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北京市密云区2023届高三上学期数学阶段练习试卷
一、单选题
1．（2022高二下·朝阳期末）已知集合，则（ ）
A． B．{0} C．{1} D．
2．（2022高三上·密云期中）在复平面内，若复数对应的点为，则（ ）
A． B．5 C． D．
3．（2022高三上·密云期中）已知，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高二下·朝阳期末）下列函数中既是奇函数又在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022高三上·密云期中）如图，在平行四边形中，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022高二下·海淀会考）已知是等比数列，则“”是“为递减数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2022高三上·密云期中）已知向量，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高二下·海淀会考）若曲线在某点处的切线的斜率为1，则该曲线不可能是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022高三上·密云期中）已知角的终边绕原点逆时针旋转后与角的终边重合，且，则的取值可以为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022高三上·密云期中）石景山游乐园“梦想之星”摩天轮采用国内首创的横梁中轴结构，风格现代简约.“梦想之星”摩天轮直径米，总高约米，匀速旋转一周时间为分钟，配有个球形全透视度全景座舱.如果不考虑座舱高度等其它因素，该摩天轮的示意图如图所示，游客从离地面最近的位置进入座舱，旋转一周后出舱.甲乙两名同学通过即时交流工具发现，他们两人进入各自座舱的时间相差分钟.这两名同学在摩天轮上游玩的过程中，他们所在的高度之和的最大值约为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
二、填空题
11．（2022高三上·密云期中）函数的定义域是 .
12．（2022高三上·密云期中）已知向量，.若，则 .
13．（2022高三上·密云期中）关于函数，给出下列四个结论：
①是奇函数；
②0是的极值点；
③在上有且仅有1个零点；
④的值域是.
其中，所有正确结论的序号为 .
14．（2022高三上·密云期中）已知数列的通项公式，数列的前项和为，当时，求 ；若数列的前项和最小值为，则此时可以为 .
15．（2022高三上·密云期中）如图，在中，，，.为内部（包含边界）的动点，且.则 ；的取值范围 .
三、解答题
16．（2019高二上·北京月考）已知 是等差数列，满足 ， ，数列 满足 ， ，且 是等比数列.
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和.
17．（2022高三上·密云期中）已知函数的图象经过点.
（1）求的值，并求函数的单调递增区间；
（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
18．（2022高二下·朝阳期末）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间．
19．（2022高三上·密云期中）中，角，，的对边分别为，，，设面积为，已知下列四个条件中，只能同时满足其中三个，①；②；③；④.
（1）请指出这三个条件，并说明理由；
（2）求的周长.
20．（2022高三上·密云期中）已知函数.
（1）当时，求函数的极小值；
（2）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围；
（3）若曲线存在两条互相垂直的切线，求实数的取值范围.（只需直接写出结果）
21．（2022高三上·密云期中）已知每项均为正整数的数列，，，，，，其中等于的项有个，设，．
（1）设数列，，，，求，，，，．
（2）若数列满足，求函数的最小值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】，
。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解集的方法，进而得出集合B，再利用交集的运算法则，进而得出集合A和集合B的交集。
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为复数对应的点为，
所以，
所以，.
故答案为：A
【分析】】由题知，再计算即可.
3．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；不等式的基本性质
【解析】【解答】因为，
令，可知
由指数函数单调性易知，，A符合题意；，B不符合题意；，C不符合题意；，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】令即可解决.
4．【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断
【解析】【解答】对于A：既不是奇函数也不等式偶函数，A不正确；
对于B： ，所以是奇函数，因为，所以在上不是单调递增，B不正确；
对于C，为奇函数，且在区间上单调递增，符合题意；
对于D，，为偶函数，不符合题意. D不正确。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合奇函数的定义和增函数的定义，进而找出既是奇函数又在上单调递增的函数。
5．【答案】C
【知识点】向量的加法及其几何意义
【解析】【解答】对于A选项，，A不符合题意；
对于B选项，，B不符合题意；
对于C选项，，C对；
对于D选项，，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用相等向量可判断A选项；利用平面向量的加法可判断BD选项；利用平面向量的减法可判断C选项.
6．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；数列的函数特性
【解析】【解答】解：设数列的公比为，
若，
则，所以，
则，
，所以，
所以为递减数列；
若为递减数列，
当时，，数列为递减数列，
此时，
所以由为递减数列不一定能得到，
所以“”是“为递减数列”的充分而不必要条件.
