苏教版（2019）高中数学必修第一册 8.2.2 函数的实际应用 【能力提升】（含解析）

8.2.2　函数的实际应用
能力提升
一次函数、二次函数及反比例函数模型
1.在如图所示的三角形ABC空地中,欲建一个如图所示的内接矩形 DEFG花园(阴影部分),则该矩形花园的面积的最大值为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.120 B.210 C.225 D.300
2.为贯彻执行党中央“不忘初心,牢记使命”主题教育活动,增强企业的凝聚力和竞争力.某重装企业的装配分厂举行装配工人技术大比武,根据以往技术资料统计,某工人装配第n件工件所用的时间(单位:分钟)f(n)大致服从的关系为f(n)=k、M为常数.如果该工人装配第9件工件用时20分钟,装配第M件工件用时12分钟,那么可大致推出该工人装配第4件工件所用的时间是(　　)
A.40分钟 B.35分钟
C.30分钟 D.25分钟
3.某企业为打入国际市场,决定从A,B两种产品中只选择一种进行投资生产.已知投资生产这两种产品的有关数据如下表:
项目类别 年固定 成本 (单位: 万美元) 每件产 品成本 (单位: 万美元) 每件产品 销售价 (单位: 万美元) 每年最多可 生产的件数
A产品 20 m 10 200
B产品 40 8 18 120
其中年固定成本与年生产的件数无关,m为待定常数,其值由生产A产品的原材料价格决定,m∈[6,8].另外,年销售x件B产品时需上缴0.05x2万美元的特别关税.假设生产出来的产品都能在当年销售出去.
(1)写出该厂分别投资生产A,B两种产品的年利润(单位:万美元)y1、y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系,并指明其定义域;
(2)如何投资才可获得最大年利润 请你做出规划.
指数型函数模型、对数型函数模型
4.安装了某种特殊装置的容器内有细沙10 cm3,容器倒置后,细沙从容器内流出,t min后容器内剩余的细沙量为y=101+at(单位:cm3),其中a为常数.经过4 min后发现容器内还剩余5 cm3的细沙,再经过x min后,容器中细沙的剩余量为1.25 cm3,则x=(　　)
A.4 B.6 C.8 D.12
5.我们处在一个有声世界里,不同场合,人们对声音的音量会有不同要求.音量大小的单位是分贝(dB),对于一个强度为I的声波,其音量的大小η可由如下公式计算: η=10·lg(其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度),设η1=70的声音强度为I1,η2=60的声音强度为I2,则I1是I2的(　　)
A.倍 B.10倍 C.1倍 D.ln倍
6.我们经常听到这样一种说法:一张纸经过一定次数对折之后,厚度能超过地月距离.但实际上,因为纸张本身有厚度,所以我们并不能将纸张无限次对折,当纸张的厚度超过纸张的长边时,便不能继续对折了,一张长边为w,厚度为x的矩形纸张沿两个方向不断对折,则经过两次对折,长边变为w,厚度变为4x.在理想情况下,对折次数n有下列关系:n≤(注:lg 2≈0.3),根据以上信息,一张长为21 cm,厚度为0.05 mm的纸最多能对折　　　　次.
7.某池塘中原有一块浮草,浮草蔓延后的面积y(平方米)与时间t(月)之间的函数关系式是y=at-1(a>0且a≠1),它的图象如图所示,给出以下命题:①池塘中原有浮草的面积是0.5平方米;②第8个月浮草的面积超过60平方米;③浮草每月增加的面积都相等;④若浮草面积达到10平方米,20平方米,30平方米所经过的时间分别为t1,t2,t3,则2t2>t1+t3.其中正确命题的序号为　　　　.
8.某工厂产生的废气经过过滤后排放,过滤过程中废气的剩余污染物数量P(mg/L)与过滤开始后的时间t(小时)的关系为P=P0e-kt,其中P0为过滤开始时废气的污染物数量,k为常数.如果过滤开始后经过5小时消除了10%的污染物,试求:
(1)过滤开始后经过10小时还剩百分之几的污染物;
(2)污染物减少50%所需要的时间.(参考数据:ln 2≈0.7,ln 3≈1.1,ln 5≈1.6)
建立、拟合函数模型
9.2019年诺贝尔生理学或医学奖获得者威廉·凯林(William G.Kaelin Jr)在研究肾癌的VEGF抑制剂过程中使用的输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时,滴管内匀速滴下液体(滴管内液体忽略不计),设输液开始后x分钟,瓶内液面与进气管的距离为h厘米,已知当x=0时,h=13.如果瓶内的药液恰好156分钟滴完,则函数h=f(x)的图象为(　　)
10.为纪念重庆黑山谷晋升国家5A级景区五周年,特发行黑山谷纪念邮票,从2017年11月1日起开始上市.通过市场调查,得到该纪念邮票在一周内每张的市场价y(单位:元)与上市时间x(单位:天)的数据如下:
上市时间x(天) 1 2 6
市场价y(元) 5 2 10
(1)分析上表数据,说明黑山谷纪念邮票的市场价y(单位:元)与上市时间x(单位:天)的变化关系,并判断y与x满足下列哪种函数关系:①一次函数,②二次函数,③对数函数,并求出函数的解析式;
(2)利用你选取的函数,求黑山谷纪念邮票市场价最低时的上市天数及最低价格.
