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福建省福州市八县（市）一中2022-2023学年高二上学期数学11月期中联考试卷
一、单选题
1．（2022高二上·福州月考）向量＝(1，－2，－3)，＝(2，－4，－6)，＝(12，0，4)，下列结论正确的是（ ）
A．∥，∥ B．∥，⊥
C．∥，⊥ D．以上都不对
【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积的坐标表达式；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】因为，所以∥，
因为，所以。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示、数量积为0两向量垂直的等价关系和数量积的坐标表示，进而找出结论正确的选项。
2．（2022高二上·福州月考）已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二倍角的正切公式；直线的斜率；直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】直线的斜率为，而直线与直线垂直，
于是得，而，则，
所以。
故答案为：C
【分析】利用已知条件得出直线的斜率，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，进而得出直线的斜率，再结合直线的倾斜角与直线的斜率的关系式和直线的倾斜角的取值范围，进而得出直线的倾斜角的值，再利用二倍角的正切公式得出的值。
3．（2022高二上·福州月考）已知直线方程：，若不经过第四象限，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】根据直线方程可得，
故直线过点，
当时，若直线过原点可得，
当时，直线不过第四象限，
当时，直线过第四象限，
综上可得。
故答案为：B
【分析】利用已知条件，将直线的一般式方程转化直线的点斜式方程，从而得出直线恒过的定点坐标，再利用对直线的斜率分类讨论的方法结合直线 不经过第四象限，从而求出直线的斜率 的取值范围。
4．（2022高二上·福州月考）已知圆C：（x-1）2+y2=1，点P为直线x-y+1=0上的任意一点，PA为圆C的切线（A为切点），则|PA|的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．2
【答案】A
【知识点】点到直线的距离公式；圆的切线的性质定理的证明
【解析】【解答】根据题意圆的半径，圆心为，
根据切线性质可得，
所以，
若要最小，只要最小，
根据点到直线垂线段最短，
，
。
故答案为：A
【分析】根据题意结合圆的标准方程求出圆心坐标和半径长，根据圆的切线性质可得，再利用勾股定理得出，若要最小，只要最小，再根据点到直线垂线段最短，进而得出的值，再利用勾股定理得出的值。
5．（2022高二上·福州月考）已知圆，圆，动圆M与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】如图，
由题意得：，，其中，
所以，
由椭圆定义可知：动圆圆心M的轨迹为以为焦点的椭圆，设，
则，解得：，
故动圆圆心M的轨迹方程为。
故答案为：D
【分析】由题意结合两圆外切位置关系判断方法和两圆内切位置关系判断方法，再结合椭圆的定义得出动圆圆心M的轨迹为以为焦点的椭圆，设，进而得出a，c的值，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式得出b的值，从而得出动圆圆心M的轨迹方程。
6．（2022高二上·福州月考）如图，直径为4的球放地面上，球上方有一点光源P，则球在地面上的投影为以球与地面切点F为一个焦点的椭圆，已知是椭圆的长轴，垂直于地面且与球相切，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质；圆的切线的性质定理的证明
【解析】【解答】依题意，平面截球O得球面大圆，如图，是球O大圆的外切三角形，其中切圆O于点E，F，
显然，而，则，又，有，
由圆的切线性质知，，
在中，，则，于是得椭圆长轴长，即，
又F为椭圆的一个焦点，令椭圆半焦距为c，即有，因此，
所以椭圆的离心率。
故答案为：A
【分析】依题意，平面截球O得球面大圆，是球O大圆的外切三角形，其中切圆O于点E，F，显然，而，则，再利用结合正切函数的定义得出的值，由圆的切线性质结合二倍角的正切公式得出的值，在中，，再结合正切函数的定义得出的长，进而得出椭圆长轴长，从而得出实数a的值，再利用点F为椭圆的一个焦点，令椭圆半焦距为c，即有，从而得出c的值，再利用椭圆的离心率公式得出椭圆的离心率。
7．（2022高二上·福州月考）如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；点到直线的距离公式
【解析】【解答】在正三棱柱中，在平面内过A作，显然射线两两垂直，以点A为原点，射线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
因正三棱柱的所有棱长均为1，则，
，因动点P在线段上，则令，
即有点，，，，
因此点P到直线的距离
，当且仅当时取等号，
所以线段上的动点P到直线的距离的最小值为。
故答案为：C
【分析】在正三棱柱中，在平面内过A作，显然射线两两垂直，以点A为原点，射线分别为轴建立空间直角坐标系，再利用正三棱柱的所有棱长均为1，进而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用动点P在线段上，则令，再结合向量共线的坐标表示和两点距离公式得出，再利用勾股定理得出点P到直线的距离，再利用二次函数的图象求最值的方法得出线段上的动点P到直线的距离的最小值。
