的代数和。(×)
(2)合运动位移、速度、加速度与各分运动的位移、速度、加速度间遵循平行四边形定则。(√)
(3)一个物体，同时参与的两个分运动方向必须相互垂直。(×)
(4)合运动的时间一定比分运动的时间长。(×)
(5)合运动和分运动具有等时性，即同时开始、同时结束。(√)
1．有些物体的运动较为复杂，直接研究它的运动很难，甚至无法研究，那么，可以采用什么方法来进行研究？
提示：把物体的运动分解为几个较为简单的运动进行研究。
2．运动的合成与分解为什么都遵循平行四边形定则？
提示：运动的合成与分解其实都是对物体的位移、速度或加速度进行合成与分解，而它们都是矢量，所以运动的合成与分解遵循平行四边形定则。
3．微风吹来，鹅毛大雪正在缓缓降落，为寒冷的冬天增加了一道美丽的风景线，试问雪花在降落时同时参与了哪两个方向上的运动？
图1 2 1
提示：雪花同时参与了竖直向下和水平方向上的两个分运动。
考点一 合运动与分运动的关系
1．合运动与分运动的关系
等时性 各分运动与合运动同时发生，同时结束，经历的时间相同
等效性 各分运动的共同效果与合运动的效果相同
同体性 各分运动与合运动是同一物体的运动
独立性 各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响
2．互成角度的两个直线运动的合成
两直线运动的性质 合运动的性质 说明
两个都是匀速直线运动 一定是匀速直线运动 当v1、v2互成角度时，v合由平行四边形定则求解
两个初速度均为0的匀加速直线运动 一定是匀加速直线运动 合运动的初速度为0，a合由平行四边形定则求解
一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动 一定是匀变速曲线运动 合速度由平行四边形定则求得，合运动的加速度为分运动的加速度
两个匀变速直线运动 匀变速直线运动或者匀变速曲线运动 当合加速度与合初速度共线时，合运动为匀变速直线运动；当合加速度与合初速度不共线时，合运动为匀变速曲线运动
[合作共研]
[典例]　如图1 2 2为一架直升机运送物资，该直升机A用长度足够长的悬索(其重力可忽略)系住一质量m＝50 kg的物资B。直升机A和物资B以v＝10 m/s的速度一起沿水平方向匀速运动，某时刻开始将物资放下，在t＝5 s时间内，物资在竖直方向上移动的距离按y＝2t2(单位：m)的规律变化。求：
(1)在t＝5 s时间内物资位移大小；
(2)在t＝5 s末物资的速度大小。
图1 2 2
[思路点拨]　
(1)物资在水平方向上匀速运动，在竖直方向上加速运动，分别求出水平和竖直方向上的位移的大小，根据平行四边形定则可以求得合位移的大小。
(2)在t＝5 s末物资的速度是物资的合速度的大小，分别求出在水平和竖直方向上的速度，再根据平行四边形定则可以求得合速度的大小。
[解析]　(1)由y＝2t2
可知t＝5 s内
y＝50 m
x＝vt＝50 m
因此s＝＝50 m＝70.7 m。
(2)由y＝2t2
可知：a＝4 m/s2
t＝5 s时，vy＝at＝20 m/s
vx＝v＝10 m/s
v5＝＝10 m/s＝22.4 m/s。
[答案]　(1)70.7 m　(2)22.4 m/s
探规寻律　
(1)利用运动的合成分析问题时，一定要分清分运动和合运动，且各运动的参照物要统一。
(2)运动的分解像力的分解一样，若无约束条件，一个运动可以分解为无数组分运动，但具体分解运动时，常按运动的效果分解或正交分解。
　
[即时应用]
1.如图1 2 3所示，帆板在海面上以速度v朝正西方向运动，帆船以速度v朝正北方向航行，以帆板为参照物(　　)
图1 2 3
A．帆船朝正东方向航行，速度大小为v
B．帆船朝正西方向航行，速度大小为v
C．帆船朝南偏东45°方向航行，速度大小为v
D．帆船朝北偏东45°方向航行，速度大小为v
解析：选D　以帆板为参照物，帆船具有朝正东方向的速度v和朝正北方向的速度v，两速度的合速度大小为v，方向朝北偏东45°，故选项D正确。
2．飞机在航空测量，它的航线要严格地从西到东，如果飞机的速度是80 km/h，风从南面吹来，风的速度是40 km/h，那么，
(1)飞机应朝什么方向飞行？
(2)如果所测地区长度为80 km，所需时间是多少？
解析： (1)由题意可知，因风的影响，若飞机仍沿着从西到东，根据运动的合成可知，会偏向北，为了严格地从西到东，则飞机必须朝东偏南方向为θ角度飞行，
则有：v风＝v机sin θ，解得：sin θ＝＝，则有：θ＝30°。
(2)所测地区长度为80 km，所需时间是t＝ h＝2 h。
答案：(1)飞机应朝东偏南30° 角方向飞行　(2)2 h
考点二 小船渡河问题
小船相对于河岸的运动是小船的实际运动，也是合运动，可分解为小船相对静水的运动和随水下漂的运动两个分运动。此类问题常常讨论以下两个情况：
1．渡河时间最短
若要渡河时间最短，由于水流速度始终沿河道方向，不可能提供指向河对岸的分速度。因此只要使船头垂直于河岸航行即可。由图1 2 4可知，此时t短＝，船渡河的位移s＝，位移方向满足tan θ＝。
图1 2 4
2．渡河位移最短
求解渡河位移最短问题，分为两种情况：
(1)若v水＜v船，最短的位移为河宽d，此时渡河所用时间t＝，船头与上游夹角θ满足v船 cos θ＝v水，v合⊥v水，如图1 2 5所示。
　　　　
图1 2 5　　　　　　　图1 2 6
(2)若v水＞v船，这时无论船头指向什么方向，都无法使船垂直河岸渡河，即最短位移不可能等于河宽d，寻找最短位移的方法是：
如图1 2 6所示，按水流速度和船静水速度大小的比例，先从出发点A开始作矢量v水，再以v水末端为圆心，v船为半径画圆弧，自出发点A向圆弧作切线为船位移最小时的合运动的方向。这时船头与河岸夹角θ满足cos θ＝，最短位移s短＝，即v船⊥v合时位移最短，过河时间t＝。
[合作共研]
[典例]　有一小船要渡过一条宽度d＝180 m的河流，已知河水的流速v1＝2.5 m/s。若船在静水中的速度v2＝5 m/s，求：
(1)欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
[思路点拨]　
(1)渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关，与水流速度无关。
(2)船渡河位移最短值与v船和v水的大小有关。v船>v水时，河宽即为最短位移；v船[解析]　(1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向。
当船头垂直河岸时，如图甲所示。合速度为v，垂直分速度v2＝5 m/s
t＝
v＝
x＝vt
代入数据得t＝36 s，x＝90 m。
(2)欲使船渡河航程最短，应垂直河岸渡河，船头应朝上游与河岸方向成某一夹角α，如图乙所示。
有v2cos α＝v1，得α＝60°
所以当船头指向上游与河岸夹角为60°时航程最短。
x′＝d
t′＝
代入数据得t′＝24 s，x′＝180 m。
[答案]　(1)船头垂直于河岸　36 s　90 m　(2)船头指向上游与河岸夹角为60°　24 s　180 m
探规寻律　
小船能到达正对岸即航程等于河宽是有条件的，那就是v船>v水。可见求最短航程时应先比较v船与v水的大小关系，不要盲目认为最短航程就等于河宽。
[即时应用]
1．(多选)河水的流速随离河岸的距离的变化关系如图1 2 7甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，若要使船以最短时间渡河，则(　　)
图1 2 7
A．船渡河的最短时间是60 s
B．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直
C．船在河水中航行的轨迹是一条直线
D．船在河水中的最大速度是5 m/s
解析：选BD　由题中甲图可知河宽300 m，船头始终与河岸垂直时，船渡河的时间最短，则t＝＝ s＝100 s，A错、B对。由于船沿河向下漂流的速度大小始终在变，故船的实际速度的大小、方向也在时刻发生变化，船在河水中航行的轨迹是曲线，C错。船沿河向下漂流的最大速度为4 m/s，所以船在河水中的最大速度v＝ m/s＝5 m/s，D对。
2.如图1 2 8所示，河宽d＝120 m，设船在静水中的速度为v1，河水的流速为v2，小船从A点出发，在渡河时，船身保持平行移动，若出发时船头指向河对岸的上游B点处，经过10 min，小船恰好到达河正对岸的C点，若出发时船头指向河正对岸的C点，经过8 min小船到达C点下游的D点处，求：
图1 2 8
(1)小船在静水中的速度v1的大小；
(2)河水的流速v2的大小；
(3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离sCD。
解析：(1)小船从A点出发，若船头指向正对岸的C点，则此时过河时间最短，故有v1＝＝ m/s＝0.25 m/s。
(2)设AB与河岸上游成α角，由题意可知，此时恰好到达正对岸的C点，故v1沿河岸方向的分速度大小恰好等于河水的流速v2的大小，即v2＝v1cos α，此时过河时间为t＝，所以sin α＝＝0.8，cos α＝0.6，故v2＝v1cos α＝0.15 m/s。
