《函数的实际应用》同步练习
一、选择题
1.下表是某次测量中两个变量x，y的一组数据，若将y表示为关于x的函数，则最可能的函数模型是（ ）
A.一次函数模型
B.二次函数模型
C.指数函数模型
D.对数函数模型
2.现存入银行8万元，年利率为250%，若采用1年期自动转存业务，则5年末的本利和共有（ ）
A.万元
B.万元
C.万元
D.万元
3.某超市宣传在“双十一”期间对顾客购物实行一定的优惠，超市规定：
①如一次性购物不超过200元不予以折扣；
②如一次性购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；
③如一次性购物超过500元的，其中500元给予9折优惠，超过500元的部分给予八五折优惠.
某人两次去购物分别付款176元和441元，如果他只去次购买同样的商品，则应付款（ ）
A.608元
B.591.1元
C.582.6元
D.4568元
二、填空题
4.冬天来了，燕子要飞到温暖的南方去过冬.鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度υ与耗氧量x之间满足，若两岁燕子耗氧量达到40个单位时，其飞行速度为m/s，则当两岁燕子飞行速度为15m/s时，耗氧量达到________个单位.
5.麋鹿是国家一级保护动物，位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区，成立于1985年，最初年年底只有麇鹿100头，由于科学的人工培育，这种当初快要濒临灭绝的动物的数量y（头）与时间x（年）的关系可以近似地由关系式给出，则2000年年底它们的数量约为________头.
6.某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为（其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数），则_________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个.
三、解答题
7.东方旅社有100张普通客床，若每床每夜收租费10元时，客床可以全部租出；若每床每夜收费提高2元，便减少10张客床租出；若再提高2元，便再减少10张客床租出；依此情况继续下去为了获得租金最多，每床每夜租金应定为多少元？
8.某租车公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加60元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每月需要维护费160元，未租出的车每月需要维护费40元.
（1）当每辆车的月租金定为3900元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金为多少元时，租车公司的月收益最大？最大月收益是多少？
9.某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如下表：
为估计以后每月对该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数或（a，b为常数，且）来模拟这种电脑元件的月产量y（千件）与月份x的关系请问：用以上哪个模拟函数较好？说明理由.
参考答案
1.
答案：D
解析：观察图表中函数值y随自变量x变化规律，得到：随着自变量x增加，函数值y也在增加，但是增加的幅度越来越小，它最可能的函数模型为对数函数模型.
2.
答案：C
解析：5年末的本利和为（万元）.
3.
答案：B
解析：由题意知付款441元时，实际标价为元，如果一次购买标价元的商品，应付款元.
4.
答案：80
解析：两岁燕子的飞行速度υ与耗氧量x之间满足，两岁燕子耗氧量达到40个单位时，其飞行速度为m/s，，解得. ，则当两岁燕子飞行速度为15m/s时，满足，解得.耗氧量达到80个单位.
5.
答案：400
解析：由题意知，，代入关系式得，2000年年底时，，代入关系式得.
6.
答案：
解析：当时，.当时，.
7.
答案：见解析
解析：设每床每夜租金为（）元，则租出的客床张数为（且）.
租金
，其中且.
所以，当时，租金最多.
若，则租出客床（张）；
若，则租出客床（张）.
综合考虑，n应当取3，
即每床每夜租金应定为（元）.
8.
答案：见解析
解析：（1）租金增加了900元，，
所以未租出的车有15辆，所以能租出85辆.
（2）设租金提高后有x辆未租出，则已租出（）辆设租车公司的月收益为y元，则
,
其中，
整理，得,
当时，，
即最大月收益为324560元.
此时，月租金为（元）.
9.
答案：见解析
解析：将分别代入两函数关系式得或
解得（两方程组的解相同）.
两函数分别为.
当时，对于；
当时，对于有.
由于56与53.9的误差较大，
选较好.
1 / 5《函数的实际应用》核心素养专练
必备知识练
必备知识1 用已知函数模型解决实际问题
一、选择题
1.某厂日产手套总成本y（元）与手套日产量x（副）的函数关系式为，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为（ ）
A.200副
B.400副
C.600副
D.800副
2.某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润（单位：万元）为，在B地的销售利润（单位：万元）为，其中x为销售量（单位：辆）若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是（ ）
A.10.5万元
B.11万元
C.43万元
D.43.025万元
必备知识2 建立函数模型解决实际问题
3.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图所示为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片（如图中阴影部分）备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、解答题
4.某市一家商场的新年最高促销奖设立了三种领奖方式，这三种领奖方式如下
方式一：每天到该商场领取奖品，价值为40元；
方式二：第一天领取的奖品的价值为10元，以后每天比前一天多10元；
方式三：第一天领取的奖品的价值为0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.
（1）若商场的奖品总价值不超过1200元，要使每种领奖方式都能单独有效进行，则促销奖的领奖活动最长设置为几天
（2）在（1）的条件下，你认为哪种领奖方式让领奖者受益更多？（参考数据：）
关键能力练
关键能力1 分段函数模型应用
一、选择题
5.已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到达B地在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地，则汽车离开A地的距离x关于时间t（时）的函数关系式是（ ）
A.
B.
C.
D.
