【专题11】 三角函数（1）
重难点讲解
重难点1：弧长公式和面积公式的综合运用
【知识点讲解】
任意角与弧度制
1．角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
2．按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角． 如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个负角，它的始边和终边重合．这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角．
3．我们常在直角坐标系内讨论角．为了讨论问题的方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．那么，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
4．所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，
即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和．
5．角可以用度为单位进行度量，度的角等于周角的．用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．角还可以用弧度为单位进行度量，长度等于半径的弧所对的圆心角叫做弧度的角，用符号表示，读作弧度．的度不能省略，的弧度可以省略．在同一表达式中，不能同时出现弧度制和角度制，例如是错误的表达式．
6．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零．如果半径为的圆心角所对的弧的长为，那么，角的弧度数的绝对值是．
这里，的正负由角的终边的旋转方向决定．不同半径的圆所对的弧度是相同的．
7．； （） ； ．
我们就是根据上述等式进行角度和弧度的换算．
8．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集之间建立起一一对应的关系：每个角都有唯一的一个实数（即这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应．
9．要记忆的一些角的弧度数．
角
弧度
10．弧长公式与扇形面积公式：．
【例题精讲】
例1 1.在～ 间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角
（1）； （2）．
2.角度制与弧度制换算：
（1）＝______°，＝______° ，＝______°；
（2）______＝，＝______，＝_______．
变式1 若 ，则它是
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
例2 写出终边落在直线上的角的集合，并把中适合不等式 的元素写出来．
例3 已知与角的终边相同，判断是第几象限角？呢？
例4 如图，用弧度制表示下列终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界）．
变式1 与角终边相同的角为（ ）
变式2 集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ）
变式3 若是第一象限角（1）在直角坐标系中用阴影表示可以表示的区域；
在直角坐标系中用阴影表示可以表示的区域
例题1、已知扇形的圆心角为2弧度，其所对的弦长为2，则扇形的弧长等于
A． B． C． D．
例题2、 已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为；
（1）若，，求扇形的弧长；
（2）已知扇形的周长为，面积是，求扇形圆心角的大小；
（3）若扇形的周长为，当扇形的圆心角大小为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
变式1 已知扇形的圆心角为，半径为；（1）若扇形的周长是定值，求扇形的最大面积及此时的值；（2）若扇形的面积是定值，求扇形的最小周长及此时此时的值；
变式2一个半径为的扇形，它的周长是，则这个扇形所含弓形的面积为
A． B．
C． D．
重难点2：任意角的三角函数
【知识点讲解】
（1）单位圆：在直角坐标系中，称以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．
（2）三角函数的定义：如图所示，是任意角，以的顶点为坐标原点，以的始边为轴的正半轴，建立平面直角坐标系．
设是的终边与单位圆的交点．
①叫做的正弦，记作，即；
②叫做的余弦，记作，即；
③叫做的正切，记作，即．
（3）三角函数定义域如下表所示：
三角函数 解析式 定义域
正弦函数
余弦函数
正切函数
思考1：若（除原点外）为角α终边上任意一点的坐标，则角α的三角函数如何确定？
提示：设点到原点的距离为，则，则，
，．
2．三角函数值的符号
，，在各个象限的符号如下：
思考2：三角函数在各象限的符号是如何确定的？
提示：由三角函数的定义知，三角函数在各象限的符号由角α终边上任意一点的坐标来确定．
【例题精讲】
例题1 已知角的终边过点，且，则实数________；
变式1 如果角的终边过点，则的值为___________；
变式2 已知点在函数的图像上，且角的终边所在的直线过，则________；
例题2 已知角的终边经过点，且，，则实数等边取值范围是___________；
变式3、设是第三、四象限角，，则的取值范围是 ．
例题3 点从出发，沿单位圆逆时针方向运动的弧长到达点，则点的坐标为________；
变式4 若，试判断的符号．
重难点3：同角三角函数基本关系的应用
【解题指导】
（1）弦切互化法：利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦、切的互化；
（2）和积转化法：应用公式时注意方程思想的应用：对于，，这三个式子，利用，可以知一求二；要注意角的终边所在的象限，由此来决定所求的是一解还是两解；
（3）巧用“1”的变换：注意公式逆用及变形应用：，，；
【例题精讲】
题型一：的关系
例题1 已知，求sin、tan的值．
例题2 已知，求下列各式的值：
(1) (2)
(3) (4)
变式1 已知，则________；
变式2 已知，，求：（1）；（2）；
题型二：，，的关系
例题2 已知，且，则________；
例题3 在△ABC中,
(1)求的值;(2)求的值.