(3)在第二次过河中小船被冲向下游的距离为sCD＝v2tmin＝72 m。
答案：(1)0.25 m/s　(2)0.15 m/s　(3)72 m
考点三 “关联”速度的分解问题
1．“关联”速度的特点
绳、杆等相牵连的物体，在运动过程中，两端点的速度通常是不同的，但物体沿绳或杆方向的速度分量大小相等。
2．解决“关联”速度问题的关键
(1)物体的实际运动是合运动，要按实际运动效果分解速度。
(2)沿杆(或绳)方向的速度分量大小是相等的。
[合作共研]
[典例]　(多选)如图1 2 9所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d。现将小环从与定滑轮等高的A处由静止释放，当小环沿直杆下滑距离也为d时(图中B处)，下列说法正确的是(重力加速度为g)(　　)
图1 2 9
A．小环释放后的极短时间内轻绳中的张力一定大于2mg
B．小环到达B处时，重物上升的高度为(－1)d
C．小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于
D．小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于
[思路点拨]　
(1)由图中显示的几何关系，可求出重物上升的高度。
(2)小环实际上是沿杆下落，该运动是合运动，沿绳方向的运动是分运动。
(3)绳子绕过定滑轮与重物相连，所以重物上升速度的大小等于小环沿绳方向的分速度的大小。
[解析]　小环释放后，其下落速度v增大，绳与竖直杆间的夹角θ减小，故小环沿绳方向的速度v1＝vcos θ增大，由此可知小环释放后的极短时间内重物具有向上的加速度，绳中张力一定大于2mg，A项正确；小环到达B处时，绳与直杆间的夹角为45°，重物上升的高度h＝(－1)d，B项正确；如图所示，将小环速度v进行正交分解，v1＝vcos 45°＝v，所以小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于，C项错误，D项正确。
[答案]　ABD
探规寻律　
由于高中阶段研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长和不可压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题的原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。
[即时应用]
1.均匀直杆上连着两个小球A、B，不计一切摩擦。当直杆滑到如图1 2 10所示位置时，B球水平速度为vB，A球竖直向下的速度为vA，直杆与竖直方向的夹角为α，下列关于A、B两球速度的式子正确的是(　　)
图1 2 10
A．vA＝vB　　　　　　　　 B．vA＝vBtan α
C．vA＝vBsin α D．vA＝vBcos α
解析：选B　B球沿水平方向的运动可分解为沿直杆和垂直于直杆两个方向的分运动，同理A球竖直向下的运动也可分解为沿直杆和垂直于直杆两个方向的分运动，直杆不可伸缩，故A球沿直杆方向的分速度与B球沿直杆方向的分速度相等，即vAcos α＝vBsin α，化简得vA＝vBtan α，故B正确。
2．如图1 2 11所示，A、B两物体系在跨过光滑定滑轮的一根轻绳的两端，当A物体以速度v向左运动时，系A、B的绳分别与水平方向成α、β角，求此时B物体的速度。
图1 2 11
解析：如图所示，对A物体的速度沿着细绳方向与垂直细绳方向进行分解，则有沿着细绳方向的速度大小为vcos α；对B物体的速度沿着细绳方向与垂直细绳方向进行分解，则有沿着细绳方向的速度大小为vBcos β，由于沿着细绳方向的速度大小相等，所以有vcos α＝vBcos β，因此vB＝ v，且方向水平向右。
答案： v　水平向右
基础层级——基稳才能楼高
1．关于两个分运动的合运动，下列说法中正确的是(　　)
A．合运动的速度一定大于两个分运动的速度
B．合运动的速度一定大于一个分运动的速度
C．合运动的方向就是物体实际运动的方向
D．由两个分速度的大小就可以确定合速度的大小
解析：选C　合速度的大小可以大于分速度的大小，也可以小于分速度的大小，还可以等于分速度的大小，故A、B均错；仅知道两个分速度的大小，无法画出平行四边形，也就不能求出合速度的大小，故D错，只有C正确。
2．(多选)关于互成角度(非0°或180°)的两个匀变速直线运动的合运动，下列说法中正确的是(　　)
A．一定是曲线运动　　　　 B．可能是直线运动
C．一定是匀变速运动 D．可能是匀速直线运动
解析：选BC　由于两个分运动都是匀变速直线运动，所以合加速度是恒定的，如果合初速度与合加速度在一条直线上，物体做匀变速直线运动；如果合初速度与合加速度不共线，物体做匀变速曲线运动，故选BC。
3．(2018·江苏高考)某弹射管每次弹出的小球速度相等。在沿光滑竖直轨道自由下落过程中，该弹射管保持水平，先后弹出两只小球。忽略空气阻力，两只小球落到水平地面的(　　)
A．时刻相同，地点相同　　　 B．时刻相同，地点不同
C．时刻不同，地点相同 D．时刻不同，地点不同
解析：选B　弹射管自由下落，两只小球始终处于同一水平面，因此同时落地。水平方向的分运动为匀速直线运动，且速度相等，但两只小球弹出后在空中运动的时间不相等，所以水平位移不相等，落地点不同。
4.竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个红蜡块能在水中匀速上浮。当红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管水平匀速向右运动，测得红蜡块实际运动方向与水平方向成30°角，如图1所示。若红蜡块沿玻璃管上升的速度为7 cm/s，则玻璃管水平运动的速度约为(　　)
图1
A．14 cm/s B．12 cm/s
C．7.0 cm/s D．3.5 cm/s
解析：选B　红蜡块的水平分运动和竖直分运动均是匀速直线运动，根据平行四边形定则作图，如下：
故v2＝＝≈12 cm/s，故选B。
5.江中某轮渡站两岸的码头A和B正对，如图2所示，水流速度恒定且小于船速，若要使渡船沿直线往返于两码头之间，则船在航行时应(　　)
图2
A．往返时均使船垂直河岸航行
B．往返时均使船头适当偏向上游一侧
C．往返时均使船头适当偏向下游一侧
D．从A驶往B时，应使船头适当偏向上游一侧，返回时应使船头适当偏向下游一侧
解析：选B　从A到B，合速度方向垂直于河岸，水流速度水平向右，根据平行四边形定则，则船头的方向偏向上游一侧。从B到A，合速度的方向仍然垂直于河岸，水流速度水平向右，船头的方向仍然偏向上游一侧，故B正确，A、C、D错误。
6．(多选)如图3所示，在灭火抢险的过程中，消防队员有时要借助消防车上的梯子爬到高处进行救人或灭火作业。为了节省救援时间，在消防车向前前进的过程中，人同时相对梯子匀速向上运动。在地面上看消防队员的运动，下列说法中正确的是(　　)
图3
A．当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀加速直线运动
B．当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀速直线运动
C．当消防车匀加速前进时，消防队员一定做匀变速曲线运动
D．当消防车匀加速前进时，消防队员一定做匀变速直线运动
解析：选BC　当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀速直线运动，选项B正确，A错误。当消防车匀加速前进时，消防队员一定做匀变速曲线运动，选项C正确，D错误。
7．降落伞下落一段时间后的运动近似是匀速的。没有风的时候，跳伞员着地的速度是5 m/s。现在有风，风使他以4 m/s的速度沿水平方向向东移动，问跳伞员将以多大的速度着地？这个速度的方向怎样？
解析：跳伞员在有风时着地的速度，为降落伞无风时匀速下降的速度和风速的合速度，如图所示。由勾股定理求得
v地＝＝ m/s≈6.4 m/s
设着地速度v地与竖直方向的夹角为θ，则tan θ＝＝＝0.8
查三角函数表得θ≈38.7°。
答案：6.4 m/s　偏东与竖直方向成38.7°夹角斜向下
能力层级——跳跳摘到桃子
8.如图4所示，水平面上的小车向左运动，系在车后的轻绳绕过定滑轮，拉着质量为m的物体上升。若小车以v1的速度匀速直线运动，当车后的绳与水平方向的夹角为θ时，物体的速度为v2，则下列关系式正确的是(　　)
图4
A．v2＝v1 B．v2＝v1cos θ
C．v2＝0 D．v2＝
解析：选B　由于细线不可伸长，故细线两端的速度沿着细线方向的分速度是相等的，如图所示：
故v2＝v1cos θ，故选B。
9．如图5所示，船从A处开出后沿直线AB到达对岸，若AB与河岸成37°角，水流速度为4 m/s，则船从A点开出的最小速度为(　　)
图5
A．2 m/s B．2.4 m/s
C．3 m/s D．3.5 m/s