8．（2022高二上·福州月考）如图，把椭圆绕短轴旋转形成的几何体称为“扁椭球”，其中a称为扁椭球长半径，b称为扁椭球短半径，称为扁椭球的“扁率”.假设一扁椭球的短半径为，且一棱长为1的正方体内接于扁椭球（即正方体的8个顶点都在扁椭球球面上），则此扁椭球的扁率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题可知“扁椭球”每一个水平切面都是圆形，所以正方体上方正方形与所在圆面内接，因为正方体棱长为1，所在圆半径为
根据图像的对称性可知，正方体上方正方形所在位置，，将其代入椭圆方程得，解得，。
故答案为：B
【分析】由题可知“扁椭球”每一个水平切面都是圆形，所以正方体上方正方形与所在圆面内接。再利用正方体棱长为1，所在圆半径为，根据图象的对称性可知，正方体上方正方形所在位置，，将其代入椭圆方程得出a的值，再利用扁椭球的扁率定义，进而得出扁椭球的扁率。
二、多选题
9．（2022高二上·福州月考）下列结论不正确的有（ ）
A．如果，，那么直线不经过第三象限；
B．过点且在轴上的截距是轴上截距的2倍的直线方程为：；
C．直线：在轴的截距为；
D．直线：的倾斜角为；
【答案】B,C,D
【知识点】确定直线位置的几何要素；直线的倾斜角；直线的截距式方程；直线的一般式方程
【解析】【解答】对于A，易得，直线方程可化为，
，，
A与C符号相反，B与C符号相反，
则A与B符号相同，
直线的斜率，在y轴上的截距，
直线不经过第三象限，A选项正确；
对于B，当在轴上的截距不为0时，由题可设直线方程为，
因为点在直线上，则，
所以直线方程为，即，
当在轴上的截距为0时，直线过原点，可设直线方程为，
因为点在直线上，
所以直线方程为，即，B选项错误；
对于C，已知直线：，
当时，
直线：在轴的截距为1，C选项错误；
对于D，直线：可化为，
设倾斜角为，则，
而，所以，D选项错误；
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件结合直线的图象与象限的位置关系判断方法，再利用直线的截距式方程求截距的方法，直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，进而找出结论不正确的选项。
10．（2022高二上·福州月考）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A．D1D⊥AF
B．A1G//平面AEF
C．异面直线A1G与EF所成角的余弦值为
D．点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍
【答案】B,D
【知识点】异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】如图建立以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为x轴，DD1所在直线为x轴的空间直角坐标系，且设DA=2
因为，且与不垂直，所以与不垂直，A不符合题意；
，，，则，
设平面AEF法向量为，则，则
，，，，所以，B符合题意
，C不符合题意
，，
点G到平面AEF的距离，点C到平面AEF的距离，D符合题意
故答案为：BD
【分析】利用已知条件，建立以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为x轴，DD1所在直线为x轴的空间直角坐标系，且设DA=2，再利用，且与不垂直，所以与不垂直；再利用建系的方法得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用平面的法向量求解方法得出平面AEF法向量，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示得出，再利用数量积求向量夹角公式得出的值，再利用数量积求出点G到平面AEF的距离合点C到平面AEF的距离，进而得出点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍，从而找出结论正确的选项。
11．（2022高三上·德州期末）已知椭圆的左 右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的短轴长为
B．当最大时，
C．椭圆离心率为
D．面积最大值为
【答案】B,C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意：，根据椭圆的定义可知，，则的最大值为5，根据椭圆的性质可知：当轴时，最小，此时最大，如图：
将代入椭圆方程得：，则.
所以短轴长为，A不符合题意；此时，B符合题意；，C符合题意；
对D，设，，代入椭圆方程得：，则，
所以，记，于是，由对勾函数的图象和性质可知：函数在上是增函数，则函数在上是减函数.于是，当u=1，即t=0时，面积最大值为3，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】由题意得出a的值，根据椭圆的定义可知，进而得出的最大值为5，根据椭圆的性质可知：当轴时，最小，此时最大，将代入椭圆方程得：，再利用两点距离公式得出b，c的值，进而得出短轴长；再利用几何法得出此时；再结合椭圆的离心率公式得出双曲线的离心率； 设，，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合韦达定理得出，进而得出，记，再利用三角形的面积公式得出，由对勾函数的图象和性质可知：函数在上的单调性和在上的单调性，再利用单调性求出函数的最值，进而得出三角形面积最大值，进而找出说法正确的选项。
12．（2022高二上·福州月考）如图，已知正方体的棱长为1，E为的中点，P为对角线上的一个动点，过P作与平面ACE平行的平面，则此平面截正方体所得的截面（ ）
A．截面不可能是五边形
B．截面可以是正六边形
C．P从D点向运动时，截面面积先增大后减小
D．截面面积的最大值为
【答案】A,C,D
【知识点】棱柱的结构特征；三角形中的几何计算
【解析】【解答】在正方体中，取的中点F，连接，而E为的中点，则，