故答案为：A.
【分析】 由求出公比的取值范围，然后结合等比数列的通项即可判断数列的单调性，举出反例说明为递减数列不一定能得到，再根据充分条件和必要条件定义，即可得出答案.
7．【答案】B
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】因为，所以，即；
因为，，所以，又
所以.
故答案为：B.
【分析】先对平方可求，然后利用夹角公式求解.
8．【答案】D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】A：，则，由，可得
则在处的切线的斜率为1.
B：，则，由，可得
则在处的切线的斜率为1
C：，则，由，可得
则在处的切线的斜率为1
D：，则，则，
则不存在斜率为1的切线
故答案为：D
【分析】 求得的导函数，通过方程根的情况判断选项A；求得的导函数，通过方程根的情况判断选项B；求得的导函数，通过方程根的情况判断选项C；求得的导函数，通过方程根的情况判断选项D.
9．【答案】C
【知识点】终边相同的角
【解析】【解答】由于角的终边绕原点逆时针旋转后与角的终边重合，
所以，
所以，即，解得，
当时，，
故答案为：C.
【分析】由题意易得，列出余弦函数方程解出即可.
10．【答案】C
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】因为角速度为，
所以游客从离地面最近的位置进入座舱，游玩中到地面的距离为
，
由题意可得甲乙在摩天轮上游玩的过程中他们所在的高度之和
，
因为，
所以，
所以，，
所以，
所以，即他们所在的高度之和的最大值约为，
故答案为：C
【分析】角速度为，游客从离地面最近的位置进入座舱，游玩中到地面的距离为，进而甲乙在摩天轮上游玩过程中他们所在的高度之和，再利用三角函数值域的研究方法求解即可.
11．【答案】且
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由题可知且，得且
故答案为：且
【分析】利用具体函数的定义域求法求解即可.
12．【答案】-6
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量，，且，
所以，
解得，
故答案为：-6
【分析】利用平面向量共线向量定理求解.
13．【答案】①③④
【知识点】复合命题的真假；正弦函数的定义域和值域；复合三角函数的单调性
【解析】【解答】对于①，，
所以函数是奇函数，所以①正确.
对于②，，
当时，，所以在单调递增
当时，，所以在单调递增
所以 不是函数的极值点，所以②不正确.
对于③，由，当，，
所以在单调递增，又，
所以函数在上有且仅有1个零点，所以③正确.
对于④，函数在R上连续，当时
所以的值域是.所以④正确
故答案为：①③④
【分析】利用函数的奇偶性、极值、零点、值域分析每一个选项得解.
14．【答案】-126；18（答案不唯一）
【知识点】数列的求和；数列与函数的综合
【解析】【解答】当时，，
则.
由于是关于的一次函数，
而，由于数列的前项和有最小值，则必有，
因为数列的前项和最小值为，则有，且，
即，解得，
当时，
当时，；当时，，满足题意，
故答案为：-126；18（答案不唯一）
【分析】（1）由通项公式直接可求得；（2）根据数列的函数性质列不等式组即可求解.
15．【答案】4；
【知识点】向量的线性运算性质及几何意义；平面向量数量积的运算；解三角形；正弦定理
【解析】【解答】方法1：①在中，由正弦定理得： 即：
解得：.
又∵，∴，∴
∴，
取BC的中点E，连接AE，如图所示，
则：， ，
∴在中， ，
∴，
②设 ，则 ，
，
∵，∴，∴，
故的范围是：；
方法2：①在中，由余弦定理 ，
即： ，解得：或（舍），
，
∴，
②以A为原点，AB所在的直线为x轴，垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
设 ，则P点的坐标为，B点的坐标为 ，
C点的坐标为 ，
∴ ，，
∴，
∵，∴，∴，
∴，
即：，故的范围是：，
故答案为：4；.
【分析】第一空：先由正弦定理求出，从而得为等腰三角形，取BC的中点E，连接AE，则，再求出，最后利用向量的中点公式即可求解；
第二空：以A为原点，AB所在的直线为x轴，垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，， ，，根据向量数量积的运算，由三角函数性质求出最值.