解析：选B　船参与了两个分运动，沿船头指向的分运动和顺水流而下的分运动，其中，合速度v合方向已知，大小未知，顺水流而下的分运动v水速度的大小和方向都已知，沿船头指向的分运动的速度v船大小和方向都未知，合速度与分速度遵循平行四边形定则(或三角形定则)，如图所示。当v合与v船垂直时，v船最小，由几何关系得到v船的最小值为v船＝v水sin 37°＝2.4 m/s，故B正确，A、C、D错误。
10．质量为m＝2 kg的物体在光滑的水平面上运动，在水平面上建立xOy坐标系，t＝0时物体位于坐标系的原点O，物体在x轴和y轴方向的分速度vx、vy随时间t变化图线如图6甲、乙所示，求：
图6
(1)t＝0时，物体速度的大小和方向；
(2)t＝8.0 s时，物体速度的大小和方向；(角度可用三角函数表示)
(3)t＝8.0 s时，物体的位置(用位置坐标x、y表示)。解析：(1)由题目中图可知，t＝0时刻，vx＝3.0 m/s，vy＝0。
t＝0时刻，物体的速度大小v0＝3.0 m/s，方向沿x轴正方向。
(2)t＝8.0 s时，vx＝3.0 m/s，vy＝4.0 m/s，
物体的速度大小v＝＝5 m/s
速度方向与x轴正向夹角设为α，
tan α＝＝
解得：α＝53°。
(3)t＝8.0 s时，物体的位置坐标x＝vxt＝24 m
y＝ayt2＝16 m
则物体的位置坐标是(24 m,16 m)。
答案：(1)物体速度的大小为3.0 m/s，方向沿x轴正方向
(2)物体速度的大小为5 m/s，方向与x轴正向夹角为53°
(3)物体的位置坐标是(24 m,16 m)
11.一船从河岸的A处出发渡河，小船保持与河岸垂直方向行驶，10 min运动到对岸下游120 m的C处，如图7所示，若小船保持原来的速度逆水向上与河岸成α角方向行驶，经12.5 min到达正对岸B处，求河的宽度。
图7
解析：小船过河的过程，同时参与了两种运动，一是小船相对水的运动，一是随水流的运动。船的运动为合运动，设河宽为d，水流速为v水，船速为v船，船两次运动速度合成如图所示。依题意有，第一次渡河与第二次渡河在垂直岸的方向上位移相等，
则v船t1＝v船·sin α·t2，第一次渡河船在水流方向上位移为BC，则B＝v水t1。
由图可得船的合速度：v2＝v水tan α，所以河的宽度为：d＝v2t2＝v水tan α·t2，
联立解得：sin α＝0.8，tan α＝，v水＝12 m/min，d＝12××12.5 m＝200 m。
答案：200 m
第3节平抛运动
　核心素养点击
物理观念 知道什么是平抛运动，了解平抛运动的特点；知道判断运动轨迹是否是抛物线的方法
科学思维 掌握分析一般抛体运动的方法——运动的合成与分解；领悟物理学“化曲为直”“等效代换”的思想方法
科学探究 通过实验，探究平抛运动规律
一、平抛运动及其特点
1．平抛运动
将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气的阻力，物体只在重力作用下所做的运动。
2．平抛运动的特点
(1)平抛运动的分解
①水平方向上物体不受力，做保持初速度不变的匀速直线运动。
②竖直方向物体只受重力，做自由落体运动。
(2)平抛运动的性质
加速度为重力加速度的匀变速曲线运动。
二、平抛运动的规律
1．水平方向
物体做匀速直线运动，vx＝v0，x＝v0t。
2．竖直方向
物体做自由落体运动，vy＝gt，y＝gt2。
3．合运动的求解及其运动轨迹
(1)如图1 3 1所示，任意时刻t的速度vt＝，速度vt与x轴的夹角为θ，则tan θ＝。
图1 3 1
(2)运动轨迹方程：由x＝v0t，y＝gt2消去t得y＝。因g和v0为常数，所以轨迹为抛物线。
[澄清微点]
(1)水平抛出的物体所做的运动就是平抛运动。(×)
(2)平抛运动的初速度越大，物体下落得越快。(×)
(3)平抛运动的初速度越大，水平位移越大。(×)
(4)如果下落时间足够长，平抛运动物体的速度方向可以变为竖直方向。(×)
(5)在同一地区的同一高度，所有做平抛运动的物体的加速度都相同。(√)
(6)平抛运动在某时刻的位移与水平方向的夹角等于此时速度与水平方向的夹角。(×)
1．两个小金属球同时从同一高度开始运动，不计空气阻力，A球自由落体，B球平抛运动，两球下落过程中的高度位置相同吗？为什么？
提示：相同；A、B两球在竖直方向上的运动情况完全相同，从同一高度同时进行自由落体运动，因此，在下落过程中的高度位置始终相同。
2.
图1 3 2
球场上，运动员多次从同一高度以不同的水平速度击出网球。若网球均落在同一水平面上，每次网球在空中运动的时间相同吗？速度的变化相同吗？
提示：由于网球从同一高度开始做平抛运动，它们的竖直分运动为自由落体运动，由于高度相同，由y＝gt2可知，网球在空中运动的时间相同；由公式Δv＝gΔt可知，它们的速度变化量相同。
考点一 对平抛运动的理解
1．平抛运动的条件
(1)具有水平初速度v0。
(2)只受重力作用。
两个条件缺一不可。
2．平抛运动的特点
特点 理解
理想化特点 物理上提出的抛体运动是一种理想化的模型，即把物体看成质点，抛出后只考虑重力作用，忽略空气阻力
速度特点 平抛运动的速度大小和方向都不断变化，故它是变速运动
加速度特点 平抛运动的加速度恒定，始终等于重力加速度，大小和方向都不变，所以平抛运动是匀变速曲线运动
速度变化特点 由Δv＝gΔt，任意两个相等的时间间隔内速度的变化相同，方向竖直向下，如图所示
[即时应用]
1．(多选)平抛运动是(　　)
A．加速度不断变化的曲线运动
B．匀变速曲线运动
C．匀速率曲线运动
D．在任意相等的时间内速度变化量都相同的曲线运动
解析：选BD　平抛运动的加速度为自由落体加速度，它是一恒量，故平抛运动为匀变速曲线运动，A错，B对。平抛运动的速率逐渐增大，C错。任意相等时间Δt内，平抛运动的速度变化量Δv＝gΔt，由此式可见，只要Δt相等，Δv就相同，D对。
2．人站在楼上水平抛出一个小球，球离开手后水平方向的速度为vx，竖直方向的速度为vy，忽略空气阻力，如图所示，能正确表示在相同的时间间隔内速度矢量v的变化情况的图像是(　　)
解析：选C　小球做平抛运动，水平方向速度不变，因此A、D错误。竖直方向做匀加速直线运动，相同时间间隔内，竖直方向速度的增加量相同，故B错误，C正确。
3．关于平抛运动，下列说法不正确的是(　　)
A．平抛运动是一种在恒力作用下的曲线运动
B．平抛运动的速度方向与恒力方向的夹角保持不变
C．平抛运动的速度大小是时刻变化的
D．平抛运动的速度方向与加速度方向的夹角一定越来越小
解析：选B　平抛运动的物体只受重力作用，故A正确；平抛运动是曲线运动，速度时刻变化，由v＝知，合速度v在增大，故C正确；对平抛物体的速度方向与加速度方向的夹角，有tan θ＝＝，因t一直增大，所以tan θ变小，θ变小，故D正确，B错误。
考点二 平抛运动规律的应用
1．研究方法：采用运动分解的方法，将平抛运动分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
2．平抛运动的规律
速　度 位　移
水平分运动 水平速度vx＝v0 水平位移x＝v0t
竖直分运动 竖直速度vy＝gt 竖直位移y＝gt2
合运动 大小：v＝方向：与水平方向夹角为θ，tan θ＝＝ 大小：s＝ 方向：与水平方向夹角为α，tan α＝＝
3．平抛运动的几个推论
运动时间 由于竖直方向做自由落体运动，则运动时间为t＝ 。因此，运动时间仅取决于下落高度，与初速度v0无关
水平位移 联立x＝v0t和y＝gt2得，x＝v0。水平位移由初速度v0和下落高度y共同决定
落地速度 v＝＝，即落地速度由初速度v0和下落高度y共同决定
速度偏向角θ与位移偏向角α之间的关系 速度偏向角与位移偏向角如图所示。因为tan θ＝＝，tan α＝＝＝，因此tan θ＝2tan α
速度反向延长线的特点 如图所示，从O点抛出的物体经时间t到达P点，速度的反向延长线交OB于A点。则OB＝v0t，AB＝＝gt2·＝v0t，因此AB＝OB，A为OB的中点
[合作共研]
[典例]　将物体以一定的初速度水平抛出，当抛出1 s后它的速度方向与水平方向的夹角为45°，落地时速度方向与水平方向的夹角为60°，g＝10 m/s2，不计空气阻力。求：
(1)初速度大小；
(2)落地速度大小；
(3)抛出点离地面的高度。
[思路点拨]　将平抛运动分解为水平和竖直两个方向简单运动的合成，利用速度偏角建立v0、vy和v之间的联系。
[解析]　 由题意画出运动轨迹如图所示。
(1)设初速度为v0，则tan α＝＝1，vy1＝gt
代入数据得v0＝10 m/s。
(2)设落地速度为v，由图可知cos β＝，则
v＝＝ m/s＝20 m/s。
(3)由vy22＋v02＝v2得
vy2＝＝ m/s＝10 m/s
在竖直方向上有vy22＝2gh
代入数据得h＝15 m。
[答案]　(1)10 m/s　(2)20 m/s　(3)15 m
探规寻律　
一般情况下，求解平抛运动问题要将运动进行分解，若已知的是速度则分解速度，若已知的是位移则分解位移。
[即时应用]
1．一水平固定的水管，水从管口以不变的速度源源不断地喷出。水管距地面高h＝1.8 m，水落地的位置到管口的水平距离x＝1.2 m。不计空气及摩擦阻力，水从管口喷出的初速度大小是(　　)
