苏教版（2019）高中数学必修第一册 8.2.2 函数的实际应用 【基础过关】（含解析）

8.2.2　函数的实际应用
基础过关
一次函数模型及反比例函数模型
1.某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压P(千帕)是气球体积V(立方米)的反比例函数,其图象如图所示,则这个函数的解析式为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.P=96V B.P=
C.P= D.P=
2某人根据经验绘制了2019年春节前后,从1月25日至2月11日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象,如图所示,则此人在1月31日大约卖出了　　　　千克西红柿.(结果保留整数)
3.某市“网约车”的现行计价标准是路程在2千米以内(含2千米)按起步价8元收取,超过2千米后的路程按1.9元/千米收取,超过10千米后的路程需加收50%的返空费(即1.9×(1+50%)=2.85元/千米).
(1)将某乘客搭乘一次“网约车”的车费f(x)(单位:元)表示为行程x(0(2)某乘客的行程为16 km,他准备先乘一辆“网约车”行驶8 km后,再换乘另一辆“网约车”完成余下行程,请问:他这样做是否比只乘一辆“网约车”完成全部行程更省钱 请说明理由.
二次函数模型
4.生产一定数量商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为f(x)=万元,商品的售价是每件20元,为获取最大利润(利润=收入-成本),该企业一个月应生产该商品的数量为(　　)
A.9万件 B.18万件 C.22万件 D.36万件
5“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明:“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定的条件下,每尾鱼的平均生长速度v(单位:千克/年)是养殖密度x(单位:尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时,v的值为2千克/年;当4(1)当0(2)当养殖密度x为多大时,鱼的年生长量(单位:千克/立方米)可以达到最大 并求出最大值.
6.国庆期间,高邮市清水潭旅游景点的团队收费方案如下:不超过40人时,人均收费100元;超过40人且不超过m(40(1)求y关于x的函数表达式;
(2)景点工作人员发现:当接待某团队人数超过一定数量时,会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少的现象.为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加,求m的取值范围.
指数型函数模型和对数型函数模型
7.据统计,某地区1月、2月、3月的用工人数分别为0.2万,0.4万和0.76万,则该地区这三个月的用工人数y(万)关于月数x的函数关系可近似表示为(　　)
A.y= B.y=(x2+2x)
C.y=0.2x D.y=0.2+log16x
8.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.记鲑鱼的游速为v m/s,鲑鱼的耗氧量的单位数为x,研究发现v与log3(x≥100)成正比,且当x=300时,v=.
(1)求出v关于x的函数解析式;
(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数;
(3)当鲑鱼的游速增加1 m/s时,其耗氧量是原来的几倍
建立、拟合函数模型
9.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用(　　)
A.一次函数模型 B.二次函数模型
C.指数型函数模型 D.对数型函数模型
10.如图是红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图,那么最能拟合诗句“红豆生南国,春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是(　　)
A.指数函数y=2t B.对数函数y=log2t
C.幂函数y=t3 D.二次函数y=2t2
11.今有一组实验数据如下:
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
v 1.5 4.04 7.5 12 18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是(　　)
A.v=log2t B.v=t
C.v= D.v=2t-2
12.某学习小组在暑期社会实践活动中,通过对某商店一种商品销售情况的调查发现:该商品在过去的一个月内(以30天计)的日销售价格P(x)(元)与时间x(天)的函数关系近似满足P(x)=1+(k为正常数).该商品的日销售量Q(x)(个)与时间x(天)的部分数据如下表所示:
x/天 10 20 25 30
Q(x)/个 110 120 125 120
已知第10天该商品的日销售收入为121元.
(1)求k的值;
(2)给出以下四种函数模型:
①Q(x)=ax+b,②Q(x)=a|x-25|+b,③Q(x)=a·bx,④Q(x)=a·logbx.
请你根据上表中的数据,从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量Q(x)与时间x的关系,并求出该函数的解析式;
(3)求该商品的日销售收入f(x)(1≤x≤30,x∈N*)(元)的最小值.
能力提升
一次函数、二次函数及反比例函数模型
1.在如图所示的三角形ABC空地中,欲建一个如图所示的内接矩形 DEFG花园(阴影部分),则该矩形花园的面积的最大值为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.120 B.210 C.225 D.300
2.为贯彻执行党中央“不忘初心,牢记使命”主题教育活动,增强企业的凝聚力和竞争力.某重装企业的装配分厂举行装配工人技术大比武,根据以往技术资料统计,某工人装配第n件工件所用的时间(单位:分钟)f(n)大致服从的关系为f(n)=k、M为常数.如果该工人装配第9件工件用时20分钟,装配第M件工件用时12分钟,那么可大致推出该工人装配第4件工件所用的时间是(　　)
A.40分钟 B.35分钟
C.30分钟 D.25分钟
3.某企业为打入国际市场,决定从A,B两种产品中只选择一种进行投资生产.已知投资生产这两种产品的有关数据如下表:
项目类别 年固定 成本 (单位: 万美元) 每件产 品成本 (单位: 万美元) 每件产品 销售价 (单位: 万美元) 每年最多可 生产的件数
A产品 20 m 10 200
B产品 40 8 18 120
其中年固定成本与年生产的件数无关,m为待定常数,其值由生产A产品的原材料价格决定,m∈[6,8].另外,年销售x件B产品时需上缴0.05x2万美元的特别关税.假设生产出来的产品都能在当年销售出去.