16．【答案】（1）解：设等差数列{an}的公差为d，由题意得
d= = = 3．∴an=a1+（n﹣1）d=3n
设等比数列{bn﹣an}的公比为q，则
q3= = =8，∴q=2，
∴bn﹣an=（b1﹣a1）qn﹣1=2n﹣1， ∴bn=3n+2n﹣1
（2）解：由（Ⅰ）知bn=3n+2n﹣1， ∵数列{3n}的前n项和为 n（n+1），
数列{2n﹣1}的前n项和为1× = 2n﹣1，
∴数列{bn}的前n项和为；
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得到结论;（2）利用分组求和法，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列 前n项和．
17．【答案】（1）解：
因为经过点，所以，，
因为的单调递增区间为
所以
所以
所以的单调递增区间为.
（2）解：由（1）知，
因为，所以，
当，即时，，
因为恒成立即，所以所.
【知识点】函数恒成立问题；正弦函数的单调性
【解析】【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式可以求得，然后再利用正弦函数的单调性即可得出单调区间；
（2） 因为，所以，当，即时，， 根据不等式恒成立，所以.
18．【答案】（1）解：由得，
故，所以切线方程为：
（2）解：的定义域为，由（1）知：当，单调递减，当，单调递增，当，单调递减，
故的单调递增区间为：，单调递减区间为：
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的几何意义求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用代入法求出切点的坐标，再结合点斜式求出曲线在切点处的切线方程，再化简切线的方程。
（2）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的单调区间。
19．【答案】（1）解：在同时满足条件①③④，理由如下：
若满足条件②，已知，
可得，且.
因为，
所以，即满足③.
若满足条件①，则，即满足④.
此时四个条件都满足，不合题意.
若不满足条件①，，
即不满足④，此时①④两个条件都不满足，不合题意.
综上，条件②不满足，所选三个条件只能是①③④.
（2）解：选条件①③④，
因为，
所以
因为，此时或，
又因为，
所以.
若，则有，满足条件②不合题意.
所以，
由余弦定理得，
所以.
所以的周长为：
【知识点】二倍角的正弦公式；余弦定理
【解析】【分析】（1）先假设②满足，证明出③必满足.再由①满足，得到④必满足；①不满足，则④不满足.判断出②不符合；
（2）由条件①③④，先利用面积公式求出，得到为等腰三角形，利用三角公式求出，利用余弦定理求出，即可求出的周长.
20．【答案】（1）解：依题意得，函数的定义域为，
当时，，则，
令，解得或，
所以当变化时，，的变化情况如下表：
0 0
极大值 极小值
当时，函数取得极小值.
（2）解：法一：
因为在区间上有解，所以在区间上的最小值小于等于，
因为，令，得，，
当时，即时，
因为对成立，所以在上单调递增，
此时在上的最小值为，
所以，
解得，所以此种情形不成立；
当，即时，
若，则对成立，所以在上单调递增，
此时在上的最小值为，所以，
解得，所以；
若，
若，则对成立，对成立.
则在上单调递减，在上单调递增，
此时在上的最小值为，
所以有显然成立，可得；
当时，注意到，而，此时结论成立；
综上，的取值范围是.
法二：
因为在区间上有解，
所以在区间上的最小值小于等于，
当时，显然，而成立；
当时，对成立，所以在上单调递增，
此时在上的最小值为，
所以有，
解得，所以；
综上，.
（3）解：因为，
所以当时，，故不存在，不满足题意；
当时，
的两个根为，
此时，
当，即时，令，得或；令，得；
由于当时，，
结合二次函数的性质可得，当时，，
故存在，使得；
当，即时，令，得或；令，得，
由于当时，，
结合二次函数的性质可得，当时，，
故存在，使得；
综上：，故的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）对求导，利用导数与函数的单调性易得的极小值；
（2）法一：将问题转化为在区间上的最小值小于等于，再分类讨论、、与四种情况下在区间的最小值，从而得解；
法二：分类讨论与两种情况，在时取点满足有解；在时求得 在 上的最小值，从而得解；
（3）分类讨论与两种情况，研究是否存在即可.
21．【答案】解：根据题目中定义，，，，，，，，，，，，，，，．（）若数列满足，求函数的最小值．【答案】解：∵，由“数列含有项”及的含义知，∴，即，又∵设整数，当时，必有，∴，∴最小值为，∵，∵．，∴最小值为．
（1）解：根据题目中定义，，，，，，
，，，，，
，
，
，
，
．
（2）解：∵，由“数列含有项”及的含义知，
∴，
即，
又∵设整数，
当时，必有，
∴，
∴最小值为，
∵
，
∵．，
∴最小值为-100．
【知识点】数列的应用
【解析】【分析】（1）直接根据，，利用列举法求解即可；
（2）先证明，设整数，可得最小值为，，由，，从而可得结果.