取的中点T，Q，连接，有，平面平面，
则平面，连交分别于点，连BD交AC，TQ分别于，连交于，如图，
显然，又，则四边形是平行四边形，即，
平面，平面，有平面，而平面，
于是得平面平面，并且四边形与四边形面积相等，
当点P从D点向的移动过程中，点P在线段（不含端点）上时，截面与射线相交，
当交点在线段（不含点D）时，截面为三角形，并且逐渐变大，当交点在线段的延长线上时，
截面还与平面相交，截面为四边形，并且逐渐变大，当点P在线段（不含端点）上时，
截面与正方体的六个面相交，截面为六边形，并且先逐渐增大，截面经过的中点时截面面积最大，之后逐渐减小，
当点P在线段（不含点）时，截面由四边形变形为三角形，并且逐渐减小，
因此，截面不可能为五边形，A，C符合题意；
，，
即，两边与两边分别平行的截面六边形顶角不等于，因此截面六边形不是正六边形，B不正确；
令过中点的截面为六边形，有，令，连ON，
有，，又分别为等腰梯形两底的中点，
即有，有，N为GH中点，O为KL中点，连HK，GL，即四边形为矩形，点分别为棱中点，
，等腰底边上的高，
所以最大截面面积，D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】在正方体中，取的中点F，连接，而E为的中点，再利用中点作中位线的方法和中位线的性质，则，取的中点T，Q，连接，再利用中点作中位线的方法和中位线的性质，则，再利用线线平行证出线面平行，则平面，连交分别于点，连BD交AC，TQ分别于，连交于，再利用中点的性质得出，再利用，则四边形是平行四边形，即，再利用线线平行证出线面平行，所以平面，再利用线面平行证出面面平行，所以平面平面，并且四边形与四边形面积相等，再利用分类讨论的方法得出当交点在线段（不含点D）时，截面为三角形，并且逐渐变大，当点P在线段（不含端点）上时，截面与正方体的六个面相交，截面为六边形，并且先逐渐增大，截面经过的中点时截面面积最大，之后逐渐减小，当点P在线段（不含点）时，截面由四边形变形为三角形，并且逐渐减小，因此，截面不可能为五边形；再利用勾股定理和余弦定理得出两边与两边分别平行的截面六边形顶角不等于，因此截面六边形不是正六边形；令过中点的截面为六边形，连ON，再结合中点作中位线的方法和中位线的性质，则，再利用勾股定理得出ON的长，再利用分别为等腰梯形两底的中点，则，再利用中点的性质和矩形的结构特征和几何法得出等腰底边上的高，再利用几何法和四边形的面积公式和三角形的面积公式以及求和法得出最大截面面积，进而找出正确的选项。
三、填空题
13．（2022高二上·福州月考）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的值是 .
【答案】25
【知识点】两条直线的交点坐标；恒过定点的直线
【解析】【解答】直线，整理成，则，即，直线，整理成，则，即，又，过定点的动直线和过定点的动直线始终垂直，为两条垂直直线的交点，则有，所以。
故答案为：25。
【分析】将直线，整理成，则，进而得出点A的坐标，将直线，整理成，则，进而得出点B的坐标，再利用，过定点的动直线和过定点的动直线始终垂直，为两条垂直直线的交点，则有，再利用勾股定理得出所以的值。
14．（2022高二上·福州月考）已知直线和直线，直线与的距离分别为，若，则直线方程的方程为 .
【答案】3x-2y+11=0或3x-2y-5=0
【知识点】直线的一般式方程；两条平行直线间的距离
【解析】【解答】设直线的方程为，由平行线间的距离公式可得，
或，直线的方程为3x-2y+11=0或3x-2y-5=0。
故答案为：3x-2y+11=0或或3x-2y-5=0。
【分析】利用已知条件结合两平行直线求距离公式得出c的值，进而得出直线 的方程。
15．（2022高二上·福州月考）若直线被圆截得的弦长为2，则的最小值为
【答案】2
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】圆的圆心为，半径为1，依题意，直线过圆心，即有，即，而，
因此，当且仅当时取等号，所以的最小值为2。
故答案为：2。
【分析】利用圆得出圆心坐标和半径长，依题意，直线过圆心，再结合代入法得出，而，再利用均值不等式变形求最值的方法得出的最小值。
16．（2022高二上·福州月考）如图，已知正方体的棱长为1，M为的中点，一光线从M点出发，经平面反射后恰好经过点，则光线从点M到点所经过的路程为 .
【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；图形的对称性；余弦定理
【解析】【解答】在正方体的右侧拼接一个等大的正方体，连接，如图，
连BF，有，连，由平面，平面，得，
又，则有平面平面，即有，
同理，而平面，因此平面，
则点关于平面的对称点在直线上，连交平面于点P，连接，有，
于是得光线从M点出发，经平面反射后恰好经过点的路径是，
令点到平面的距离为h，而是正三角形，，，在三棱锥中，
由得：，即，解得，于是得，
连接，则有，而，，
在与中，，
因此，解得，即，
所以光线从点M到点所经过的路程。
故答案为：。
【分析】在正方体的右侧拼接一个等大的正方体，连接，连BF，有，连，由平面结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用结合线线垂直证出线面垂直，则平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，则，同理，再结合线线垂直证出线面垂直，因此平面，则点关于平面的对称点在直线上，连交平面于点P，连接，有，于是得光线从M点出发，经平面反射后恰好经过点的路径是，令点到平面的距离为h，而三角形是正三角形，再结合三角形的面积公式得出的值，在三棱锥中，由结合三棱锥的体积公式和中点的性质，进而得出的长，连接，再结合勾股定理和余弦定理得出的长，再结合几何法和求和法得出光线从点M到点所经过的路程。
四、解答题
17．（2022高二上·福州月考）在中，，，且边的中点M在轴上，BC边的中点N在轴上.
