苏教版（2019）高中数学必修第一册 第8章 综合拔高练【模拟题】（含解析）

第8章 综合拔高练
各地模拟题目全练
1.已知函数f(x)=且方程f(x)=a有三个不同的实数根x1,x2,x3,则x1+x2+x3的取值范围为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C.[-4,+∞) D.[-4,2)
2.已知函数f(x)=关于x的方程f 2(x)-3f(x)+a-1=0(a∈R)有8个不相等的实数根,则a的取值范围是(　　)
A. B.(2,3)
C. D.
3.高斯函数是数学中的一个重要函数,在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影.设x∈R,用符号[x]表示不超过x的最大整数,如[1.6]=1,[-1.6]=-2.给定函数f(x)=x-[x],若函数f(x)=loga(a>0,a≠1)有5个解,则实数a的取值范围为(　　)
A.[5.5,6.5) B.(5.5,6.5]
C.[6.5,7.5) D.(6.5,7.5]
4.已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=4x-2,若对任意x∈R,f(x)<0或g(x)<0,则m的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
5.(多选)若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象为一条连续不断的曲线,则下列说法错误的是(　　)
A.若f(a)·f(b)>0,则不存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0
B.若f(a)·f(b)<0,则存在且只存在一个实数c∈(a,b),使得f(c)=0
C.若f(a)·f(b)>0,则有可能存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0
D.若f(a)·f(b)<0,则有可能不存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0
6.当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.2019年7月6日,第43届世界遗产大会宣布,中国良渚古城遗址成功申遗,获准列入世界遗产名录.目前中国世界遗产总数已达55处,位居世界第一.今年暑假期间,某中学的“考古学”兴趣小组对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料(草裹泥)上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测,检测出碳14的残留量约为初始量的54%.利用参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48,请你推断上述所提取的草茎遗存物距今大约有　　　　年(精确到1年).
7.已知函数f(x)=a∈R.
(1)若对任意实数m,关于x的方程f(x)=m总有实数解,求a的取值范围;
(2)若a=2,求使关于x的方程f(x)=kx有三个实数解的k的取值范围.
8.已知函数f(x)=x2-2(a+1)x-a+1,a∈R.
(1)若f(x)在区间[-1,1]上不单调,求a的取值范围;
(2)设g(x)=[(x2-2ax-a)-f(x)]·|x|,若函数y=lg g(x)在区间[t,1]上恒有意义,求实数t的取值范围;
(3)已知方程f(x)+|x2+2x|=0在(-1,2)上有两个不相等的实数根,求实数a的取值范围.
9.2019年,随着中国第一款5G手机投入市场,5G技术已经进入高速发展阶段.已知某5G手机生产厂家通过数据分析,得到如下规律:生产手机x(0≤x≤10)万台,其总成本为G(x)万元,其中固定成本为800万元,并且每生产1万台的生产成本为1 000万元(总成本=固定成本+生产成本),销售收入R(x)万元满足R(x)=
(1)将利润f(x)万元表示为产量x万台的函数;
(2)当产量x为何值时,公司所获利润最大 最大利润为多少万元
10.某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中,发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线.当t∈(0,14]时,曲线是二次函数图象的一部分,当t∈[14,40]时,曲线是函数y=loga(t-5)+83(a>0,a≠1)的图象的一部分.根据专家研究,当注意力指数p大于或等于80时听课效果最佳.
(1)试求p=f(t)的函数关系式;
(2)一道数学难题,讲解需要22分钟,问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完 请说明理由.
答案全解全析
第8章 综合拔高练
各地模拟题目全练
1.A　作出函数f(x)的图象(如图所示),方程f(x)=a有三个不同的实数根等价于函数y=f(x)的图象与直线y=a有三个交点A,B,C,
由图象知-2因为点A,B关于直线x=-2对称,
所以x1+x2=-4,-2即故-2.A　令t=f(x),由f 2(x)-3f(x)+a-1=0,得t2-3t+a-1=0,设关于t的二次方程t2-3t+a-1=0的两根分别为t1、t2,
如图所示:
关于x的方程f 2(x)-3f(x)+a-1=0(a∈R)有8个不相等的实数根,
则1设g(t)=t2-3t+a-1,
则
解得33.D　f(x+1)=x+1-[x+1]=x+1-[x]-1=x-[x]=f(x),
所以函数f(x)是以1为周期的周期函数,
当x∈[0,1)时,[x]=0,则f(x)=x,