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北京市密云区2023届高三上学期数学阶段练习试卷
一、单选题
1．（2022高二下·朝阳期末）已知集合，则（ ）
A． B．{0} C．{1} D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】，
。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解集的方法，进而得出集合B，再利用交集的运算法则，进而得出集合A和集合B的交集。
2．（2022高三上·密云期中）在复平面内，若复数对应的点为，则（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为复数对应的点为，
所以，
所以，.
故答案为：A
【分析】】由题知，再计算即可.
3．（2022高三上·密云期中）已知，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；不等式的基本性质
【解析】【解答】因为，
令，可知
由指数函数单调性易知，，A符合题意；，B不符合题意；，C不符合题意；，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】令即可解决.
4．（2022高二下·朝阳期末）下列函数中既是奇函数又在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断
【解析】【解答】对于A：既不是奇函数也不等式偶函数，A不正确；
对于B： ，所以是奇函数，因为，所以在上不是单调递增，B不正确；
对于C，为奇函数，且在区间上单调递增，符合题意；
对于D，，为偶函数，不符合题意. D不正确。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合奇函数的定义和增函数的定义，进而找出既是奇函数又在上单调递增的函数。
5．（2022高三上·密云期中）如图，在平行四边形中，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】向量的加法及其几何意义
【解析】【解答】对于A选项，，A不符合题意；
对于B选项，，B不符合题意；
对于C选项，，C对；
对于D选项，，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用相等向量可判断A选项；利用平面向量的加法可判断BD选项；利用平面向量的减法可判断C选项.
6．（2022高二下·海淀会考）已知是等比数列，则“”是“为递减数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；数列的函数特性
【解析】【解答】解：设数列的公比为，
若，
则，所以，
则，
，所以，
所以为递减数列；
若为递减数列，
当时，，数列为递减数列，
此时，
所以由为递减数列不一定能得到，
所以“”是“为递减数列”的充分而不必要条件.
故答案为：A.
【分析】 由求出公比的取值范围，然后结合等比数列的通项即可判断数列的单调性，举出反例说明为递减数列不一定能得到，再根据充分条件和必要条件定义，即可得出答案.
7．（2022高三上·密云期中）已知向量，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】因为，所以，即；
因为，，所以，又
所以.
故答案为：B.
【分析】先对平方可求，然后利用夹角公式求解.
8．（2022高二下·海淀会考）若曲线在某点处的切线的斜率为1，则该曲线不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】A：，则，由，可得
则在处的切线的斜率为1.
B：，则，由，可得
则在处的切线的斜率为1
C：，则，由，可得
则在处的切线的斜率为1
D：，则，则，
则不存在斜率为1的切线
故答案为：D
【分析】 求得的导函数，通过方程根的情况判断选项A；求得的导函数，通过方程根的情况判断选项B；求得的导函数，通过方程根的情况判断选项C；求得的导函数，通过方程根的情况判断选项D.
9．（2022高三上·密云期中）已知角的终边绕原点逆时针旋转后与角的终边重合，且，则的取值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】终边相同的角
【解析】【解答】由于角的终边绕原点逆时针旋转后与角的终边重合，
所以，
所以，即，解得，
当时，，
故答案为：C.
【分析】由题意易得，列出余弦函数方程解出即可.
10．（2022高三上·密云期中）石景山游乐园“梦想之星”摩天轮采用国内首创的横梁中轴结构，风格现代简约.“梦想之星”摩天轮直径米，总高约米，匀速旋转一周时间为分钟，配有个球形全透视度全景座舱.如果不考虑座舱高度等其它因素，该摩天轮的示意图如图所示，游客从离地面最近的位置进入座舱，旋转一周后出舱.甲乙两名同学通过即时交流工具发现，他们两人进入各自座舱的时间相差分钟.这两名同学在摩天轮上游玩的过程中，他们所在的高度之和的最大值约为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】因为角速度为，
所以游客从离地面最近的位置进入座舱，游玩中到地面的距离为
，
由题意可得甲乙在摩天轮上游玩的过程中他们所在的高度之和
，
因为，
所以，
所以，，
所以，
所以，即他们所在的高度之和的最大值约为，
故答案为：C
【分析】角速度为，游客从离地面最近的位置进入座舱，游玩中到地面的距离为，进而甲乙在摩天轮上游玩过程中他们所在的高度之和，再利用三角函数值域的研究方法求解即可.