（1）求AB边上的高CH所在直线方程；
（2）设过点C的直线为，且点A与点B到直线距离相等，求的方程.
【答案】（1）解：设，则 ， 解得，∴，
由 得，
，即
（2）解：当斜率不存在时，，不满足题意；
当斜率存在时，设，即，
依题意得： ，
有或，
解得或 ，
直线l的方程为：或 ，
即：或.
【知识点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；直线的一般式方程；点到直线的距离公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件，联立两直线方程求出交点坐标，进而得出点C的坐标，再结合两点求斜率公式和两直线垂直斜率之积等于-1，进而得出直线CH的斜率，再结合点斜式求出直线CH的方程，再转化为直线的一般式方程。
（2） 当斜率不存在时，，不满足题意；当斜率存在时，设直线，即，再利用已知条件结合点到直线的距离公式得出直线的斜率，从而得出直线的点斜式方程，再转化为直线l的一般式方程。
18．（2022高二上·福州月考）如图，菱形ABCD中，AB=2，，P为平面ABCD外一点，且平面PAD平面ABCD，O为AD的中点，M为PC的中点.
（1）求证：平面；
（2）若为等边三角形，求点M到平面PAB的距离.
【答案】（1）证明：取PB的中点N，连结MN，AN，MO，
M、N为PC、PB的中点 且
又 菱形ABCD，O为AD中点， 且
且， 四边形为平行四边形
，又平面，平面
平面
（2）解：连结PO、OC，又 菱形 ，
又平面平面，平面平面，平面
平面， 为正三角形， 且
如图建立以O为原点，OA、OC、OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则P（0，0，），A（1，0，0），B（2，，0），M（0，，）
设平面PAB的法向量为，
则，取且
M到平面的距离
即点M到平面PAB的距离为
【知识点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1） 取PB的中点N，连结MN，AN，MO，利用M、N为PC、PB的中点结合中点作中位线的方法和中位线的性质，所以且，再利用菱形ABCD，O为AD中点结合中点作中位线的方法和中位线的性质，所以且，再利用平行的传递性和相等的传递性，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，再利用线线平行证出线面平行，从而证出直线平面。
（2） 连结PO、OC，再利用菱形 ，所以，再利用平面平面结合面面垂直证出线面垂直，所以直线平面，再利用三角形为正三角形，所以且，再利用已知条件，建立以O为原点，OA、OC、OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求出点M到平面PAB的距离。
19．（2022高二上·福州月考）已知圆的圆心在直线上，且截x轴的弦长为2，截y轴的弦长为.
（1）求圆C的方程；
（2）若一光线从点出发，经直线反射后恰好与圆C相切，求反射光线所在的直线方程.
【答案】（1）解：依题意得：，由解得
∴圆C的方程为
（2）解：设M关于直线的对称点为，
由，
设过与圆C相切的直线为l，
当斜率不存在时，l：x=3，圆心到直线距离d=3-1=r符合条件；
当斜率存在时，设l： 即
圆心到直线的距离 ，解得，
则直线l的方程为： ，即：
所以反射光线所在直线为：或 .
【知识点】直线的一般式方程；圆的标准方程
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合代入法和弦长公式和勾股定理，进而结合a和r的取值范围，进而得出a，b，r的值，从而得出圆的标准方程。
（2） 设M关于直线的对称点为，再利用中点坐标公式和两直线垂直斜率之积的等于-1，进而得出点的坐标，设过与圆C相切的直线为l，再利用分类讨论的方法结合点到直线的距离公式得出直线的斜率，从而得出反射光线所在直线方程。
20．（2022高二上·福州月考）已知直三棱中，侧面为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点，.
（1）证明：BF⊥DE；
（2）当为何值时，直线AB与平面DFE所成角的正弦值最大.
【答案】（1）证明：在直三棱柱中，侧面为正方形，则，，而，
即有，又平面，因此平面，
而平面，则，显然，
以B为原点，BA、BC、所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
则，设，即，
有，即有，
所以.
（2）解：设平面DEF的法向量为，由（1）知，，
则，令，得，而，
设直线AB与平面DFE所成的角为，则，
显然当时，，
所以当时，直线AB与平面DFE所成角的正弦值最大.
