苏教版（2019）高中数学必修第一册 《第8章 函数应用》单元综合测试A（含解析）

《函数应用》单元综合测试A
（时间：120分钟满分：150分）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.函数的零点个数是（ ）
A.3
B.2
C.1
D.0
3.已知函数，若存在实数k，使得关于x的方程有两个不同的实数根，则的值为（ ）
A1
B.2
C.4
D.不确定
4.若幂函数的图象过点，则函数的零点是（ ）
A.
B.9
C.
D.
5.用二分法求方程在区间上的唯一实数解时，经计算得，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.或
6.函数的一个零点所在的区间是（ ）
A.
B.
C.
D.
7.已知函数则使函数有零点的实数m的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
8.已知，则方程的实根个数为（ ）
A.2
B.3
C.4
D.与a的值有关
9.已知是函数，的一个零点.若，则（ ）
A.
B.
C.
D.
10.某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：（1）如一次购物不超过200元，不予以折扣；（2）如一次购物超过200元但不超过500元，按标价予以九折优惠；（3）如一次购物超过500元，其中500元给予九折优惠，超过500元的部分给予八五折优惠某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款（ ）
A.608元
B.574.1元
C.5826元
D.4568元
11.已知函数.若有2个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
12.已知函数若函数有三个零点，则m的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.根据表格中的数据，若函数在区间内有一个零点，则k的值为__________.
14.函数则函数的所有零点所构成的集合为_________.
15.将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t秒后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线，假设过5秒后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m秒甲桶中的水只有升，则m的值为_________.
16.某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元又知总收入K是单位产品数Q的函数，，则总利润
L（Q）的最大值是_________万元.
三、解答题（共70分）
17.（10分）已知函数，
（1）m为何值时，函数的图象与x轴有两个交点？
（2）如果函数的一个零点在原点，求m的值.
18（12分）设函数.
（1）作出函数的大致图象；
（2）当，且时，求的值；
（3）若方程有两个不相等的正实数根，求m的取值范围.
19.（12分）已知函数.
（1）当时，求函数的零点；
（2）若有两个零点，求实数m的取值范围.
20.（12分）已知函数.
（1）当是偶函数时，求实数k的值；
（2）设若函数存在零点求实数a的取值范围.
21.（12分）数据显示，某IT公司2018年上半年五个月的收入情况如下表所示：
根据上述数据，在建立该公司2018年月收人y（万元）与月份x的函数模型时，给出两个函数模型与供选择.
（1）你认为哪个函数模型较好，并简单说明理由；
（2）试用你认为较好的函数模型，分析大约从第几个月份开始，该公司的月收入会超过100万元？（参考数据）
22.（12分）通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲授开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散分析结果和实验表明，用表示学生掌握和接受概念的能力（的值越大，表示学生的接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：min），可有以下公式：
（1）讲课开始后5min和讲课开始后20min比较，何时学生的注意力更集中？
（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中，能持续多久？
（3）一道数学难题，需要讲解13min，并且要求学生的注意力至少达到55，那么老师能否在学生达到所需状态下讲授完这道题目？请说明理由.
参考答案
1.
答案：A
解析：对于A，定义域为R，且，是偶函数，且有无数个零点；对于B，，是奇函数，有无数个零点；对于C，定义域为，所以是非奇非偶函数，有一个零点；对于D，定义域为R，是偶函数，没有零点.
2.
答案：A
解析：令，则.画出函数与的大致图象，如图所示.
由图可知，两函数图象有3个交点，所以函数有3个零点.
3.
答案：C
解析：由题意知，有两个不同的实数根.设，则，则，故.
4.
答案：B
解析：设幂函数的图象过点，解得函数.由，得函数的零点是9.
5.
答案：C
解析：.
6.
答案：B
解析：易知函数是增函数,函数的个零点所在的区间是.
7.
答案：D
解析：函数的零点就是方程的根，作出函数的大致图象（图略），观察它与直线的交点可知，当时有交点，即函数有零点.
8.
答案：A
解析：设，分别作出它们的大致图像如图所示.
由图可知，有两个交点，故方程有两个根.
9.
答案：B
解析：由两部分组成，在上单调递增，在上单调递增,在上单调递增..又.
10.
答案：C
解析：本题实际上是一个分段函数的问题，购物付款10432元，实际商品价值为（元），则一次购买标价为176+480=656（元）的商品应付款（元）.
11.
答案：D
解析：
令，得.
设和，在同一直角坐标系内画出两函数的大致图象，如图所示.
由图可知，若有2个零点，则实数a的取值范围是.
12.
答案：B
解析：作出的大致图象如图所示.
设，则由图可知，
当时，有两个根；
当时，只有一个根.
函数有三个零点，
等价为函数有两个零点，
其中，则满足
解得即.
13.
答案：3
解析：由表中数据可知，，
，
，
，
，
的值为3.
14.
答案：
解析：由题意知.由得，则函数的零点就是使的x值.
解得或；解得，从而函数的零点构成的集合为.
15.
答案：5
解析：5秒后两桶水量相等，.
秒后水量为升，，即 .
16.
答案：2500
解析：由已知得 ，所以当时，（万元）.
17.
答案：见解析
解析：（1）函数的图象与x轴有两个交点，
即
整理得
即当，且时，函数的图象与x轴有两个交点.
（2）函数的一个零点在原点，即点在函数的图象上，
，
即.
.
18.
答案：见解析
解析：（1）作出函数的大致图象如图所示.
（2）
在上是减函数，在上是增函数.
由，且，
得，且,
.
（3）由函数的图象可知，当时，函数的图象与直线有两个不同的交点，即方程有两个不相等的正实数根.
19.
答案：见解析
解析：（1）当时，
.
令，得，即.
的零点是1.
（2）令，显然，则.
有两个零点，且为单调函数,
方程在上有两个实数根，
解得.
的取值范围是.
20.
答案：见解析
解析：（1）因为为偶函数，所以，
即，
变形可得,
即，所以.
（2）因为，所以.
因为函数存在零点，
所以方程有实数根，
又,
由得，则.
若方程有实数根，则必有，
即a的取值范围为.
21.
答案：见解析
解析：（1）画出散点图（图略）.
由图可知，点，基本上都落在函数的图象的附近，
因此这一函数模型较好.
（2）当时，，
即.
故大约从第9个月份开始，该公司的月收入会超过100万元.
22.
答案：见解析
解析：（1）因为，
所以讲课开始后5min，学生的注意力更集中.
（2）当时，，
所以；
当时，；
当时，；
所以讲课开始后10min，学生的注意力最集中，能持续6min.
（3）当时，令，则；
当时，令，则；
所以学生的注意力至少达到55的时间为，所以老师不能在学生达到所需状态下讲授完这道题目.
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