二、填空题
11．（2022高三上·密云期中）函数的定义域是 .
【答案】且
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由题可知且，得且
故答案为：且
【分析】利用具体函数的定义域求法求解即可.
12．（2022高三上·密云期中）已知向量，.若，则 .
【答案】-6
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量，，且，
所以，
解得，
故答案为：-6
【分析】利用平面向量共线向量定理求解.
13．（2022高三上·密云期中）关于函数，给出下列四个结论：
①是奇函数；
②0是的极值点；
③在上有且仅有1个零点；
④的值域是.
其中，所有正确结论的序号为 .
【答案】①③④
【知识点】复合命题的真假；正弦函数的定义域和值域；复合三角函数的单调性
【解析】【解答】对于①，，
所以函数是奇函数，所以①正确.
对于②，，
当时，，所以在单调递增
当时，，所以在单调递增
所以 不是函数的极值点，所以②不正确.
对于③，由，当，，
所以在单调递增，又，
所以函数在上有且仅有1个零点，所以③正确.
对于④，函数在R上连续，当时
所以的值域是.所以④正确
故答案为：①③④
【分析】利用函数的奇偶性、极值、零点、值域分析每一个选项得解.
14．（2022高三上·密云期中）已知数列的通项公式，数列的前项和为，当时，求 ；若数列的前项和最小值为，则此时可以为 .
【答案】-126；18（答案不唯一）
【知识点】数列的求和；数列与函数的综合
【解析】【解答】当时，，
则.
由于是关于的一次函数，
而，由于数列的前项和有最小值，则必有，
因为数列的前项和最小值为，则有，且，
即，解得，
当时，
当时，；当时，，满足题意，
故答案为：-126；18（答案不唯一）
【分析】（1）由通项公式直接可求得；（2）根据数列的函数性质列不等式组即可求解.
15．（2022高三上·密云期中）如图，在中，，，.为内部（包含边界）的动点，且.则 ；的取值范围 .
【答案】4；
【知识点】向量的线性运算性质及几何意义；平面向量数量积的运算；解三角形；正弦定理
【解析】【解答】方法1：①在中，由正弦定理得： 即：
解得：.
又∵，∴，∴
∴，
取BC的中点E，连接AE，如图所示，
则：， ，
∴在中， ，
∴，
②设 ，则 ，
，
∵，∴，∴，
故的范围是：；
方法2：①在中，由余弦定理 ，
即： ，解得：或（舍），
，
∴，
②以A为原点，AB所在的直线为x轴，垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
设 ，则P点的坐标为，B点的坐标为 ，
C点的坐标为 ，
∴ ，，
∴，
∵，∴，∴，
∴，
即：，故的范围是：，
故答案为：4；.
【分析】第一空：先由正弦定理求出，从而得为等腰三角形，取BC的中点E，连接AE，则，再求出，最后利用向量的中点公式即可求解；
第二空：以A为原点，AB所在的直线为x轴，垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，， ，，根据向量数量积的运算，由三角函数性质求出最值.
三、解答题
16．（2019高二上·北京月考）已知 是等差数列，满足 ， ，数列 满足 ， ，且 是等比数列.
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和.
【答案】（1）解：设等差数列{an}的公差为d，由题意得
d= = = 3．∴an=a1+（n﹣1）d=3n
设等比数列{bn﹣an}的公比为q，则
q3= = =8，∴q=2，
∴bn﹣an=（b1﹣a1）qn﹣1=2n﹣1， ∴bn=3n+2n﹣1
（2）解：由（Ⅰ）知bn=3n+2n﹣1， ∵数列{3n}的前n项和为 n（n+1），
数列{2n﹣1}的前n项和为1× = 2n﹣1，
∴数列{bn}的前n项和为；
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得到结论;（2）利用分组求和法，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列 前n项和．
17．（2022高三上·密云期中）已知函数的图象经过点.
（1）求的值，并求函数的单调递增区间；
（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：
因为经过点，所以，，
因为的单调递增区间为
所以
所以
所以的单调递增区间为.
（2）解：由（1）知，
因为，所以，
当，即时，，
因为恒成立即，所以所.
【知识点】函数恒成立问题；正弦函数的单调性
【解析】【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式可以求得，然后再利用正弦函数的单调性即可得出单调区间；
（2） 因为，所以，当，即时，， 根据不等式恒成立，所以.
