【专题15】 三角恒等变换综合
【知识点梳理】
1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
2、倍角公式
3、半角公式
4、辅助角公式
其中，，
【基础自测】
【答案】C
【答案】C
【答案】
【答案】
【题型分类精讲】
题型1：给值求角问题
例题1 （1）已知是三角形的内角，且，则等于（ ）
A． B． C．或 D．
（3）已知均为锐角，且，则 ．
【答案】（1）C（2） （3）
，又，故，从而．
变式1 （1）已知，，求角.
（2）已知，，，求的值．
【答案】（1）；
∵，∴．且，
∴，∴．
（2）；
∵
又由，∴，．①
由，，∴．得到． ②
由①．②知．
∵∴．
题型2：角的代换
例题1
【答案】
原式=
=
==
变式1（1）求值；
（2）求的值；
（3）求的值．
【答案】（1）；
原式
．
（2）；
原式
．
（3）；
原式
=
例题2 （1）已知为锐角，且，则的值为 ．
（2）已知、均为钝角，且，，则．
（3）已知，，则的值为 ．
（4）若是锐角，，则= .
【解析】对已知等式左边若用公式，则有，
∵，需解一个关于的无理方程，所以此法不妥．
若注意已知条件中的角和欲求值的角之间有关系，就可以运用公式求解．
【答案】（1）∵，∴，
∴，
∴
．
（2）∵、，∴，
∴，
∵，，∴．
∴
（3）．
（4）；
，是锐角，可得，
又，则，所以.
题型3：给值求值
例题1 已知，，，
则
【答案】
【答案】1，
根据公式得，由得，，得，,
题型4：辅助角公式
例题1 函数的最小值和最小正周期分别是( )．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】．
变式1 （1）函数在区间上的最大值是( )
A． B． C． D．
（2）函数的最小值和最小正周期分别是( )．
A． B． C． D．
（3）已知，则的值为 ．
【答案】（1）C
由，∴，∴，
∴函数的最大值为．
（2）
.
（3）
，
，
，又．
变式2 （1）已知函数的图象关于对称，则_____．
（2）设当时，函数取得最大值，则_____．
【答案】（1）；
，图象关于对称，
可知，，
则
（2）；
，其中，
由题意，当时，函数取得最大值，此时，
则.
例题2 已知函数
（1）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）由，得
所以函数的最小正周期为
因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又
，，，
所以函数在区间上的最大值为2，最小值为．
（2） 由⑴可知，
又因为，所以，
由，得，
从而，
所以．
变式3 已知函数．
（1）求的定义域及最小正周期；
（2）求的单调递增区间．
【答案】（1）由得，
故的定义域为.
因为
所以的最小正周期
（2）函数的单调递增区间为，
由，
得，
所以的单调递增区间为和
变式3 已知函数
求的最大值和最小值；
(3)若不等式在定义域上恒成立,求实数m的取值范围.
【答案】
（1）
化简得：，
又，，
即，
，，
即m的取值范围的取值范围为.【专题15】 三角恒等变换综合
【知识点梳理】
1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
2、倍角公式
3、半角公式
4、辅助角公式
其中，，
【基础自测】
【题型分类精讲】
题型1：给值求角问题
例题1 （1）已知是三角形的内角，且，则等于（ ）
A． B． C．或 D．
（3）已知均为锐角，且，则 ．
变式1 （1）已知，，求角.
（2）已知，，，求的值．
题型2：角的代换
例题1
变式1（1）求值； （2）求的值； （3）求的值．
例题2 （1）已知为锐角，且，则的值为 ．
（2）已知、均为钝角，且，，则．
（3）已知，，则的值为 ．
（4）若是锐角，，则= .
题型3：给值求值
例题1 已知，，，
则
题型4：辅助角公式
例题1 函数的最小值和最小正周期分别是( )．
A． B． C． D．
变式1 （1）函数在区间上的最大值是( )
A． B． C． D．
（2）函数的最小值和最小正周期分别是( )．
A． B． C． D．
（3）已知，则的值为 ．
变式2 （1）已知函数的图象关于对称，则_____．
（2）设当时，函数取得最大值，则_____．
例题2 已知函数
（1）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
（2）若，，求的值．
变式3 已知函数．
（1）求的定义域及最小正周期； （2）求的单调递增区间．
变式4 已知函数
求的最大值和最小值；
(3)若不等式在定义域上恒成立,求实数m的取值范围.