A．1.2 m/s　　　　　　　 B．2.0 m/s
C．3.0 m/s D．4.0 m/s
解析：选B　水从管口喷出，运动规律为平抛运动，根据平抛运动规律h＝gt2可知，水在空中运动的时间为0.6 s，根据x＝v0t可知水平初速度为v0＝2 m/s，因此选项B正确。
2．一小球以初速度v0水平抛出，落地时速度为v，空气阻力不计，求：
(1)小球在空中飞行的时间；
(2)抛出点离地面的高度；
(3)小球的水平射程；
(4)小球的位移大小。
解析：(1)由平抛运动的规律可知v＝
故有v＝，所以t＝。
(2)小球在竖直方向做自由落体运动，所以有
h＝gt2＝。
(3)小球在水平方向做匀速直线运动，所以有
x＝v0t＝。
(4)根据平行四边形定则可得小球的位移大小为
s＝＝。
答案：(1)　(2)　(3)
(4)
考点三 斜面上的平抛运动问题
[合作共研]
[典例]　如图1 3 3所示，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O点水平飞出，经过3.0 s落到斜坡上的A点。已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m＝50 kg。不计空气阻力，取sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80，g取10 m/s2。求：
(1)A点与O点的距离L；
(2)运动员离开O点时的速度大小；
(3)运动员从O点飞出开始到离斜坡距离最远所用的时间。
图1 3 3
[思路点拨]　根据题图可知：(1)斜坡的倾角θ即为运动员落到斜面上的位移偏角；(2)运动员距离斜坡最远时的速度偏角即为斜坡的倾角θ，分别利用“位移关系”和“速度关系”即可求解相关问题。
[解析]　(1)运动员在竖直方向做自由落体运动，有y＝Lsin 37°＝gt2
得A点与O点的距离L＝＝75 m。
(2)设运动员离开O点时的速度大小为v0，运动员在水平方向做匀速直线运动，即x＝Lcos 37°＝v0t
解得v0＝＝20 m/s。
(3)解法1：当运动员的速度方向平行于斜坡(与水平方向成37°角)时，运动员与斜坡距离最远，有＝tan 37°，t＝1.5 s。
解法2：运动员的平抛运动可分解为沿斜面方向的匀加速运动(初速度为v0cos 37°、加速度为gsin 37°)和垂直斜面方向的类竖直上抛运动(初速度为v0sin 37°、加速度为－gcos 37°)。
当垂直斜面方向的速度减为零时，运动员离斜坡距离最远，有v0sin 37°－gcos 37°·t＝0，解得t＝1.5 s。
[答案]　(1)75 m　(2)20 m/s　(3)1.5 s
探规寻律　
斜面上平抛运动问题的两类情况：　　
方法 内容 实例
斜面 求小球平抛时间 总结
分解速度 水平vx＝v0竖直vy＝gt合速度v＝ 解：如图，vy＝gt，tan θ＝＝，故t＝ 分解速度，构建速度三角形
分解位移 水平x＝v0t竖直y＝gt2合位移s＝ 解：如图，x＝v0t，y＝gt2，而tan θ＝，联立得t＝ 分解位移，构建位移三角形
[即时应用]
1.如图1 3 4所示，足够长的斜面上A点，以水平速度v0抛出一个小球，不计空气阻力，它落到斜面上所用的时间为t1；若将此球改用2v0抛出，落到斜面上所用时间为t2，则t1与t2之比为(　　)
图1 3 4
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶3 D．1∶4
解析：选B　因小球落在斜面上，所以两次位移与水平方向的夹角相等，由平抛运动规律知tan θ＝＝，所以＝，故选B。
2.如图1 3 5所示，斜面倾角θ＝45°，一个小球从A点正上方高h＝10 m处的O点，
以v0＝5 m/s的初速度水平抛出，撞在斜面上的C点，g取10 m/s2。求
图1 3 5
(1)小球运动到C点的时间；
(2)小球撞击C点时速度的大小。
解析：(1)小球做平抛运动，根据分位移公式，有：
x＝v0t
y＝gt2
综合几何关系：
y＋xtan 45°＝h
联立解得：
t＝1 s(负值舍去)。
(2)根据平抛运动的分速度公式，有：
vx＝v0＝5 m/s
vy＝gt＝10×1 m/s＝10 m/s
故合速度：
v＝＝ m/s＝5 m/s。
答案：(1)1 s　(2)5 m/s
考点四 平抛运动的实验探究
一、实验目的
1．用实验的方法描出平抛运动的轨迹。
2．根据轨迹研究平抛运动的特点并求初速度。
二、实验原理
平抛物体的运动可以看做是由两个分运动合成的，即水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
使小球做平抛运动，利用描迹法描出小球的运动轨迹，建立坐标系，测出轨迹曲线上某一点的坐标x和y，根据公式：x＝v0t和y＝gt2，就可求得v0＝x，即为小球做平抛运动的初速度。
三、实验器材
斜槽(带小球)、木板及竖直固定支架、白纸、图钉、重垂线、三角板、铅笔、刻度尺。
四、实验步骤
1．安装调平：将带有斜槽轨道的木板固定在实验桌上，其末端伸出桌面外，轨道末端切线水平。如图1 3 6所示。
图1 3 6
2．建坐标系：用图钉将坐标纸固定于竖直木板的左上角，把木板调整到竖直位置，使板面与小球的运动轨迹所在平面平行且靠近，把小球放在槽口处，用铅笔记下小球在槽口(轨道末端)时球心所在木板上的投影点O，O点即为坐标原点，用重垂线画出过坐标原点的竖直线，作为y轴，画出水平向右的x轴。
3．确定球位置：将小球从斜槽上某一位置由静止滑下，小球从轨道末端射出，先用眼睛粗略确定做平抛运动的小球在某一x值处的y值，然后让小球由同一位置自由滚下，在粗略确定的位置附近用铅笔较准确地描出小球通过的位置，并在坐标纸上记下该点。用同样的方法确定轨迹上其他各点的位置。
4．描点得轨迹：取下坐标纸，将坐标纸上记下的一系列点，用平滑曲线连起来，即得到小球平抛运动轨迹。
五、数据处理
1．判断平抛运动的轨迹是抛物线
(1)如图1 3 7所示，在x轴上作出等距离的几个点A1、A2、A3、…，把线段OA1的长度记为L，那么OA2＝2L、OA3＝3L、…，过A1、A2、A3、…向下作垂线，与轨迹的交点记为M1、M2、M3、…
图1 3 7
(2)设轨迹是一条抛物线，则M1、M2、M3、…各点的y坐标与x坐标应该具有的形式为y＝ax2，a是常量。
(3)用刻度尺测量某点的x、y两个坐标，代入y＝ax2中，求出常量a。
(4)测量其他几个点的x、y坐标，代入上式，看由各点坐标求出的a值是否相等。如果在误差允许范围内相等，就说明该曲线为抛物线。
2．计算平抛物体的初速度
(1)在确定坐标原点为抛出点的情况下，在轨迹曲线上任取几点(如A、B、C、D)。
(2)用刻度尺和三角板分别测出它们的坐标x和y。
(3)据平抛运动水平方向是匀速直线运动(x＝v0t)及竖直方向是自由落体运动，分别计算小球的初速度v0，最后计算小球的初速度v0的平均值。
六、误差分析
1．斜槽末端没有调水平，小球离开斜槽后不做平抛运动给实验带来系统误差。
2．小球运动的位置确定不准确给实验带来偶然误差。
3．量取轨迹上各点坐标时不准确给实验带来偶然误差。
七、注意事项
1．实验中必须调整斜槽末端的切线水平。
2．方木板必须处于竖直平面内。
3．小球每次必须从斜槽上同一位置滚下。
4．建立坐标系时，坐标原点不能建在槽口的端点，应是小球出槽口时球心在木板上的投影点。
5．小球开始滚下的位置高度要适中，以使小球平抛运动的轨迹由坐标纸的左上角一直到达右下角为宜。
6．在轨迹上选取离坐标原点O点较远的一些点来计算初速度。
[合作共研]
[典例]　图1 3 8甲是“研究平抛运动”的实验装置图。
图1 3 8
(1)实验前应对实验装置反复调节，直到斜槽末端切线________。每次让小球从同一位置由静止释放，是为了每次平抛________。
(2)图乙是正确实验取得的数据，其中O为抛出点，则此小球做平抛运动的初速度为________m/s。
(3)在另一次实验中将白纸换成方格纸，每小格的边长L＝5 cm，通过实验，记录了小球在运动途中的三个位置，如图丙所示，则该小球做平抛运动的初速度为________m/s；B点的竖直分速度为________m/s。
[解析]　(1)要使小球做平抛运动，斜槽末端切线应水平，同时为了使每次平抛的初速度相同，应让小球从同一位置由静止释放。
(2)由x＝v0t，y＝gt2得v0＝x，将(32.0,19.6)代入得v0＝0.32× m/s＝1.6 m/s。
(3)由图丙可知，小球由A→B和由B→C所用时间相等，且有Δy＝gT2，x＝v0T，解得v0＝1.5 m/s，vBy＝＝2.0 m/s。
[答案]　(1)水平　初速度相同　(2)1.6　(3)1.5　2.0
探规寻律　
平抛实验求抛出点位置的方法(如图所示)：
(1)若图中的O、a、b三点满足xO a＝xab，yO a∶yab＝1∶3，则O为抛出点。
(2)若未满足yO a∶yab＝1∶3，则O不是抛出点。
[即时应用]
1．在“研究平抛物体的运动”的实验中：
(1)为使小球水平抛出，必须调整斜槽，使其末端的切线成水平方向，检查方法是________________________________________________________________________