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；数量积的坐标表达式；数量积表示两个向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1） 在直三棱柱中，侧面为正方形，则，，而，即有，再利用线线垂直证出线面垂直，因此平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，则，显然，以B为原点，BA、BC、所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，从 而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再结合数量积的坐标表示和数量积为0两向量垂直的等价关系，进而证出。
（2） 由（1）知，，再结合平面的法向量求解方法得出平面DEF的法向量，再利用结合数量积求向量夹角公式和诱导公式得出，再利用二次函数的图象求最值的方法得出当时，直线AB与平面DFE所成角的正弦值的最大值。
21．（2022高二上·福州月考）某沿海城市A市气象观测站测定，在A市正南方向公里的海面上生成台风B，并且台风中心正以20公里/小时的速度向北偏东30度方向直线移动，台风风圈半径（即以台风中心为圆心，风圈为半径的圆范围以内都会受到台风影响）为400公里.
（1）经过多少小时A市受到台风影响？影响时间多长？
（2）若此台风经20小时以后登陆，登陆后强度减弱，风圈半径按5公里/小时的速度缩小，则台风B影响A市的持续时间为多少小时？
【答案】（1）解：如图：以点为原点建立坐标系，则台风正以20公里/小时的速度沿直线 移动，设经过小时台风到达点，则，，
依题意得：即，
整理得：，
所以（小时），
经过20小时A市受到台风影响，影响时间为20小时.
（2）解：依题意得：，
整理得：，解得，
所以（小时），
台风B影响A市的时间为小时.
【知识点】一元二次不等式的解法；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1） 以点为原点建立坐标系，则台风正以20公里/小时的速度沿直线 移动，设经过小时台风到达点，则，，依题意得：，再利用两点距离公式得出，再结合一元二次不等式求解方法和作差法得出经过20小时A市受到台风影响，影响时间为20小时。
（2） 依题意得：，整理得：，再利用一元二次不等式求解方法和作差法，进而得出台风B影响A市的时间为小时。
22．（2022高二上·福州月考）已知椭圆且四个点、、、中恰好有三个点在椭圆C上，O为坐标原点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l与椭圆C交于A，B两点，且，证明：直线l与定圆相切，并求出的值.
【答案】（1）解：由椭圆的对称性知，，必在椭圆上，则不在椭圆上，有在椭圆上，
因此，解得，
所以椭圆C的方程为.
（2）解：当直线l的斜率不存在时，设，则点，
因，则，解得，即原点O到直线l的距离为，
当直线l的斜率存在时，设直线，，
由消去y并整理得：，
有，，，
因，则
，整理得，满足，
原点O到直线l的距离，
综上得：原点O到直线l的距离恒为，即直线l与圆相切，
所以直线l与定圆相切，.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 由椭圆的对称性知，，必在椭圆上，则不在椭圆上，有在椭圆上，再利用代入法得出a，b的值，从而得出椭圆C的标准方程。
（2） 当直线l的斜率不存在时，设直线，则点，再利用，则，从而得出原点O到直线l的距离；当直线l的斜率存在时，设直线，，由结合判别式法得出和，，再利用结合两向量垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积的坐标表示得出，满足，再利用点到直线的距离公式得出原点O到直线l的距离，所以原点O到直线l的距离恒为，即直线l与圆相切，进而证出直线l与定圆相切，进而得出的值。
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福建省福州市八县（市）一中2022-2023学年高二上学期数学11月期中联考试卷
一、单选题
1．（2022高二上·福州月考）向量＝(1，－2，－3)，＝(2，－4，－6)，＝(12，0，4)，下列结论正确的是（ ）
A．∥，∥ B．∥，⊥
C．∥，⊥ D．以上都不对
2．（2022高二上·福州月考）已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022高二上·福州月考）已知直线方程：，若不经过第四象限，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高二上·福州月考）已知圆C：（x-1）2+y2=1，点P为直线x-y+1=0上的任意一点，PA为圆C的切线（A为切点），则|PA|的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．2
5．（2022高二上·福州月考）已知圆，圆，动圆M与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022高二上·福州月考）如图，直径为4的球放地面上，球上方有一点光源P，则球在地面上的投影为以球与地面切点F为一个焦点的椭圆，已知是椭圆的长轴，垂直于地面且与球相切，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022高二上·福州月考）如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高二上·福州月考）如图，把椭圆绕短轴旋转形成的几何体称为“扁椭球”，其中a称为扁椭球长半径，b称为扁椭球短半径，称为扁椭球的“扁率”.假设一扁椭球的短半径为，且一棱长为1的正方体内接于扁椭球（即正方体的8个顶点都在扁椭球球面上），则此扁椭球的扁率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022高二上·福州月考）下列结论不正确的有（ ）
A．如果，，那么直线不经过第三象限；
B．过点且在轴上的截距是轴上截距的2倍的直线方程为：；
C．直线：在轴的截距为；
D．直线：的倾斜角为；
10．（2022高二上·福州月考）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A．D1D⊥AF
B．A1G//平面AEF
C．异面直线A1G与EF所成角的余弦值为
D．点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍
11．（2022高三上·德州期末）已知椭圆的左 右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的短轴长为
B．当最大时，
C．椭圆离心率为
D．面积最大值为
12．（2022高二上·福州月考）如图，已知正方体的棱长为1，E为的中点，P为对角线上的一个动点，过P作与平面ACE平行的平面，则此平面截正方体所得的截面（ ）
A．截面不可能是五边形
B．截面可以是正六边形
C．P从D点向运动时，截面面积先增大后减小
D．截面面积的最大值为
三、填空题
13．（2022高二上·福州月考）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的值是 .