11.下表是某款车的车速与刹车后的停车距离的数据,试分别就y=a·ekx,y=axn,y=ax2+bx+c三种函数关系建立数学模型,并探讨最佳模拟,根据最佳模拟求车速为120 km/h时的刹车距离.
车速/(km/h) 10 15 30 40 50
停车距离/m 4 7 12 18 25
车速/(km/h) 60 70 80 90 100
停车距离/m 34 43 54 66 80
答案全解全析
8.2.2　函数的实际应用
能力提升
1.C　由题意可得,△ADE∽△ABC,设DE=x,DG=y,则 y=30-x,所以矩形的面积为xy=x(30-x)=-(x-15)2+225,所以当矩形的长为15时,面积最大,为225.故选C.
2.C　由该工人装配第9件工件用时20分钟,装配第M件工件用时12分钟及函数f(n)的解析式知f(9)==20,∴k=60,又4<9,∴f(4)==30.故选C.
3.解析　(1)生产A、B两种产品的年利润分别为y1=10x-(20+mx)=(10-m)x-20,0≤x≤200,且x∈N;
y2=18x-(40+8x)-0.05x2=-0.05x2+10x-40=-0.05(x-100)2+460,0≤x≤120,且x∈N.
(2)因为6≤m≤8,所以10-m>0,所以y1=(10-m)x-20为增函数,
又0≤x≤200且x∈N,所以x=200时,生产A产品有最大利润,最大利润为(10-m)×200-20=1 980-200m(万美元).
y2=-0.05(x-100)2+460,0≤x≤120且x∈N,
所以x=100时,生产B产品有最大利润,最大利润为460万美元.
(y1)max-(y2)max=(1 980-200m)-460=1 520-200m.
令1 520-200m>0,得6≤m<7.6;
令1 520-200m=0,得m=7.6;
令1 520-200m<0,得7.6所以当6≤m<7.6时,投资生产A产品200件获得最大年利润;
当7.6当m=7.6时,投资生产A产品200件和投资B产品100件都可获得最大年利润,且最大年利润一样.
4.C　当t=4时,y=5,所以5=101+4a,即1+4a=lg 5,解得a=.
设经过m min后,剩余的细沙量为 cm3,则1=10·,即,解得m=12,所以再经过的时间x=12-4=8.
故选C.
5.B　因为η=10·lg,
所以将η1=70,η2=60代入,
得
两式相减,得10=10·,
即lg=1,所以=10.
故选B.
6.答案　8
解析　由题意得n≤log24 200
=
=,
因为log210=≈<1,
所以n≤8+,
所以n的最大值为8.
故答案为8.
7.答案　①②④
解析　由题图知,函数y=at-1(a>0且a≠1)的图象经过点(2,2),
所以2=a2-1 ,解得a=2,所以浮草蔓延后的面积y(平方米)与时间t(月)之间的函数关系式是y=2t-1.
①当t=0时,y=,故①正确.
②当t=8时,y=28-1=27=128>60,故②正确.
③当t=1时,y=1,增加0.5;当t=2时,y=2,增加1,故每月增加的面积不相等,故③错误.
④令=10,解得t1=log210+1,
同理,t2=log220+1,t3=log230+1,
所以2t2=2log220+2=log2400+2>t1+t2=log2300+2,故④正确.
故答案为①②④.
8.解析　(1)由题意可知,当t=0时,P=P0,当t=5时,P=(1-10%)P0,于是有(1-10%)P0=P0e-5k,解得k=-ln 0.9,∴P=P0.当t=10时,P=P0=P0eln 0.81=81%P0,
∴过滤开始后经过10小时还剩81%的污染物.
(2)当P=50%P0时,有50%P0=P0,
解得t=≈35.
∴污染物减少50%所需要的时间约为35小时.
9.C　由题意知,每分钟滴下π cm3药液,
当4≤h≤13时,xπ=π·42·(13-h),即h=13-,此时0≤x≤144;
当1≤h<4时,xπ=π·42·9+π·22·(4-h),即h=40-,此时144∴函数单调递减,且144故选C.
10.解析　(1)由题表知,市场价y随上市时间x的增大先减小后增大.
模型①③均为单调函数,不符合题意,
故选择②二次函数模型.
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由题表中数据可知解得
∴f(x)=x2-6x+10(x≥0).
(2)由(1)知f(x)=x2-6x+10=(x-3)2+1,
当x=3时,f(x)取得最小值,为1,
故黑山谷纪念邮票市场价最低时的上市时间为第3天,最低价格为1元.
11.解析　若以y=a·ekx为模拟函数,将(10,4),(40,18)代入函数关系式,得解得
∴y=2.422 8e0.050 136x.
以此函数关系式计算车速为90 km/h,100 km/h时的停车距离分别为220.8 m,364.5 m,与实际数据相比误差较大.
若以y=a·xn为模拟函数,将(10,4),(40,18)代入函数关系式,得解得
∴y=0.328 9x1.085.
以此函数关系式计算车速为90 km/h,100 km/h时的停车距离分别为43.39 m,48.65 m,与实际情况相比误差也较大.
若以y=ax2+bx+c为模拟函数,将(10,4),(40,18),(60,34)代入函数关系式,得
解得
∴y=x+2.
以此函数关系式计算车速为90 km/h,100 km/h时的停车距离分别为68 m,82 m,与前两个相比,它最符合实际情况.
当x=120时,y=114,即当车速为120 km/h时,停车距离为114 m.
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