(1)写出该厂分别投资生产A,B两种产品的年利润(单位:万美元)y1、y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系,并指明其定义域;
(2)如何投资才可获得最大年利润 请你做出规划.
指数型函数模型、对数型函数模型
4.安装了某种特殊装置的容器内有细沙10 cm3,容器倒置后,细沙从容器内流出,t min后容器内剩余的细沙量为y=101+at(单位:cm3),其中a为常数.经过4 min后发现容器内还剩余5 cm3的细沙,再经过x min后,容器中细沙的剩余量为1.25 cm3,则x=(　　)
A.4 B.6 C.8 D.12
5.我们处在一个有声世界里,不同场合,人们对声音的音量会有不同要求.音量大小的单位是分贝(dB),对于一个强度为I的声波,其音量的大小η可由如下公式计算: η=10·lg(其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度),设η1=70的声音强度为I1,η2=60的声音强度为I2,则I1是I2的(　　)
A.倍 B.10倍 C.1倍 D.ln倍
6.我们经常听到这样一种说法:一张纸经过一定次数对折之后,厚度能超过地月距离.但实际上,因为纸张本身有厚度,所以我们并不能将纸张无限次对折,当纸张的厚度超过纸张的长边时,便不能继续对折了,一张长边为w,厚度为x的矩形纸张沿两个方向不断对折,则经过两次对折,长边变为w,厚度变为4x.在理想情况下,对折次数n有下列关系:n≤(注:lg 2≈0.3),根据以上信息,一张长为21 cm,厚度为0.05 mm的纸最多能对折　　　　次.
7.某池塘中原有一块浮草,浮草蔓延后的面积y(平方米)与时间t(月)之间的函数关系式是y=at-1(a>0且a≠1),它的图象如图所示,给出以下命题:①池塘中原有浮草的面积是0.5平方米;②第8个月浮草的面积超过60平方米;③浮草每月增加的面积都相等;④若浮草面积达到10平方米,20平方米,30平方米所经过的时间分别为t1,t2,t3,则2t2>t1+t3.其中正确命题的序号为　　　　.
8.某工厂产生的废气经过过滤后排放,过滤过程中废气的剩余污染物数量P(mg/L)与过滤开始后的时间t(小时)的关系为P=P0e-kt,其中P0为过滤开始时废气的污染物数量,k为常数.如果过滤开始后经过5小时消除了10%的污染物,试求:
(1)过滤开始后经过10小时还剩百分之几的污染物;
(2)污染物减少50%所需要的时间.(参考数据:ln 2≈0.7,ln 3≈1.1,ln 5≈1.6)
建立、拟合函数模型
9.2019年诺贝尔生理学或医学奖获得者威廉·凯林(William G.Kaelin Jr)在研究肾癌的VEGF抑制剂过程中使用的输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时,滴管内匀速滴下液体(滴管内液体忽略不计),设输液开始后x分钟,瓶内液面与进气管的距离为h厘米,已知当x=0时,h=13.如果瓶内的药液恰好156分钟滴完,则函数h=f(x)的图象为(　　)
10.为纪念重庆黑山谷晋升国家5A级景区五周年,特发行黑山谷纪念邮票,从2017年11月1日起开始上市.通过市场调查,得到该纪念邮票在一周内每张的市场价y(单位:元)与上市时间x(单位:天)的数据如下:
上市时间x(天) 1 2 6
市场价y(元) 5 2 10
(1)分析上表数据,说明黑山谷纪念邮票的市场价y(单位:元)与上市时间x(单位:天)的变化关系,并判断y与x满足下列哪种函数关系:①一次函数,②二次函数,③对数函数,并求出函数的解析式;
(2)利用你选取的函数,求黑山谷纪念邮票市场价最低时的上市天数及最低价格.
11.下表是某款车的车速与刹车后的停车距离的数据,试分别就y=a·ekx,y=axn,y=ax2+bx+c三种函数关系建立数学模型,并探讨最佳模拟,根据最佳模拟求车速为120 km/h时的刹车距离.