14．（2022高二上·福州月考）已知直线和直线，直线与的距离分别为，若，则直线方程的方程为 .
15．（2022高二上·福州月考）若直线被圆截得的弦长为2，则的最小值为
16．（2022高二上·福州月考）如图，已知正方体的棱长为1，M为的中点，一光线从M点出发，经平面反射后恰好经过点，则光线从点M到点所经过的路程为 .
四、解答题
17．（2022高二上·福州月考）在中，，，且边的中点M在轴上，BC边的中点N在轴上.
（1）求AB边上的高CH所在直线方程；
（2）设过点C的直线为，且点A与点B到直线距离相等，求的方程.
18．（2022高二上·福州月考）如图，菱形ABCD中，AB=2，，P为平面ABCD外一点，且平面PAD平面ABCD，O为AD的中点，M为PC的中点.
（1）求证：平面；
（2）若为等边三角形，求点M到平面PAB的距离.
19．（2022高二上·福州月考）已知圆的圆心在直线上，且截x轴的弦长为2，截y轴的弦长为.
（1）求圆C的方程；
（2）若一光线从点出发，经直线反射后恰好与圆C相切，求反射光线所在的直线方程.
20．（2022高二上·福州月考）已知直三棱中，侧面为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点，.
（1）证明：BF⊥DE；
（2）当为何值时，直线AB与平面DFE所成角的正弦值最大.
21．（2022高二上·福州月考）某沿海城市A市气象观测站测定，在A市正南方向公里的海面上生成台风B，并且台风中心正以20公里/小时的速度向北偏东30度方向直线移动，台风风圈半径（即以台风中心为圆心，风圈为半径的圆范围以内都会受到台风影响）为400公里.
（1）经过多少小时A市受到台风影响？影响时间多长？
（2）若此台风经20小时以后登陆，登陆后强度减弱，风圈半径按5公里/小时的速度缩小，则台风B影响A市的持续时间为多少小时？
22．（2022高二上·福州月考）已知椭圆且四个点、、、中恰好有三个点在椭圆C上，O为坐标原点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l与椭圆C交于A，B两点，且，证明：直线l与定圆相切，并求出的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积的坐标表达式；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】因为，所以∥，
因为，所以。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示、数量积为0两向量垂直的等价关系和数量积的坐标表示，进而找出结论正确的选项。
2．【答案】C
【知识点】二倍角的正切公式；直线的斜率；直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】直线的斜率为，而直线与直线垂直，
于是得，而，则，
所以。
故答案为：C
【分析】利用已知条件得出直线的斜率，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，进而得出直线的斜率，再结合直线的倾斜角与直线的斜率的关系式和直线的倾斜角的取值范围，进而得出直线的倾斜角的值，再利用二倍角的正切公式得出的值。
3．【答案】B
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】根据直线方程可得，
故直线过点，
当时，若直线过原点可得，
当时，直线不过第四象限，
当时，直线过第四象限，
综上可得。
故答案为：B
【分析】利用已知条件，将直线的一般式方程转化直线的点斜式方程，从而得出直线恒过的定点坐标，再利用对直线的斜率分类讨论的方法结合直线 不经过第四象限，从而求出直线的斜率 的取值范围。
4．【答案】A
【知识点】点到直线的距离公式；圆的切线的性质定理的证明
【解析】【解答】根据题意圆的半径，圆心为，
根据切线性质可得，
所以，
若要最小，只要最小，
根据点到直线垂线段最短，
，
。
故答案为：A
【分析】根据题意结合圆的标准方程求出圆心坐标和半径长，根据圆的切线性质可得，再利用勾股定理得出，若要最小，只要最小，再根据点到直线垂线段最短，进而得出的值，再利用勾股定理得出的值。
5．【答案】D
【知识点】圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】如图，
由题意得：，，其中，
所以，
由椭圆定义可知：动圆圆心M的轨迹为以为焦点的椭圆，设，
则，解得：，
故动圆圆心M的轨迹方程为。
故答案为：D
【分析】由题意结合两圆外切位置关系判断方法和两圆内切位置关系判断方法，再结合椭圆的定义得出动圆圆心M的轨迹为以为焦点的椭圆，设，进而得出a，c的值，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式得出b的值，从而得出动圆圆心M的轨迹方程。
6．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质；圆的切线的性质定理的证明
【解析】【解答】依题意，平面截球O得球面大圆，如图，是球O大圆的外切三角形，其中切圆O于点E，F，