6.某上市股票在30天内每股的交易价格P（元）与时间t（天）所组成的有序数对，点落在下图中的两条线段上该股票在30天内的日交易量Q（万股）与时间t（天）的部分数据如下表所示，且Q与t满足一次函数关系，那么在这30天中第几天的日交易额最大（ ）
A.10
B.15
C.20
D.25
关键能力2 函数模型的选择
一、选择题
7.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：万元）对年销售量y（单位：t）的影响，对近6年的年宣传费；和年销售量进行整理，得数据如下表所示：
根据表中数据，下列函数中，适宜作为年销售量y关于年宣传费x的拟合函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、解答题
8.某品牌手机销售商今年1、2、3月份的销售量分别是1万部、1.2万部、1.3万部，为估计以后每个月的销售量，以这三个月的销售量为依据，用一个函数模拟该品牌手机的销售量y（单位：万部）与月份x之间的关系现从二次函数或函数（）中选用一个效果好的函数进行模拟，如果4月份的销售量为1.37万件，则5月份的销售量为多少万件
参考答案
1.
答案：D
解析：由，解得，即日产手套至少800副时才不亏本.
2.
答案：C
解析：设该公司在A地销售该种品牌的汽车x辆，则在B地销售该种品牌的汽车（）辆，
所以可得利润.因为且，所以当或11时，能获得最大利润43万元.
3.
答案：A
解析：由三角形相似得，得,.
当时，S有最大值，此时.
4.
答案：见解析
解析：（1）设促销奖的领奖活动为x天，三种方式的领取奖品总价值分别为，，，则
，
,
.
要使奖品总价值不超过1200元，则
可得
解得,
促销奖的领奖活动最长可设置为11天，
（2）由,
得，
故在（1）的条件下，在这11天内选择方式三会让领奖者受益更多.
5.
答案：D
解析：显然出发、停留、返回三个过程中行车速度是不同的，故应分三段表示函数.
6.
答案：B
解析：当时，设，则由题意可知其图象过点，所以解得，所以.
同理可得，当时，.
综上可得，
由题意可设，把代入可得
解得，所以，
所以
当时，时，；当时，时，.综上可得，第15天的日交易额最大.
7.
答案：B
解析：根据表中数据可得函数随着x的增长而增长，且增长速度越来越趋向于平缓，例如：当时，；当时，.故适宜作为年销售量y关于年宣传费x的拟合函数的是对数型函数.
8.
答案：见解析
解析：对于二次函数，
由已知得解得
.
当时，.
对于函数，
由已知得解得
.
当时，.
根据4月份的实际销售量为1.37万件,
而，
用函数作为模拟函数较好.
故5月份的销售量为万件.
3 / 7《函数的实际应用》智能提升
一、选择题
1.“每天进步一点点”可以用数学来诠释：假如你今天的数学水平是1，以后每天比前一天增加千分之五，则经过x天之后，你的数学水平y与x之间的函数关系式是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池（如图），由于地形限制，长、宽都不能超过16米.如果池四周围壁建造单价为400元/米，中间两道隔壁墙建造单价为248元/米，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计设污水池的长为x米，总造价为Q（x）（元），则Q（x）的表达式为（ ）
A.
B.
C.
D.
3.衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸的体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为.已知新丸经过50天后，体积变为.若一个新丸体积变为，则需经过的天数为（ ）
A.125
B.100
C.75
D.50
二、填空题
4.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭（除燃料外）的质量m千克的函数关系式是.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒.
5.建造一个容积为8深为2m的长方体形状的无盖水池，已知池底和池壁的造价别为120元/和80元/，总造价y（单位：元）关于底面一边长x（单位：m）的函数关系式为___________.
6.某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产已知该生产线连续生产n年的累计产量为吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是_________年.
三、解答题
7.芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场，某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q（单位为：元/10kg）与上市时间t（单位：天）的数据情况如下表：
（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系：；
（2）利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.
8.一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.
（1）求每年砍伐面积的百分比；
（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
（3）今后最多还能砍伐多少年？
9.改革开放四十周年纪念币从2018年12月5日起可以开始预约通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下：
（1）根据上表数据，从下列函数：①；②；③中选取一个恰当的函数刻画改革开放四十周年纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由；
（2）利用你选取的函数，求改革开放四十周年纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格.
参考答案
1.
答案：B
解析：1天后，，2天后，，3天后，，，x天后，.
2.
答案：A
解析：污水池的宽为，则四周池壁总造价为，池底造价为，两道隔壁墙造价为，
.由题意可知解得.
3.
答案：C
解析：由已知得,即.
.
4.
答案：
解析：当时，.
5.
答案：（）
解析：无盖长方体的深为2m，底面一边长xm，容积为，另一边长为.池底和池壁的造价分别为120元/和80元/，总造价.
6.
答案：7
解析：由题意知，第一年产量为；以后各年产量分别为，令，得，故生产期限最长为7年.
7.
答案：见解析
解析：（1）由表中提供的数据可知，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常值函数，若用函数，中的任意一个来反映时都应有，且上述三个函数均为单调函数，这与表中提供的数据不符合，所以应选用二次函数进行描述.
（2）将表中提供的三组数据分别代入，
可得
解得.
所以刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为.
当时，芦荟种植成本最低，
（元/10kg）.
8.
答案：见解析
解析：（1）设每年砍伐面积的百分比为x（），则,即,
解得.
（2）设经过m年剩余面积为原来的，则,
即
解得，故到今年为止，已砍伐了5年.
（3）设从今年开始，以后砍了n年，
则n年后剩余面积为.
令，即.
,解得.
故今后最多还能砍伐15年.
9.
答案：见解析
解析：（1）由表格可知随着上市时间的增加，市场价y先减少，后增大，而函数和均为单调函数，显然不符合题意；故选择函数模型.
（2）把分别代入，
得解得
.
上市天数为20时，市场价最低，最低价格为10元.
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