车速/(km/h) 10 15 30 40 50
停车距离/m 4 7 12 18 25
车速/(km/h) 60 70 80 90 100
停车距离/m 34 43 54 66 80
答案全解全析
8.2.2　函数的实际应用
基础过关
1.D　因为气球内气体的气压是气球体积的反比例函数,所以可设P=(k≠0),由题图可知,点(1.5,64)在函数图象上,所以64=,解得k=96,故P=,故选D.
2.答案　23
解析　设f(x)=ax+b(a≠0,1≤x≤10,x∈N*),
将点(1,10),(10,30)代入函数解析式,
得解得
所以f(x)=(1≤x≤10,x∈N*),
在1月31日,即当x=7时, f(7)=≈23.
故此人在1月31日大约卖出了23千克西红柿.
3.解析　(1)由题意得,车费f(x)关于行程x的函数为
f(x)=
即f(x)=
(2)该乘客乘两辆“网约车”比只乘一辆“网约车”更省钱.
理由如下:只乘一辆“网约车”的车费为f(16)=2.85×16-5.3=40.3(元),
乘两辆“网约车”的车费为2f(8)=2×(4.2+1.9×8)=38.8(元),
∵40.3>38.8,
∴该乘客乘两辆“网约车”比只乘一辆“网约车”更省钱.
4.B　由题意可得,获得最大利润时的收入是20x万元,成本是万元,所以此时的利润为20x-(x-18)2+142,结合二次函数的图象(图略)知,
当x=18时,取得最大值,为142.故选B.
5.解析　(1)由题意得当0当4由已知得
解得
所以v=-.
故v关于x的函数表达式为
v=
(2)设鱼的年生长量为f(x)千克/立方米,结合(1)可得
f(x)=
当0故f(x)max=f(4)=4×2=8;
当4=-,
故f(x)max=f(10)=12.5.
所以当0即当养殖密度为10尾/立方米时,鱼的年生长量可以达到最大,最大为12.5千克/立方米.
6.解析　(1)当0当40当x>m时,y=(140-m)x.
∴y=
(2)当0y随x的增大而增大;
当400,
此时对于y=(140-m)x,y随x的增大而增大;
当40∴当40当x>70时,y随x的增大而减小.
∵x≤m,
∴40综上所述,当407.A　当x=1时,y=0.2,排除B;当x=2时,y=0.4,排除D;当x=3时,y=0.76,排除C.故选A.
8.解析　(1)设v=klog3(k≠0),
则,
解得k=,
∴v关于x的函数解析式为v=(x≥100).
(2)当游速为1.5 m/s时,
由解析式得1.5=,
∴log3=3,
∴=27,解得x=2 700,
即耗氧量为2 700个单位.
(3)设原来的游速为v0 m/s,耗氧量为x0,游速增加1 m/s后为(v0+1)m/s,耗氧量为x,
则v0=,①
v0+1=,②
②-①,得1=
=,
∴log3=2,
∴=32=9.
∴耗氧量是原来的9倍.
9.D　由题意可知,函数模型对应的函数是个增函数,而且增长速度越来越慢,故应采用对数型函数来建立函数模型,故选D.
10.A　由题中的图象可知,该函数模型应为指数函数,设指数函数为y=at(a≠0),将点(2,4)代入,得a=2,所以指数函数的解析式为y=2t .故选A.
11.C　由题表可知v随着t的增大而增大,所以排除B;
对于A,log21.99≈1,log23≈1.58,log24=2,所以排除A;
对于C,≈1.5,≈12.5,≈18.2,所以C中的函数比较接近;
对于D,2×1.99-2=1.98,2×3-2=4,2×4-2=6,2×5.1-2=8.2,2×6.12-2=10.24,所以排除D.故选C.
12.解析　(1)依题意知第10天该商品的日销售收入为P(10)·Q(10)=×110=121,解得k=1,即k的值为1.
(2)由题中的数据知,当时间变化时,该商品的日销售量有增有减,并不单调,而①③④中的函数为单调函数,故只能选②,即Q(x)=a|x-25|+b.
从题表中可得Q(10)=110,Q(20)=120,解得a=-1,b=125, 故Q(x)=125-|x-25|(1≤x≤30,x∈N*).
(3)由(2)知Q(x)=125-|x-25|=
∴f(x)=P(x)·Q(x)
=
当1≤x<25时,y=x+在区间[1,10)上单调递减,在区间[10,25)上单调递增,所以当x=10 时, f(x)取得最小值,且f(x)min=121;
当25≤x≤30时,y=-x是单调递减的,所以当x=30时,f(x)取得最小值,且f(x)min=124.
综上所述,当x=10时,f(x)取得最小值,且f(x)min=121.
故该商品的日销售收入f(x)的最小值为121元.
能力提升
1.C　由题意可得,△ADE∽△ABC,设DE=x,DG=y,则 y=30-x,所以矩形的面积为xy=x(30-x)=-(x-15)2+225,所以当矩形的长为15时,面积最大,为225.故选C.