显然，而，则，又，有，
由圆的切线性质知，，
在中，，则，于是得椭圆长轴长，即，
又F为椭圆的一个焦点，令椭圆半焦距为c，即有，因此，
所以椭圆的离心率。
故答案为：A
【分析】依题意，平面截球O得球面大圆，是球O大圆的外切三角形，其中切圆O于点E，F，显然，而，则，再利用结合正切函数的定义得出的值，由圆的切线性质结合二倍角的正切公式得出的值，在中，，再结合正切函数的定义得出的长，进而得出椭圆长轴长，从而得出实数a的值，再利用点F为椭圆的一个焦点，令椭圆半焦距为c，即有，从而得出c的值，再利用椭圆的离心率公式得出椭圆的离心率。
7．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；点到直线的距离公式
【解析】【解答】在正三棱柱中，在平面内过A作，显然射线两两垂直，以点A为原点，射线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
因正三棱柱的所有棱长均为1，则，
，因动点P在线段上，则令，
即有点，，，，
因此点P到直线的距离
，当且仅当时取等号，
所以线段上的动点P到直线的距离的最小值为。
故答案为：C
【分析】在正三棱柱中，在平面内过A作，显然射线两两垂直，以点A为原点，射线分别为轴建立空间直角坐标系，再利用正三棱柱的所有棱长均为1，进而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用动点P在线段上，则令，再结合向量共线的坐标表示和两点距离公式得出，再利用勾股定理得出点P到直线的距离，再利用二次函数的图象求最值的方法得出线段上的动点P到直线的距离的最小值。
8．【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题可知“扁椭球”每一个水平切面都是圆形，所以正方体上方正方形与所在圆面内接，因为正方体棱长为1，所在圆半径为
根据图像的对称性可知，正方体上方正方形所在位置，，将其代入椭圆方程得，解得，。
故答案为：B
【分析】由题可知“扁椭球”每一个水平切面都是圆形，所以正方体上方正方形与所在圆面内接。再利用正方体棱长为1，所在圆半径为，根据图象的对称性可知，正方体上方正方形所在位置，，将其代入椭圆方程得出a的值，再利用扁椭球的扁率定义，进而得出扁椭球的扁率。
9．【答案】B,C,D
【知识点】确定直线位置的几何要素；直线的倾斜角；直线的截距式方程；直线的一般式方程
【解析】【解答】对于A，易得，直线方程可化为，
，，
A与C符号相反，B与C符号相反，
则A与B符号相同，
直线的斜率，在y轴上的截距，
直线不经过第三象限，A选项正确；
对于B，当在轴上的截距不为0时，由题可设直线方程为，
因为点在直线上，则，
所以直线方程为，即，
当在轴上的截距为0时，直线过原点，可设直线方程为，
因为点在直线上，
所以直线方程为，即，B选项错误；
对于C，已知直线：，
当时，
直线：在轴的截距为1，C选项错误；
对于D，直线：可化为，
设倾斜角为，则，
而，所以，D选项错误；
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件结合直线的图象与象限的位置关系判断方法，再利用直线的截距式方程求截距的方法，直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，进而找出结论不正确的选项。
10．【答案】B,D
【知识点】异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】如图建立以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为x轴，DD1所在直线为x轴的空间直角坐标系，且设DA=2
因为，且与不垂直，所以与不垂直，A不符合题意；
，，，则，
设平面AEF法向量为，则，则
，，，，所以，B符合题意
，C不符合题意
，，
点G到平面AEF的距离，点C到平面AEF的距离，D符合题意
故答案为：BD
【分析】利用已知条件，建立以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为x轴，DD1所在直线为x轴的空间直角坐标系，且设DA=2，再利用，且与不垂直，所以与不垂直；再利用建系的方法得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用平面的法向量求解方法得出平面AEF法向量，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示得出，再利用数量积求向量夹角公式得出的值，再利用数量积求出点G到平面AEF的距离合点C到平面AEF的距离，进而得出点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍，从而找出结论正确的选项。
11．【答案】B,C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意：，根据椭圆的定义可知，，则的最大值为5，根据椭圆的性质可知：当轴时，最小，此时最大，如图：
将代入椭圆方程得：，则.