利用和即可求解.
【变式训练3】已知.
（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值.
重难点4：三角函数式的化简与证明
【知识点讲解】
，，
【例题精讲】
例题1 证明下列各式：
（1）；（2）；
三角函数式的化简技巧：
1.化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的.
2.对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.
3.对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin^2α+cos^2α=1，以降低函数次数，达到化简的目的.
证明三角恒等式常用的技巧及遵循的原则：
1.常用技巧：弦切互化、整体代换、1的代换等.
2.原则：由繁到简、变异为同.
变式1 证明：；
变式2 化简下列各式
①； ②化简；
重难点5：诱导公式的应用
【解题指导】
组数 一 二 三 四 五 六
角
正弦
余弦
正切
口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限
记忆 规律 奇变偶不变,符号看象限
1．诱导公式用法的一般思路：
（1）化大角为小角；
（2）角中含有的整数倍时，用诱导公式去掉的整数倍；
2．常见互余和互补的角：
（1）常见互余的角：与；与；与；
（2）常见互补的角：与；与；
【例题精讲】
例题1 已知，则的值构成的集合是________________；
变式1化简 ．
变式2 已知；
（1）化简；（2）若是第三象限角，且，求的值；
例题2 已知，则的值为________；
变式3 已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
例题4 已知分别是方程的两根.
(1)求和的值;
(2)若求的值.
熟练运用诱导公式,并确定相应三角函数值的符号是解题的关键.
变式4 记，那么tan100°=（ ）
变式5 已知
(1)求的值. (2)若求的值.【专题11】 三角函数（1）
重难点讲解
重难点1：弧长公式和面积公式的综合运用
【知识点讲解】
任意角与弧度制
1．角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
2．按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角． 如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个负角，它的始边和终边重合．这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角．
3．我们常在直角坐标系内讨论角．为了讨论问题的方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．那么，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
4．所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，
即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和．
5．角可以用度为单位进行度量，度的角等于周角的．用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．角还可以用弧度为单位进行度量，长度等于半径的弧所对的圆心角叫做弧度的角，用符号表示，读作弧度．的度不能省略，的弧度可以省略．在同一表达式中，不能同时出现弧度制和角度制，例如是错误的表达式．
6．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零．如果半径为的圆心角所对的弧的长为，那么，角的弧度数的绝对值是．
这里，的正负由角的终边的旋转方向决定．不同半径的圆所对的弧度是相同的．
7．； （） ； ．
我们就是根据上述等式进行角度和弧度的换算．
8．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集之间建立起一一对应的关系：每个角都有唯一的一个实数（即这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应．
9．要记忆的一些角的弧度数．
角
弧度
10．弧长公式与扇形面积公式：．
【例题精讲】
例1 1.在～ 间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角
（1）； （2）．
【答案】三 二
2.角度制与弧度制换算：
（1）＝___°，＝__° ，＝__°；
（2）＝，＝___，＝___．
变式1 若 ，则它是
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【解答】解：根据角度制与弧度制的转化，，
则 ，
分析可得，是第三象限角，【答案】．
例2 写出终边落在直线上的角的集合，并把中适合不等式 的元素写出来．
【答案】，
例3 已知与角的终边相同，判断是第几象限角？呢？
【答案】
例4 如图，用弧度制表示下列终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界）．
【答案】
变式1 与角终边相同的角为（ C ）
变式2 集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（ C ）
变式3 若是第一象限角（1）在直角坐标系中用阴影表示可以表示的区域；
在直角坐标系中用阴影表示可以表示的区域
例题1、已知扇形的圆心角为2弧度，其所对的弦长为2，则扇形的弧长等于
A． B． C． D．
【专题】：定义法；31：数形结合；58：解三角形
【解答】解：如图所示，
，，过点作，为垂足，
延长交于，则，；