2.C　由该工人装配第9件工件用时20分钟,装配第M件工件用时12分钟及函数f(n)的解析式知f(9)==20,∴k=60,又4<9,∴f(4)==30.故选C.
3.解析　(1)生产A、B两种产品的年利润分别为y1=10x-(20+mx)=(10-m)x-20,0≤x≤200,且x∈N;
y2=18x-(40+8x)-0.05x2=-0.05x2+10x-40=-0.05(x-100)2+460,0≤x≤120,且x∈N.
(2)因为6≤m≤8,所以10-m>0,所以y1=(10-m)x-20为增函数,
又0≤x≤200且x∈N,所以x=200时,生产A产品有最大利润,最大利润为(10-m)×200-20=1 980-200m(万美元).
y2=-0.05(x-100)2+460,0≤x≤120且x∈N,
所以x=100时,生产B产品有最大利润,最大利润为460万美元.
(y1)max-(y2)max=(1 980-200m)-460=1 520-200m.
令1 520-200m>0,得6≤m<7.6;
令1 520-200m=0,得m=7.6;
令1 520-200m<0,得7.6所以当6≤m<7.6时,投资生产A产品200件获得最大年利润;
当7.6当m=7.6时,投资生产A产品200件和投资B产品100件都可获得最大年利润,且最大年利润一样.
4.C　当t=4时,y=5,所以5=101+4a,即1+4a=lg 5,解得a=.
设经过m min后,剩余的细沙量为 cm3,则1=10·,即,解得m=12,所以再经过的时间x=12-4=8.
故选C.
5.B　因为η=10·lg,
所以将η1=70,η2=60代入,
得
两式相减,得10=10·,
即lg=1,所以=10.
故选B.
6.答案　8
解析　由题意得n≤log24 200
=
=,
因为log210=≈<1,
所以n≤8+,
所以n的最大值为8.
故答案为8.
7.答案　①②④
解析　由题图知,函数y=at-1(a>0且a≠1)的图象经过点(2,2),
所以2=a2-1 ,解得a=2,所以浮草蔓延后的面积y(平方米)与时间t(月)之间的函数关系式是y=2t-1.
①当t=0时,y=,故①正确.
②当t=8时,y=28-1=27=128>60,故②正确.
③当t=1时,y=1,增加0.5;当t=2时,y=2,增加1,故每月增加的面积不相等,故③错误.
④令=10,解得t1=log210+1,
同理,t2=log220+1,t3=log230+1,
所以2t2=2log220+2=log2400+2>t1+t2=log2300+2,故④正确.
故答案为①②④.
8.解析　(1)由题意可知,当t=0时,P=P0,当t=5时,P=(1-10%)P0,于是有(1-10%)P0=P0e-5k,解得k=-ln 0.9,∴P=P0.当t=10时,P=P0=P0eln 0.81=81%P0,
∴过滤开始后经过10小时还剩81%的污染物.
(2)当P=50%P0时,有50%P0=P0,
解得t=≈35.
∴污染物减少50%所需要的时间约为35小时.
9.C　由题意知,每分钟滴下π cm3药液,
当4≤h≤13时,xπ=π·42·(13-h),即h=13-,此时0≤x≤144;
当1≤h<4时,xπ=π·42·9+π·22·(4-h),即h=40-,此时144∴函数单调递减,且144故选C.
10.解析　(1)由题表知,市场价y随上市时间x的增大先减小后增大.
模型①③均为单调函数,不符合题意,
故选择②二次函数模型.
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由题表中数据可知解得
∴f(x)=x2-6x+10(x≥0).
(2)由(1)知f(x)=x2-6x+10=(x-3)2+1,
当x=3时,f(x)取得最小值,为1,
故黑山谷纪念邮票市场价最低时的上市时间为第3天,最低价格为1元.
11.解析　若以y=a·ekx为模拟函数,将(10,4),(40,18)代入函数关系式,得解得
∴y=2.422 8e0.050 136x.
以此函数关系式计算车速为90 km/h,100 km/h时的停车距离分别为220.8 m,364.5 m,与实际数据相比误差较大.
若以y=a·xn为模拟函数,将(10,4),(40,18)代入函数关系式,得解得
∴y=0.328 9x1.085.
以此函数关系式计算车速为90 km/h,100 km/h时的停车距离分别为43.39 m,48.65 m,与实际情况相比误差也较大.
若以y=ax2+bx+c为模拟函数,将(10,4),(40,18),(60,34)代入函数关系式,得
解得
∴y=x+2.
以此函数关系式计算车速为90 km/h,100 km/h时的停车距离分别为68 m,82 m,与前两个相比,它最符合实际情况.
当x=120时,y=114,即当车速为120 km/h时,停车距离为114 m.
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