________________________________________________________________________。
(2)小球抛出点的位置必须及时记录在白纸上，然后从这一点画水平线和竖直线作为x轴和y轴，竖直线是用________来确定的。
(3)某同学建立的直角坐标系如图1 3 9所示，设他在安装实验装置和其他操作时准确无误，只有一处失误，即是
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________。
图1 3 9
(4)该同学在轨迹上任取一点M，测得坐标为(x，y)，则初速度的测量值为________________，测量值比真实值要________(选填“偏大”“偏小”或“不变”)。
解析：(1)斜槽末端水平时小球处于平衡，放在槽口能静止不动。
(2)用重垂线来确定竖直线最准确。
(3)描绘小球的运动轨迹的起始位置时应描绘球心的位置，因此坐标原点应在平抛起点的球心位置，即坐标原点应该是小球在槽口时球心在白纸上的水平投影点。
(4)根据x＝v0t，y＝gt2，两式联立得：v0＝x，因为坐标原点靠下，造成y值偏小，从而v0偏大。
答案：(1)将小球放置在槽口处轨道上，小球能保持静止　(2)重垂线　(3)坐标原点应该是小球在槽口时球心在白纸上的水平投影点　(4)x　偏大
2．在研究小球平抛运动的实验中，某同学记录了A、B、C三点，建立了如图1 3 10所示的坐标系，平抛轨迹上的三点坐标值已在图中标出，求：
图1 3 10
(1)小球平抛的初速度；
(2)小球抛出点的坐标。(g取10 m/s2)
解析：(1)由A、B、C三点横坐标知，小球从A点运动到B点和从B点运动到C点时间相等，设该时间为T，小球在竖直方向做自由落体运动，由Δy＝gT2得
T＝ ＝ s＝0.1 s
v0＝＝ m/s＝1.0 m/s。
(2)由匀变速直线运动规律：一段时间的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度。小球经B点时的竖直分速度vBy＝ m/s＝2.0 m/s
设从抛出点运动到B点所用时间为t，则
t＝＝ s＝0.20 s
从抛出点运动到A点所用时间为t1＝t－T＝(0.20－0.10) s＝0.10 s
在t1时间内小球的水平位移为sAx＝v0t1＝1.0×0.10 m＝0.10 m＝10 cm
竖直位移sAy＝gt12＝×10×(0.10)2 m＝0.05 m＝5 cm
由题中所建立的坐标系得出抛出点坐标为(－10 cm，－5 cm)。
答案：(1)1.0 m/s　(2)(－10 cm，－5 cm)
基础层级——基稳才能楼高
1．(2017·江苏高考)如图1所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间t在空中相遇。若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为(　　)
图1
A．t　　　 B.t　　　　C.　　　　D.
解析：选C　设两球间的水平距离为L，第一次抛出的速度分别为v1、v2，由于小球抛出后在水平方向上做匀速直线运动，则从抛出到相遇经过的时间t＝，若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则从抛出到相遇经过的时间为t′＝＝，C项正确。
2．物体在高处以初速度v0水平抛出，落地时速度为v，则该物体在空中运动的时间为(不计空气阻力)(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选C　竖直分速度大小vy＝，与在空中运动的时间t的关系为vy＝gt，联立两式求得t＝，C正确。
3．如图2所示，某人向对面的山坡上水平抛出两个质量不等的石块，分别落到A、B两处。不计空气阻力，则落到B处的石块(　　)
图2
A．初速度大，运动时间短 B．初速度大，运动时间长
C．初速度小，运动时间短 D．初速度小，运动时间长
解析：选A　由y＝gt2可知tBxA，故vB>vA，选项A正确。
4．物体做平抛运动时，它的速度方向和水平方向间的夹角α的正切tan α随时间t变化的图像是(　　)
解析：选B　平抛运动的合速度v与两个分速度v0、vy的关系如图所示，则tan α＝＝·t，故正切tan α与时间t成正比，B正确。
5．(2017·浙江4月学考)图3中给出了某一通关游戏的示意图，安装在轨道AB上可上下移动的弹射器，能水平射出速度大小可调节的弹丸，弹丸射出口在B点的正上方。竖直面内的半圆弧BCD的半径R＝2.0 m，直径BD水平且与轨道AB处在同一竖直面内，小孔P和圆心O连线与水平方向夹角为37°。游戏要求弹丸垂直于P点圆弧切线方向射入小孔P就能进入下一关。为了能通关，弹射器离B点的高度和弹丸射出的初速度分别是(不计空气阻力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)(　　)
　　　图3
A．0.15 m,4 m/s B．1.50 m,4 m/s
C．0.15 m,2 m/s D．1.50 m,2 m/s
解析：选A　设弹射器离B点高度为h，弹丸射出的初速度为v0。则有(1＋cos 37°)R＝v0t，h＋Rsin 37°＝gt2，tan 37°＝，解得h＝0.15 m，v0＝4 m/s，A正确。
6．(多选)图4为自动喷水装置的示意图。喷头高度为H，喷水速度为v，若要增大喷洒距离L，下列方法中可行的有(　　)
图4
A．减小喷水的速度v B．增大喷水的速度v
C．减小喷头的高度H D．增大喷头的高度H
解析：选BD　根据H＝gt2得，t＝，则喷洒的距离x＝vt＝v，则增大喷水的速度，增大喷头的高度可以增大喷洒距离。故B、D正确，A、C错误。
7.如图5所示，光滑斜面固定在水平面上，顶端O有一小球，从静止释放，运动到底端B的时间为t1，若给小球不同的水平初速度，落到斜面上的A点，经过的时间为t2，落到斜面底端B点，经过的时间为t3，落到水平面上的C点，经过的时间为t4，则(　　)
图5
A．t2>t1 B．t3>t2
C．t4>t3 D．t1＝t4
解析：选B　由＝gsin α·t12可得t1＝ ，而t4＝t3＝，故有C、D错误；由t2<可得：t1>t2，t3>t2，A错误，B正确。
8．(多选)(2019·全国卷Ⅱ)如图6(a)，在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离。某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用v表示他在竖直方向的速度，其v t图像如图6(b)所示，t1和t2是他落在倾斜雪道上的时刻。则(　　)
图6
A．第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小
B．第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大
C．第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大
D．竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大
解析：选BD　v t图像中图线与t轴包围的面积表示位移大小，由题图6(b)可知第二次滑翔过程中所围面积大，即在竖直方向上位移大，又运动员每次滑翔过程中竖直位移与水平位移的比值相同(等于倾斜雪道与水平面夹角的正切值)，故第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大，故A错误，B正确；从起跳到落到雪道上，第一次速度变化大，时间短，由a＝，可知第二次滑翔过程中在竖直方向上平均加速度小于第一次的，故C错误；v t图像的斜率表示加速度，速率为v1时，第二次加速度小，设阻力为f，由mg－f＝ma，可得第二次受到的阻力大，故D正确。
能力层级——跳跳摘到桃子
9．一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图7所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是(　　)
图7
A.B.C.D.解析：选D　设以速率v1发射乒乓球，经过时间t1刚好落到球网正中间。则竖直方向上有3h－h＝gt12　①，水平方向上有＝v1t1　②。由①②两式可得v1＝。设以速率v2发射乒乓球，经过时间t2刚好落到球网右侧台面的两角处，在竖直方向有3h＝gt22　③，在水平方向有 ＝v2t2　④。由③④两式可得v2＝ 。则v的最大取值范围为v110.试根据平抛运动原理，设计测量弹射器射出弹丸初速度的实验。提供的实验器材有弹射器(含弹丸，如图8所示)、铁架台(带有夹具)、米尺。
图8
(1)画出实验示意图。
(2)在安装弹射器时应注意：______________________________________________。
(3)实验中需要测量的量(并在示意图中用字母标出)：