中，，从而弧长为．【答案】：．
例题2、 已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为；
（1）若，，求扇形的弧长；
（2）已知扇形的周长为，面积是，求扇形圆心角的大小；
（3）若扇形的周长为，当扇形的圆心角大小为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
【答案】（1）；（2）；（3）当时，取得最大值，此时；
变式1 已知扇形的圆心角为，半径为；（1）若扇形的周长是定值，求扇形的最大面积及此时的值；（2）若扇形的面积是定值，求扇形的最小周长及此时此时的值；
【答案】（1）当时，取最大值，此时；
当，即时，取得最小值，此时；
变式2一个半径为的扇形，它的周长是，则这个扇形所含弓形的面积为
A． B．
C． D．
【解答】解：，，
可得：，
可得：，
可得：．故选：．
重难点2：任意角的三角函数
【知识点讲解】
（1）单位圆：在直角坐标系中，称以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．
（2）三角函数的定义：如图所示，是任意角，以的顶点为坐标原点，以的始边为轴的正半轴，建立平面直角坐标系．
设是的终边与单位圆的交点．
①叫做的正弦，记作，即；
②叫做的余弦，记作，即；
③叫做的正切，记作，即．
（3）三角函数定义域如下表所示：
三角函数 解析式 定义域
正弦函数
余弦函数
正切函数
思考1：若（除原点外）为角α终边上任意一点的坐标，则角α的三角函数如何确定？
提示：设点到原点的距离为，则，则，
，．
2．三角函数值的符号
，，在各个象限的符号如下：
思考2：三角函数在各象限的符号是如何确定的？
提示：由三角函数的定义知，三角函数在各象限的符号由角α终边上任意一点的坐标来确定．
【例题精讲】
例题1 已知角的终边过点，且，则实数________；
【答案】；
变式1 如果角的终边过点，则的值为___________；
【答案】；
变式2 已知点在函数的图像上，且角的终边所在的直线过，则________；
【答案】；
例题2 已知角的终边经过点，且，，则实数等边取值范围是___________；
【答案】；
变式3、设是第三、四象限角，，则的取值范围是 ．
例题3 点从出发，沿单位圆逆时针方向运动的弧长到达点，则点的坐标为________；
【答案】；
变式4 若，试判断的符号．
重难点3：同角三角函数基本关系的应用
【解题指导】
（1）弦切互化法：利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦、切的互化；
（2）和积转化法：应用公式时注意方程思想的应用：对于，，这三个式子，利用，可以知一求二；要注意角的终边所在的象限，由此来决定所求的是一解还是两解；
（3）巧用“1”的变换：注意公式逆用及变形应用：，，；
【例题精讲】
题型一：的关系
已知，求sin、tan的值．
【答案】
例题2 已知，求下列各式的值：
(1) (2)
(3) (4)
【答案】（1） （2）（3）（4）
变式1 已知，则________；
【答案】；
变式2 已知，，求：（1）；（2）；
【答案】（1）；（2）；
题型二：，，的关系
例题2 已知，且，则________；
【答案】；
例题3 在△ABC中,
(1)求的值;(2)求的值.
【解析】(1)∵ ①
∴两边平方得∴
(2)由(1)得又
又
②由①②可得
利用和即可求解.
【变式训练3】已知.
（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值.
重难点4：三角函数式的化简与证明
【知识点讲解】
，，
【例题精讲】
例题1 证明下列各式：
（1）；（2）；
【答案】略
三角函数式的化简技巧：
1.化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的.
2.对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.
3.对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin^2α+cos^2α=1，以降低函数次数，达到化简的目的.
证明三角恒等式常用的技巧及遵循的原则：
1.常用技巧：弦切互化、整体代换、1的代换等.
2.原则：由繁到简、变异为同.
变式1 证明：；
【答案】略
变式2 化简下列各式
①； ②化简；
①【答案】（根号内要凑成完全平方式）
（在未确定正负的情况下，开方保留绝对值形式）
（根据所在象限和大小关系判断正负）
②【解析】
【答案】；
重难点5：诱导公式的应用
【解题指导】
组数 一 二 三 四 五 六
角
正弦
余弦
正切
口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限
记忆 规律 奇变偶不变,符号看象限
1．诱导公式用法的一般思路：
（1）化大角为小角；
（2）角中含有的整数倍时，用诱导公式去掉的整数倍；
2．常见互余和互补的角：
（1）常见互余的角：与；与；与；
（2）常见互补的角：与；与；
【例题精讲】
例题1 已知，则的值构成的集合是________________；
【答案】；
变式1化简 ．
【分析】利用诱导公式将原函数化简为：原式，整理即可．
【解答】解：
．故答案为：．
例题2 已知，则的值为________；
【答案】；
变式2、已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
例题3 已知；
（1）化简；（2）若是第三象限角，且，求的值；
【答案】（1）；（2）；
例题4 已知分别是方程的两根.
(1)求和的值;
(2)若求的值.
【解析】(1)∵分别是方程的两根,
∴
(2)∵,∴是第三象限角.
=.
熟练运用诱导公式,并确定相应三角函数值的符号是解题的关键.
变式4 记，那么tan100°=（ A ）
变式5 已知
(1)求的值.(2)若求的值.
【解析】
(1)令则,∴
(2)∴
==