要使得f(x)=loga(a>0,a≠1)有5个解,即函数y=loga与函数f(x)=x-[x]的图象有5个交点.
当0图①
不满足题意;
当a>1时,函数y=loga与函数y=f(x),x∈[0,+∞)的大致图象如图②所示:
图②
要使得函数y=loga与函数y=f(x)的图象有5个交点,则函数y=loga的图象低于点A,不低于点B,
故有
解得6.54.C　∵g(x)=4x-2,
∴当x<时,g(x)<0,
当x≥时,g(x)≥0,
又∵对任意x∈R,f(x)<0或g(x)<0,
∴f(x)=m(x-2m)(x+m+3)<0在x≥时恒成立,
则二次函数y=m(x-2m)(x+m+3)的图象开口只能向下,
且与x轴的交点都在点的左侧,
∴即解得-∴m的取值范围是.故选C.
5.ABD　若f(a)·f(b)>0,
则有可能存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0,
如f(x)=x2-1,f(-2)·f(2)>0,但f(x)=x2-1在(-2,2)内有两个零点,
故A中说法错误,C中说法正确;根据函数零点存在定理可判断,
若f(a)·f(b)<0,
则一定存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0,但c的个数不确定,
故B,D中说法错误.故选ABD.
6.答案　4 966
解析　设时间为t年,根据题意知:
=54%,
∴,
∴t=5 730×≈4 966.
7.解析　(1)由题意知函数f(x)的值域为R.
当x≥0时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1,
所以函数y=f(x)在区间[0,+∞)上的值域为[1,+∞);
当x<0时,f(x)=-2x2+3x+a=-2×,
则函数y=f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,此时f(x)所以函数y=f(x)在区间(-∞,0)上的值域为(-∞,a).
∴a≥1.
因此,实数a的取值范围是[1,+∞).
(2)当a=2时, f(x)=可知x=0不是方程f(x)=kx的解,
当x≠0时,由f(x)=kx,
得k=,
令g(x)=(x≠0),
则g(x)=
所以直线y=k与函数y=g(x)的图象有三个公共点.
当x>0时,由函数g(x)的图象(图略)可知,函数y=g(x)的单调递减区间为(0,],单调递增区间为(,+∞),
所以g(x)min=g(-2;
当x<0时,g(x)=-2x++3,
由于函数y=-2x+3和函数y=在区间(-∞,0)上都是减函数,
则函数y=g(x)在区间(-∞,0)上为减函数.
作出函数y=g(x)和直线y=k的大致图象,如图所示:
由图象可知,当k>2-2时,直线y=k与函数y=g(x)的图象有三个交点,
因此,实数k的取值范围是(2-2,+∞).
8.解析　(1)若f(x)在区间[-1,1]上不单调,则-1即a的取值范围是(-2,0).
(2)g(x)=[(x2-2ax-a)-f(x)]·|x|={(x2-2ax-a)-[x2-2(a+1)x-a+1]}·|x|=(2x-1)·|x|.
函数y=lg g(x)在区间[t,1]上恒有意义,
等价于对于任意的实数x∈[t,1],不等式g(x)=(2x-1)·|x|>0恒成立,(*)
当t≤时,∈[t,1],此时g=0,与(*)式矛盾,不符合题意;
当t>时,由x∈[t,1]可知,2x-1>0,|x|>0,所以g(x)>0恒成立,
即(*)式成立.
实数t还需满足t<1,
所以综上,实数t的取值范围为.
(3)令h(x)=f(x)+|x2+2x|,
方程f(x)+|x2+2x|=0在(-1,2)上有两个不相等的实数根,等价于函数h(x)在区间(-1,2)上存在两个零点.
因为h(x)=f(x)+|x2+2x|=
且h(x)在x=0处的图象不间断,
所以当a=-2时,
h(x)=无零点;
当a≠-2时,因为h(x)=-2(a+2)x-a+1在[-1,0]单调,
且其在区间[-1,0]上的图象是不间断的,所以h(x)在(-1,0)内至多有一个零点,不妨设h(x)的两个零点分别为x1,x2,并且x1若h(x)有一个零点为0,
则a=1,则h(x)=易知h(x)的零点为0或1,
所以a=1满足题意.
若0不是函数h(x)的零点,
则函数h(x)在区间(-1,2)上存在两个零点有以下两种情形:
①若-1则

1②若0则

-1综上,实数a的取值范围是.
9.解析　(1)由题意得G(x)=800+1 000x.
因为R(x)=
所以f(x)=R(x)-G(x)
=
(2)由(1)可得,当0≤x≤5时, f(x)=-400×(x-4)2+5 600,
所以当x=4时,f(x)max=5 600(万元);
当5所以当x=10时,f(x)max=5 400,5 600>5 400,
所以当产量x为4时,公司所获利润最大,最大利润为5 600万元.
10.解析　(1)当t∈(0,14]时,设p=f(t)=c(t-12)2+82(c<0),
将点(14,81)代入得c=-,
则当t∈(0,14]时,p=f(t)=-(t-12)2+82;
当t∈[14,40]时,
将点(14,81)代入y=loga(t-5)+83,得a=.
则当t∈[14,40]时,p=f(t)=lo(t-5)+83,
所以p=f(t)
=
(2)当t∈(0,14]时,令-(t-12)2+82≥80,解得12-2≤t≤12+2,
所以t∈[12-2,14];
当t∈(14,40]时,令lo(t-5)+83≥80,
解得5综上,t∈[12-2,32]时学生听课效果最佳.
此时Δt=32-(12-2>22,
所以老师能经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完.
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