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________。
(4)由于弹射器每次射出的弹丸初速度不可能完全相等，在实验中采取的方法是：________________________________________________________________________。
(5)计算公式：______________________________________________________________。
解析：根据研究平抛运动的实验原理，可使弹丸做平抛运动，通过测量下落高度可求出时间，再测水平位移可求出其出射的初速度。
(1)实验示意图如图所示。
(2)弹射器必须保持水平，以保证弹丸的初速度沿水平方向。
(3)应测出弹丸下降的高度y和水平位移x，如图所示。
(4)在不改变高度y的条件下进行多次实验，测量水平位移，得出水平位移x的平均值，以减小误差。
(5)因为y＝gt2，所以t＝ ，
又x＝v0t，故v0＝＝x 。
答案：见解析
11.如图9所示，一小球从平台上水平抛出，恰好落在平台前一倾角为α＝53°的斜面顶端并刚好沿斜面下滑，已知平台到斜面顶端的高度为h＝0.8 m，取g＝10 m/s2。求小球水平抛出的初速度v0和斜面顶端与平台边缘的水平距离s各为多少？(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)
图9
解析：小球从平台运动到斜面顶端的过程中做平抛运动，由平抛运动规律有：
s＝v0t，h＝gt2，vy＝gt
由题图可知：tan α＝＝
代入数据解得：v0＝3 m/s，s＝1.2 m。
答案：3 m/s　1.2 m
12．如图10甲所示，饲养员对着长l＝1.0 m的水平细长管的一端吹气，将位于吹气端口的质量m＝0.02 kg的注射器射到动物身上。注射器飞离长管末端的速度大小v＝20 m/s。可视为质点的注射器在长管内做匀变速直线运动，离开长管后做平抛运动，如图10乙所示。
　　
图10
(1)求注射器在长管内运动时的加速度大小；
(2)求注射器在长管内运动时受到的合力大小；
(3)若动物与长管末端的水平距离x＝4.0 m，求注射器下降的高度h。
解析：(1)由匀变速直线运动规律v2－0＝2al
得a＝＝2.0×102 m/s2
(2)由牛顿第二定律得F＝ma
得F＝4 N
(3)由平抛运动规律
x＝vt
得t＝＝0.2 s
由h＝gt2
得h＝0.2 m。
答案：(1)2.0×102 m/s2　(2)4 N　(3)0.2 m
第4节斜抛运动(略)
[阶段验收评估]
第一章　抛体运动
(时间：50分钟　满分：100分)
一、选择题(本题共8小题，每小题6分，共48分。1～5小题只有一个选项符合题目要求，6～8小题有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
1．(2019·浙江1月学考)用小锤击打弹性金属片后，一小球做平抛运动，同时另一小球做自由落体运动。两球运动的频闪照片如图1所示，最上面与最下面小球位置间的实际竖直距离为1 m，g取10 m/s2，照片中反映的实际情况是(　　)
图1
A．自由下落小球相邻位置间的位移相等
B．平抛运动小球相邻位置间的位移相等
C．自由下落小球相邻位置间的距离一定大于0.1 m
D．平抛运动小球相邻位置间的水平距离一定大于0.1 m
解析：选D　根据频闪照片可知，自由落体下落的小球相邻位置间的位移越来越大，选项A、C错误；同时平抛运动在竖直方向的规律是自由落体，因此，平抛运动的小球相邻位置间的距离也是越来越大，选项B错误；根据自由落体运动规律h＝gt2可知，t≈0.45 s，最上面的小球跟最下面的小球总共有11个拍照，所以Δt＝0.04 s，测量最上面与最下面的水平位移按比例计算约为1.4 m，根据平抛运动规律x＝v0t可求出水平速度为v0≈3.2 m/s，所以在频闪时间间隔内水平位移Δx＝v0Δt＝0.128 m，所以选项D正确。
2．某卡车在公路上与路旁障碍物相撞。处理事故的警察在泥地中发现了一个小的金属物体，经判断，它是相撞瞬间车顶上一个松脱的零件被抛出而陷在泥里的。为了判断卡车是否超速，需要测量的量是(　　)
A．车的长度，车的重量
B．车的高度，车的重量
C．车的长度，零件脱落点与陷落点的水平距离
D．车的高度，零件脱落点与陷落点的水平距离
解析：选D　碰撞瞬间，松脱零件由于惯性而做平抛运动，由平抛运动规律知，为了判断车是否超速，需测量车的高度及零件脱落点与陷落点的水平距离，D正确。
3.如图2所示，套在竖直细杆上的环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连。由于B的质量较大，故在释放B后，A将沿杆上升，当A环上升至与定滑轮的连线处于水平位置时，其上升速度v1≠0，若这时B的速度为v2，则(　　)
图2
A．v2＝v1　　　　　　 B．v2>v1
C．v2≠0 D．v2＝0
解析：选D　如图所示，分解A上升的速度v，v2＝vcos α，当A环上升至与定滑轮的连线处于水平位置时，α＝90°，故v2＝0，即B的速度为零，故选D。
4．(2018·全国卷Ⅲ)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上。甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的(　　)
A．2倍 B．4倍
C．6倍 D．8倍
解析：选A　画出小球在斜面上运动轨迹，如图所示，可知：
x＝vt，
x·tan θ＝gt2
则x＝·v2，
即x∝v2
甲、乙两球抛出速度为v和，则相应水平位移之比为4∶1，由相似三角形知，下落高度之比也为4∶1，由自由落体运动规律得，落在斜面上竖直方向速度之比为2∶1，由落至斜面时的速率v斜＝可得落至斜面时速率之比为2∶1。
5.如图3所示为四分之一圆柱体OAB的竖直截面，半径为R，在B点上方的C点水平抛出一个小球，小球轨迹恰好在D点与圆柱体相切，OD与OB的夹角为60°，则C点到B点的距离为(　　)
图3
A．R B.
C. D.
解析：选D　设小球由C点到D点的位移偏角为θ，则有tan θ＝tan α＝
又由几何关系知tan θ＝
解得h＝R。
6.如图4所示，吊车以v1的速度沿水平直线向右匀速行驶，同时以v2的速度匀速收拢绳索提升物体，下列表述正确的是(　　)
图4
A．物体的实际运动速度为v1＋v2
B．物体的实际运动速度为
C．物体相对地面做曲线运动
D．绳索保持竖直状态
解析：选BD　物体参与了水平方向上的匀速直线运动，速度为v1，又参与了竖直方向上的匀速直线运动，速度为v2，合运动为匀速直线运动，合速度v＝，选项A、C错误，B正确。由于物体做匀速直线运动，所受合外力为零，所以绳索拉力应竖直向上，绳索应保持竖直状态，选项D正确。
7．如图5所示，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆，O为圆心，且AB为沿水平方向的直径，圆弧上有一点C，且∠COD＝60°。若在A点以初速度v1沿AB方向平抛一小球，小球将击中坑壁上的最低点D；若在C点以初速度v2沿BA方向平抛的小球也能击中D点。重力加速度为g，圆的半径为R，下列正确的是(　　)
图5
A．R＝ B．R＝
C．R＝ D．R＝
解析：选AC　由v1t1＝R，gt12＝R得：R＝，A正确，B错误；由v2t2＝Rsin 60°，gt22＝R－Rcos 60°，
得：R＝，故C正确，D错误。
8．在一光滑水平面内建立平面直角坐标系，一物体从t＝0时刻起，由坐标原点O(0,0)开始运动，其沿x轴和y轴方向运动的速度—时间图像如图6甲、乙所示，下列说法中正确的是(　　)
图6
A．前2 s内物体沿x轴做匀加速直线运动
B．后2 s内物体继续做匀加速直线运动，但加速度沿y轴方向
C．4 s末物体的坐标为(4 m,4 m)
D．4 s末物体的坐标为(6 m,2 m)
解析：选AD　前2 s内物体在y轴方向速度为0，由题图甲知物体只沿x轴方向做匀加速直线运动，A正确；后2 s内物体在x轴方向做匀速运动，在y轴方向做初速度为0的匀加速运动，加速度沿y轴正方向，合运动是曲线运动，B错误；4 s内物体在x轴方向上的位移是x＝m＝6 m，在y轴方向上的位移为y＝×2×2 m＝2 m，所以4 s末物体的坐标为(6 m,2 m)，C错误，D正确。
二、实验题(本题共2小题，共16分)
9．(6分)某学习小组设计了如图7所示的装置研究平抛运动。图中M、N是两个完全相同的弧形轨道，两轨道上端均装有电磁铁，末端水平；A、B是两个完全相同的小铁球。(不计空气阻力和摩擦的影响)
图7
(1)实验时，该小组同学将小铁球A、B吸在电磁铁上，保持h1＝h2，调整H到合适高度；然后断开电源，两小球同时由静止开始沿轨道滚下。经过多次重复实验，都能观察到A、B同时到达光滑水平面上的P点相碰。请你解释其中的道理：__________________________