18．（2022高二下·朝阳期末）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间．
【答案】（1）解：由得，
故，所以切线方程为：
（2）解：的定义域为，由（1）知：当，单调递减，当，单调递增，当，单调递减，
故的单调递增区间为：，单调递减区间为：
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的几何意义求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用代入法求出切点的坐标，再结合点斜式求出曲线在切点处的切线方程，再化简切线的方程。
（2）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的单调区间。
19．（2022高三上·密云期中）中，角，，的对边分别为，，，设面积为，已知下列四个条件中，只能同时满足其中三个，①；②；③；④.
（1）请指出这三个条件，并说明理由；
（2）求的周长.
【答案】（1）解：在同时满足条件①③④，理由如下：
若满足条件②，已知，
可得，且.
因为，
所以，即满足③.
若满足条件①，则，即满足④.
此时四个条件都满足，不合题意.
若不满足条件①，，
即不满足④，此时①④两个条件都不满足，不合题意.
综上，条件②不满足，所选三个条件只能是①③④.
（2）解：选条件①③④，
因为，
所以
因为，此时或，
又因为，
所以.
若，则有，满足条件②不合题意.
所以，
由余弦定理得，
所以.
所以的周长为：
【知识点】二倍角的正弦公式；余弦定理
【解析】【分析】（1）先假设②满足，证明出③必满足.再由①满足，得到④必满足；①不满足，则④不满足.判断出②不符合；
（2）由条件①③④，先利用面积公式求出，得到为等腰三角形，利用三角公式求出，利用余弦定理求出，即可求出的周长.
20．（2022高三上·密云期中）已知函数.
（1）当时，求函数的极小值；
（2）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围；
（3）若曲线存在两条互相垂直的切线，求实数的取值范围.（只需直接写出结果）
【答案】（1）解：依题意得，函数的定义域为，
当时，，则，
令，解得或，
所以当变化时，，的变化情况如下表：
0 0
极大值 极小值
当时，函数取得极小值.
（2）解：法一：
因为在区间上有解，所以在区间上的最小值小于等于，
因为，令，得，，
当时，即时，
因为对成立，所以在上单调递增，
此时在上的最小值为，
所以，
解得，所以此种情形不成立；
当，即时，
若，则对成立，所以在上单调递增，
此时在上的最小值为，所以，
解得，所以；
若，
若，则对成立，对成立.
则在上单调递减，在上单调递增，
此时在上的最小值为，
所以有显然成立，可得；
当时，注意到，而，此时结论成立；
综上，的取值范围是.
法二：
因为在区间上有解，
所以在区间上的最小值小于等于，
当时，显然，而成立；
当时，对成立，所以在上单调递增，
此时在上的最小值为，
所以有，
解得，所以；
综上，.
（3）解：因为，
所以当时，，故不存在，不满足题意；
当时，
的两个根为，
此时，
当，即时，令，得或；令，得；
由于当时，，
结合二次函数的性质可得，当时，，
故存在，使得；
当，即时，令，得或；令，得，
由于当时，，
结合二次函数的性质可得，当时，，
故存在，使得；
综上：，故的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）对求导，利用导数与函数的单调性易得的极小值；
（2）法一：将问题转化为在区间上的最小值小于等于，再分类讨论、、与四种情况下在区间的最小值，从而得解；
法二：分类讨论与两种情况，在时取点满足有解；在时求得 在 上的最小值，从而得解；
（3）分类讨论与两种情况，研究是否存在即可.
21．（2022高三上·密云期中）已知每项均为正整数的数列，，，，，，其中等于的项有个，设，．
（1）设数列，，，，求，，，，．
（2）若数列满足，求函数的最小值．
【答案】解：根据题目中定义，，，，，，，，，，，，，，，．（）若数列满足，求函数的最小值．【答案】解：∵，由“数列含有项”及的含义知，∴，即，又∵设整数，当时，必有，∴，∴最小值为，∵，∵．，∴最小值为．
（1）解：根据题目中定义，，，，，，
，，，，，
，
，
，
，
．
（2）解：∵，由“数列含有项”及的含义知，
∴，
即，
又∵设整数，
当时，必有，
∴，
∴最小值为，
∵
，
∵．，
∴最小值为-100．
【知识点】数列的应用
【解析】【分析】（1）直接根据，，利用列举法求解即可；
（2）先证明，设整数，可得最小值为，，由，，从而可得结果.
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