【专题15】 三角恒等变换综合
【知识点梳理】
1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
2、倍角公式
3、半角公式
4、辅助角公式
其中,,
【基础自测】
【答案】C
【答案】C
【答案】
【答案】
【题型分类精讲】
题型1:给值求角问题
例题1 (1)已知是三角形的内角,且,则等于( )
A. B. C.或 D.
(3)已知均为锐角,且,则 .
【答案】(1)C(2) (3)
,又,故,从而.
变式1 (1)已知,,求角.
(2)已知,,,求的值.
【答案】(1);
∵,∴.且,
∴,∴.
(2);
∵
又由,∴,.①
由,,∴.得到. ②
由①.②知.
∵∴.
题型2:角的代换
例题1
【答案】
原式=
=
==
变式1(1)求值;
(2)求的值;
(3)求的值.
【答案】(1);
原式
.
(2);
原式
.
(3);
原式
=
例题2 (1)已知为锐角,且,则的值为 .
(2)已知、均为钝角,且,,则.
(3)已知,,则的值为 .
(4)若是锐角,,则= .
【解析】对已知等式左边若用公式,则有,
∵,需解一个关于的无理方程,所以此法不妥.
若注意已知条件中的角和欲求值的角之间有关系,就可以运用公式求解.
【答案】(1)∵,∴,
∴,
∴
.
(2)∵、,∴,
∴,
∵,,∴.
∴
(3).
(4);
,是锐角,可得,
又,则,所以.
题型3:给值求值
例题1 已知,,,
则
【答案】
【答案】1,
根据公式得,由得,,得,,
题型4:辅助角公式
例题1 函数的最小值和最小正周期分别是( ).
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
变式1 (1)函数在区间上的最大值是( )
A. B. C. D.
(2)函数的最小值和最小正周期分别是( ).
A. B. C. D.
(3)已知,则的值为 .
【答案】(1)C
由,∴,∴,
∴函数的最大值为.
(2)
.
(3)
,
,
,又.
变式2 (1)已知函数的图象关于对称,则_____.
(2)设当时,函数取得最大值,则_____.
【答案】(1);
,图象关于对称,
可知,,
则
(2);
,其中,
由题意,当时,函数取得最大值,此时,
则.
例题2 已知函数
(1)求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值;
(2)若,,求的值.
【答案】(1)由,得
所以函数的最小正周期为
因为在区间上为增函数,在区间上为减函数,又
,,,
所以函数在区间上的最大值为2,最小值为.
(2) 由⑴可知,
又因为,所以,
由,得,
从而,
所以.
变式3 已知函数.
(1)求的定义域及最小正周期;
(2)求的单调递增区间.
【答案】(1)由得,
故的定义域为.
因为
所以的最小正周期
(2)函数的单调递增区间为,
由,
得,
所以的单调递增区间为和
变式3 已知函数
求的最大值和最小值;
(3)若不等式在定义域上恒成立,求实数m的取值范围.
【答案】
(1)
化简得:,
又,,
即,
,,
即m的取值范围的取值范围为.【专题15】 三角恒等变换综合
【知识点梳理】
1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
2、倍角公式
3、半角公式
4、辅助角公式
其中,,
【基础自测】
【题型分类精讲】
题型1:给值求角问题
例题1 (1)已知是三角形的内角,且,则等于( )
A. B. C.或 D.
(3)已知均为锐角,且,则 .
变式1 (1)已知,,求角.
(2)已知,,,求的值.
题型2:角的代换
例题1
变式1(1)求值; (2)求的值; (3)求的值.
例题2 (1)已知为锐角,且,则的值为 .
(2)已知、均为钝角,且,,则.
(3)已知,,则的值为 .
(4)若是锐角,,则= .
题型3:给值求值
例题1 已知,,,
则
题型4:辅助角公式
例题1 函数的最小值和最小正周期分别是( ).
A. B. C. D.
变式1 (1)函数在区间上的最大值是( )
A. B. C. D.
(2)函数的最小值和最小正周期分别是( ).
A. B. C. D.
(3)已知,则的值为 .
变式2 (1)已知函数的图象关于对称,则_____.
(2)设当时,函数取得最大值,则_____.
例题2 已知函数
(1)求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值;
(2)若,,求的值.
变式3 已知函数.
(1)求的定义域及最小正周期; (2)求的单调递增区间.
变式4 已知函数
求的最大值和最小值;
(3)若不等式在定义域上恒成立,求实数m的取值范围.