________________________________________________________________________。
(2)保持其他条件不变，如果增大H，A、B还能否在光滑水平面上某点相碰？
你的猜想是_____________________________________________________________。
理由是________________________________________________________________。
解析：(1)A、B两个小球同时开始做平抛运动和匀速直线运动，而球在水平方向做匀速直线运动，所以能在光滑水平面上的P点相碰。道理是：A、B两个小球在水平方向的运动状态相同。
(2)A、B两个小球同时开始做平抛运动和匀速直线运动，如果增大H，只能使A、B两个小球相碰的位置不在P点，但还能在光滑水平面上某点相碰。
所以猜想是：能在光滑水平面上某点相碰。
理由是：A、B两个小球在水平方向上的运动状态相同。
答案：见解析
10．(10分)未来在一个未知星球上用如图8甲所示装置研究平抛运动的规律。悬点O正下方P点处有水平放置的炽热电热丝，当悬线摆至电热丝处时能轻易被烧断，小球由于惯性向前飞出做平抛运动。现对小球采用频闪数码照相机连续拍摄。在有坐标纸的背景屏前，拍下了小球在平抛运动过程中的多张照片，经合成后，照片如图乙所示。a、b、c、d为连续四次拍下的小球位置，已知照相机连续拍照的时间间隔是0.10 s，照片大小如图中坐标所示，又知该照片的长度与实际背景屏的长度之比为1∶4，则：
图8
(1)由已知信息，可知a点________(选填“是”或“不是”)小球的抛出点。
(2)由已知信息，可以推算出该星球表面的重力加速度为________m/s2。
(3)由已知信息可以算出小球平抛的初速度是________m/s。
(4)由已知信息可以算出小球在b点时的速度是________m/s。
解析：(1)由初速度为零的匀加速直线运动在相邻的相等的时间内通过位移之比为1∶3∶5可知，a点为抛出点。
(2)由ab、bc、cd水平距离相同可知，a到b、b到c、c到d运动时间相同，设为T，在竖直方向有Δh＝gT2，T＝0.1 s，可求出g＝8 m/s2。
(3)由两位置间的时间间隔为0.10 s，实际水平距离为8 cm，由x＝vxt，得水平速度为0.8 m/s。
(4)b点竖直分速度为ac间的竖直平均速度，根据速度的合成求b点的合速度，vy b＝ m/s＝0.8 m/s，所以vb＝＝ m/s。
答案：(1)是　(2)8　(3)0.8　(4)
三、计算题(共2小题，共36分，解答时应写出必要文字说明、方程式和演算步骤，有数值的要注明单位)
11．(16分)如图9所示，玻璃生产线上，宽9 m的成型玻璃板以2 m/s的速度连续不断地向前行进，在切割工序处，切割刀的切割速度为10 m/s。为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，应如何控制切割刀的轨道？切割一次的时间是多长？
图9
解析：切割刀相对地面的速度v＝10 m/s，这一速度产生两个分速度：一是沿玻璃板前进方向的速度v1＝2 m/s，二是垂直于玻璃板前进方向的切割速度v2，如图所示。设切割刀的合速度v与v1之间成的夹角为θ，则cos θ＝＝
即切割刀与玻璃板前进方向的夹角θ的余弦值为。
切割时间t＝＝
代入数据得t≈0.92 s。
答案：切割刀与玻璃板前进方向的夹角θ的余弦值为　0.92 s
12．(20分)汽车以1.6 m/s的速度在水平地面上匀速行驶，汽车后壁货架上放有一货物(可视作质点)，架高1.8 m。由于前方事故，突然急刹车，汽车轮胎抱死，货物从架上落下。已知该型号汽车在所在路面行驶时刹车痕s(即刹车距离)与刹车前车速v的关系如图10所示，忽略货物与架子间的摩擦及空气阻力，g取10 m/s2。求：
图10
(1)汽车刹车过程中的加速度多大。
(2)货物在车厢底板上落点距车后壁的距离。
解析：(1)汽车以速度v刹车，匀减速到零，刹车距离为s，由运动学公式v2＝2as、v s关系图像知：
当v＝4 m/s时，s＝2 m，代入数据得：
a＝4 m/s2。
(2)刹车后，货物做平抛运动，
h＝gt2，t＝0.6 s
货物的水平位移为：
s2＝vt＝0.96 m
汽车做匀减速直线运动，刹车时间为t′，
则t′＝＝0.4 s<0.6 s
则汽车的实际位移为：
s1＝＝0.32 m
故Δs＝s2－s1＝0.64 m。
答案：(1)4 m/s2　(2)0.64 m
第1节圆周运动
　　　　　核心素养点击
物理观念 知道什么是圆周运动，什么是匀速圆周运动；知道线速度的概念、物理意义及性质，知道匀速圆周运动线速度的特点；知道角速度的概念、意义、定义式及单位
科学思维 掌握匀速圆周运动的角速度、线速度、周期、转速间的关系
科学探究 通过观察自行车大齿轮、小齿轮和后轮的转动情况，分析圆周运动的特点
科学态度与责任 会利用匀速圆周运动的角速度、线速度、周期、转速间的关系解决实际问题
一、匀速圆周运动
1．圆周运动：物体的运动轨迹是圆的运动。
2．匀速圆周运动：在相等时间内通过的圆弧长度相等的圆周运动。
二、描述圆周运动的物理量
1．线速度
(1)定义：质点做圆周运动通过的弧长与所用时间的比值。
(2)大小：v＝，单位：m/s。
(3)方向：质点在圆周上某点的线速度方向是沿圆周上该点的切线方向。
(4)物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢。
2．角速度
(1)定义：连接质点和圆心的半径所转过的角度Δφ跟所用时间Δt的比值。
(2)大小：ω＝，单位：弧度每秒，符号rad/s。
(3)物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢。
(4)匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动。
3．周期和转速
(1)周期：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间，用符号T表示，单位为秒。
(2)转速：做圆周运动的物体在单位时间内所转过的圈数。用n表示，单位为转每秒(r/s)，或转每分(r/min)。
三、线速度、角速度和周期之间的关系
1．线速度与周期的关系：v＝。
2．角速度与周期的关系：ω＝。
3．线速度与角速度的关系：v＝ωr。
4．角速度与转速的关系：ω＝2πn。
[澄清微点]
(1)做匀速圆周运动的物体相等时间内通过的弧长相等。(√)
(2)做匀速圆周运动的物体相等时间内通过的位移相同。(×)
(3)匀速圆周运动是一种匀速运动。(×)
(4)做匀速圆周运动的物体，其合外力不为零。(√)
(5)做匀速圆周运动的物体，其线速度不变。(×)
(6)做匀速圆周运动的物体，其角速度不变。(√)
1．周期和转速都是描述物体做圆周运动快慢的物理量，二者之间的关系如何？
提示：二者关系是n＝(n单位为r/s)。
2．月亮绕地球运动，地球绕太阳运动，这两个运动都可看成是圆周运动，怎样比较这两个圆周运动的快慢？请看下面地球和月亮的“对话”。
地球说：你怎么走得这么慢？我绕太阳运动1 s要走29.79 km，你绕我运动1 s才走1.02 km。
图2 1 1
月亮说：不能这样说吧！你一年才绕太阳转一圈，我27.3天就能绕你转一圈，到底谁转得快？
请问：地球说得对，还是月亮说得对？
提示：地球和月亮说的均是片面的，它们选择描述匀速圆周运动快慢的标准不同。严格来说地球绕太阳运动的线速度比月亮绕地球运动的线速度大，而月亮绕地球转动的角速度比地球绕太阳转动的角速度大。
3.若钟表的指针都做匀速圆周运动，秒针和分针的周期各是多少？角速度之比是多少？
图2 1 2
提示：秒针的周期T秒＝1 min＝60 s，分针的周期T分＝1 h＝3 600 s。
由ω＝得＝＝。
考点一 描述圆周运动的各物理量的关系
1．描述圆周运动的各物理量之间的关系
2．描述圆周运动的各物理量之间关系的理解
(1)角速度、周期、转速之间关系的理解：物体做匀速圆周运动时，由ω＝＝2πn知，角速度、周期、转速三个物理量，只要其中一个物理量确定了，其余两个物理量也唯一确定了。
(2)线速度与角速度之间关系的理解：由v＝ωr知，r一定时，v ∝ω；v一定时，ω ∝；ω一定时，v ∝r。
[合作共研]
[典例]　如图2 1 3所示，圆环以直径AB为轴匀速转动。已知其半径为0.5 m，周期为4 s，求环上P点和Q点的角速度和线速度。
图2 1 3
[思路点拨]　整个圆环以AB为轴匀速转动，环上各点的角速度相同。
[解析]　P点和Q点的角速度ω＝＝1.57 rad/s
求线速度则需要找出P点和Q点做圆周运动的半径。
P点和Q点绕AB做圆周运动，其轨迹的圆心不同。P点和Q点的圆周运动的半径分别为
rP＝R·sin30°＝R，rQ＝R·sin60°＝R
故其线速度分别为vP＝ωrP＝0.39 m/s，
vQ＝ωrQ＝0.68 m/s。
[答案]　P点和Q点的角速度都为1.57 rad/s，P点的线速度为0.39 m/s，Q点的线速度为0.68 m/s。
探规寻律　
解决此类题目首先要确定质点做圆周运动的轨迹所在的平面，以及圆周运动圆心的位置，从而确定半径，然后由v、ω的定义式及v、ω、R的关系式来计算。
[即时应用]
1．甲、乙两物体分别做匀速圆周运动，如果它们转动的半径之比为1∶5，线速度之比为3∶2，则下列说法正确的是(　　)
A．甲、乙两物体的角速度之比是2∶15
B．甲、乙两物体的角速度之比是10∶3
C．甲、乙两物体的周期之比是2∶15
D．甲、乙两物体的周期之比是10∶3
解析：选C　由v＝ωr得＝∶＝·＝×＝，A、B错误；由ω＝得＝＝，C正确、D错误。
2．做匀速圆周运动的物体，10 s内沿半径为20 m的圆周运动100 m，试求物体做匀速圆周运动时：
(1)线速度的大小；
(2)角速度的大小；
(3)周期的大小。
解析：(1)依据线速度的定义式v＝可得
v＝＝ m/s＝10 m/s。
(2)依据v＝ωr可得
ω＝＝ rad/s＝0.5 rad/s。
(3)T＝＝ s＝4π s。
答案：(1)10 m/s　(2)0.5 rad/s　(3)4π s
考点二 “传动装置”问题
三种传动装置及其特点
共轴传动 皮带传动 齿轮传动
图示
特点 盘上各点的角速度、转速、周期都相同，线速度与半径成正比 在皮带不打滑的情况下，轮缘上各点的线速度大小相等，而角速度与半径成反比 两个齿轮边缘上的各点线速度大小相等，角速度与半径成反比
规律 ωA＝ωB，TA＝TB，nA＝nB，＝ vA＝vB，＝，＝＝，NA、NB分别表示齿轮A、B的齿数
转动方向 相同 相同 相反
[合作共研]
[典例]　如图2 1 4所示为一自行车的局部结构示意图，设连接脚踏板的连杆长为L1，由脚踏板带动半径为r1的大轮盘(牙盘)，通过链条与半径为r2的小轮盘(飞轮)连接，小轮盘带动半径为R的后轮转动，使自行车在水平路面上匀速前进。
图2 1 4
(1)自行车牙盘的半径一般要大于飞轮的半径，想想看，这是为什么？
(2)设L1＝18 cm，r1＝12 cm，r2＝6 cm，R＝30 cm，为了维持自行车以v＝3 m/s的速度在水平路面上匀速行驶，请你计算一下每分钟要踩脚踏板几圈。
(3)若某种变速自行车有6个飞轮和3个牙盘，牙盘和飞轮的齿数如下表所示，若人骑该车行进的速度一定，选用哪种齿数的牙盘和飞轮，人踩脚踏板的角速度最小？为什么？
名称 牙盘 飞轮
齿数N/个 48 38 28 15 16 18 21 24 28
　　[思路点拨]　
(1)脚踏板与大轮盘同轴转动，角速度相等。
(2)大轮盘与小轮盘链条连接，边缘的线速度大小相等。
(3)小轮盘与后轮同轴转动，角速度相等。
[解析]　(1)通过链条相连的牙盘和飞轮边缘的线速度相同，当牙盘的半径大于飞轮的半径时，由v＝ωr可知人踩脚踏板的角速度小于飞轮的角速度。
(2)设牙盘转动的角速度为ω1，自行车后轮转动的角速度即飞轮的角速度为ω2，人每分钟要踩脚踏板n圈。ω2＝＝ rad/s＝10 rad/s，由ω2r2＝ω1r1，得ω1＝5 rad/s，则n＝＝ r/s＝ r/min≈48 r/min。
(3)由(2)知＝，不管是牙盘还是飞轮，相邻的两齿间的弧长相同，故有＝，从而＝，故ω1＝·ω2＝·，由于v、R一定，当最小时，ω1最小，故应选齿数为15的飞轮和齿数为48的牙盘。
[答案]　见解析
探规寻律　
传动问题是圆周运动部分的一种常见题型，在分析此类问题时，关键是要明确什么量相等，什么量不相等，在通常情况下，应抓住以下两个关键点。
(1)绕同一轴转动的各点角速度ω、转速n和周期T相等，而各点的线速度大小为v＝ωr，与半径r成正比。
(2)在皮带不打滑的情况下，皮带和皮带连接的轮子边缘线速度的大小相等，不打滑的摩擦传动的两轮边缘上各点的线速度大小也相等，而两传动轮的角速度为ω＝，与半径r成反比。
[即时应用]
1.2019年1月1日，美国宇航局(NASA)“新视野号”探测器再创历史，成功飞掠柯伊伯带小天体“天涯海角”，图2?1?5为探测器拍摄到该小天体的“哑铃”状照片示意图，该小天体绕固定轴匀速自转，其上有到转轴距离不等的A、B两点(LA＞LB)，关于这两点运动的描述，下列说法正确的是(　　)
图2?1?5
A．A、B两点线速度大小相等
B．A点的线速度恒定
C．A、B两点角速度相等
D．相同时间内A、B两点通过的弧长相等
解析：选C　A、B两点同轴转动，故A、B两点的角速度相等，由LA＞LB，根据v＝rω得，两点线速度大小不相等，故A错误，C正确；A、B两点的线速度方向时刻改变，故B错误；A、B两点的线速度不相等，所以相同时间内A、B两点通过的弧长不相等，故D错误。
2.如图2 1 6所示，A、B两个齿轮的齿数分别是z1、z2，各自固定在过O1、O2的轴上。其中过O1的轴与电动机相连接，此轴转速为n1，求：
图2 1 6
(1)A、B两齿轮的半径r1、r2之比；
(2)B齿轮的转速n2。
解析：(1)在齿轮传动装置中，各齿轮在相同时间内转过的“齿”是相同的，因此齿轮的齿数与周长成正比，故r1∶r2＝z1∶z2。
(2)在齿轮传动进行时，每个啮合的齿轮边缘处线速度大小相等，因此齿轮传动满足齿轮转速与齿数成反比，即＝，所以n2＝。
答案：(1)r1∶r2＝z1∶z2　(2)n2＝
考点三 匀速圆周运动的周期性
[合作共研]
[典例]　如图2 1 7所示，小球A在半径为R的光滑圆形槽内做匀速圆周运动，当它运动到图中的a点时，在圆形槽中心O点正上方h处，有一小球B沿Oa方向以某一初速度水平抛出，结果恰好在a点与A球相碰，求：
图2 1 7
(1)B球抛出时的水平速度多大？
(2)A球运动的线速度最小值为多大？
[思路点拨]
(1)从小球A运动到a点开始计时，到在a点恰好与小球B相碰，两球运动时间相等。
(2)在小球B平抛到a点的时间内，小球A可能运动多个周期。
[解析]　(1)小球B做平抛运动，其在水平方向上做匀速直线运动，设小球B的水平速度为v0，
则R＝v0t①
在竖直方向上做自由落体运动，则
h＝gt2②
由①②得v0＝＝R。
(2)A球的线速度取最小值时，A球刚好转过一圈，B球落到a点与A球相碰，则A球做圆周运动的周期正好等于B球的飞行时间，即T＝，所以vA＝＝2πR。
[答案]　(1)R　(2)2πR
探规寻律　
匀速圆周运动的多解问题处理方法
1．分析多解原因
匀速圆周运动具有周期性，使得前一个周期中发生的事件在后一个周期中同样可能发生，这就要求我们在确定做匀速圆周运动物体的运动时间时，必须把各种可能都考虑进去。
2．确定处理方法
(1)抓住联系点：明确两个物体参与运动的性质和求解的问题，两个物体参与的两个运动虽然独立进行，但一定有联系点，其联系点一般是时间或位移等，抓住两运动的联系点是解题关键。
(2)先特殊后一般：分析问题时可暂时不考虑周期性，表示出一个周期的情况，再根据运动的周期性，在转过的角度θ上再加上2nπ，具体n的取值应视情况而定。
[即时应用]
1．一位同学做飞镖游戏，已知圆盘直径为d，飞镖距圆盘为L，且对准圆盘上边缘的A点水平抛出，初速度为v0，飞镖抛出的同时，圆盘以垂直圆盘且过盘心O的水平轴匀速转动，角速度为ω。若飞镖恰好击中A点，则下列关系中正确的是(　　)
图2 1 8
A．dv02＝L2g
B．ωL＝π(1＋2n)v0(n＝0,1,2，…)
C．v0＝
D．dω2＝gπ2(1＋2n)2(n＝0,1,2，…)
解析：选B　当A点转动到最低点时飞镖恰好击中A点，L＝v0t，d＝gt2，ωt＝π(1＋2n)(n＝0,1,2，…)，联立解得ωL＝π(1＋2n)v0(n＝0,1,2，…)，2dv02＝L2g,2dω2＝gπ2(1＋2n)2(n＝0,1,2，…)，v0≠，B正确。
2.如图2 1 9所示，B物体放在光滑的水平地面上，在水平力F的作用下由静止开始运动，B物体的质量为m，同时A物体在竖直面内由M点开始做半径为r、角速度为ω的匀速圆周运动。求满足使A、B速度相同的力F的取值。
图2 1 9
解析：速度相同即大小、方向相同，B为水平向右，A一定要在最低点才能保证速度水平向右。由题意可知：
当A从M点运动到最低点时
t＝nT＋T(n＝0,1,2，…)，线速度v＝ωr
对于B(初速度为0)：v＝at＝＝
解得：F＝(n＝0,1,2，…)。
答案：(n＝0,1,2，…)
基础层级——基稳才能楼高
1．对于做匀速圆周运动的物体，下列说法中正确的是(　　)
A．物体可能处于受力平衡状态
B．物体的运动状态可能不发生变化
C．物体的加速度可能等于零
D．物体运动的速率是恒定不变的
解析：选D　匀速圆周运动的线速度大小不变，方向时刻变化，显然匀速圆周运动是变速运动，具有加速度。故A、B、C错误，D对。
2．电脑中用的光盘驱动器采用恒定角速度驱动光盘，光盘上凹凸不平的小坑是存贮数据的。请问激光头在何处时，电脑读取数据速度较快(　　)
A．内圈　　　　　　　　 B．外圈
C．中间位置 D．与位置无关
解析：选B　光盘做匀速圆周运动，光盘上某点的线速度v＝rω，ω恒定，则r越大时，v就越大，因此激光头在光盘外圈时，电脑读取数据速度比较快。
3．(多选)质点做匀速圆周运动时，下列说法中正确的是(　　)
A．因为v＝Rω，所以线速度v与轨道半径R成正比
B．因为ω＝，所以角速度ω与轨道半径R成反比
C．因为ω＝2πn，所以角速度ω与转速n成正比
D．因为ω＝，所以角速度ω与周期T成反比
解析：选CD　v＝Rω，ω一定时，线速度v才与轨道半径R成正比，v一定时，