所以短轴长为，A不符合题意；此时，B符合题意；，C符合题意；
对D，设，，代入椭圆方程得：，则，
所以，记，于是，由对勾函数的图象和性质可知：函数在上是增函数，则函数在上是减函数.于是，当u=1，即t=0时，面积最大值为3，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】由题意得出a的值，根据椭圆的定义可知，进而得出的最大值为5，根据椭圆的性质可知：当轴时，最小，此时最大，将代入椭圆方程得：，再利用两点距离公式得出b，c的值，进而得出短轴长；再利用几何法得出此时；再结合椭圆的离心率公式得出双曲线的离心率； 设，，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合韦达定理得出，进而得出，记，再利用三角形的面积公式得出，由对勾函数的图象和性质可知：函数在上的单调性和在上的单调性，再利用单调性求出函数的最值，进而得出三角形面积最大值，进而找出说法正确的选项。
12．【答案】A,C,D
【知识点】棱柱的结构特征；三角形中的几何计算
【解析】【解答】在正方体中，取的中点F，连接，而E为的中点，则，
取的中点T，Q，连接，有，平面平面，
则平面，连交分别于点，连BD交AC，TQ分别于，连交于，如图，
显然，又，则四边形是平行四边形，即，
平面，平面，有平面，而平面，
于是得平面平面，并且四边形与四边形面积相等，
当点P从D点向的移动过程中，点P在线段（不含端点）上时，截面与射线相交，
当交点在线段（不含点D）时，截面为三角形，并且逐渐变大，当交点在线段的延长线上时，
截面还与平面相交，截面为四边形，并且逐渐变大，当点P在线段（不含端点）上时，
截面与正方体的六个面相交，截面为六边形，并且先逐渐增大，截面经过的中点时截面面积最大，之后逐渐减小，
当点P在线段（不含点）时，截面由四边形变形为三角形，并且逐渐减小，
因此，截面不可能为五边形，A，C符合题意；
，，
即，两边与两边分别平行的截面六边形顶角不等于，因此截面六边形不是正六边形，B不正确；
令过中点的截面为六边形，有，令，连ON，
有，，又分别为等腰梯形两底的中点，
即有，有，N为GH中点，O为KL中点，连HK，GL，即四边形为矩形，点分别为棱中点，
，等腰底边上的高，
所以最大截面面积，D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】在正方体中，取的中点F，连接，而E为的中点，再利用中点作中位线的方法和中位线的性质，则，取的中点T，Q，连接，再利用中点作中位线的方法和中位线的性质，则，再利用线线平行证出线面平行，则平面，连交分别于点，连BD交AC，TQ分别于，连交于，再利用中点的性质得出，再利用，则四边形是平行四边形，即，再利用线线平行证出线面平行，所以平面，再利用线面平行证出面面平行，所以平面平面，并且四边形与四边形面积相等，再利用分类讨论的方法得出当交点在线段（不含点D）时，截面为三角形，并且逐渐变大，当点P在线段（不含端点）上时，截面与正方体的六个面相交，截面为六边形，并且先逐渐增大，截面经过的中点时截面面积最大，之后逐渐减小，当点P在线段（不含点）时，截面由四边形变形为三角形，并且逐渐减小，因此，截面不可能为五边形；再利用勾股定理和余弦定理得出两边与两边分别平行的截面六边形顶角不等于，因此截面六边形不是正六边形；令过中点的截面为六边形，连ON，再结合中点作中位线的方法和中位线的性质，则，再利用勾股定理得出ON的长，再利用分别为等腰梯形两底的中点，则，再利用中点的性质和矩形的结构特征和几何法得出等腰底边上的高，再利用几何法和四边形的面积公式和三角形的面积公式以及求和法得出最大截面面积，进而找出正确的选项。
13．【答案】25
【知识点】两条直线的交点坐标；恒过定点的直线
【解析】【解答】直线，整理成，则，即，直线，整理成，则，即，又，过定点的动直线和过定点的动直线始终垂直，为两条垂直直线的交点，则有，所以。
故答案为：25。
【分析】将直线，整理成，则，进而得出点A的坐标，将直线，整理成，则，进而得出点B的坐标，再利用，过定点的动直线和过定点的动直线始终垂直，为两条垂直直线的交点，则有，再利用勾股定理得出所以的值。
14．【答案】3x-2y+11=0或3x-2y-5=0
【知识点】直线的一般式方程；两条平行直线间的距离
【解析】【解答】设直线的方程为，由平行线间的距离公式可得，
或，直线的方程为3x-2y+11=0或3x-2y-5=0。
故答案为：3x-2y+11=0或或3x-2y-5=0。
【分析】利用已知条件结合两平行直线求距离公式得出c的值，进而得出直线 的方程。
15．【答案】2
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】圆的圆心为，半径为1，依题意，直线过圆心，即有，即，而，
因此，当且仅当时取等号，所以的最小值为2。
故答案为：2。
【分析】利用圆得出圆心坐标和半径长，依题意，直线过圆心，再结合代入法得出，而，再利用均值不等式变形求最值的方法得出的最小值。
16．【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；图形的对称性；余弦定理
【解析】【解答】在正方体的右侧拼接一个等大的正方体，连接，如图，
连BF，有，连，由平面，平面，得，
又，则有平面平面，即有，
同理，而平面，因此平面，
则点关于平面的对称点在直线上，连交平面于点P，连接，有，
于是得光线从M点出发，经平面反射后恰好经过点的路径是，
令点到平面的距离为h，而是正三角形，，，在三棱锥中，
由得：，即，解得，于是得，
连接，则有，而，，
在与中，，
因此，解得，即，
所以光线从点M到点所经过的路程。
故答案为：。
【分析】在正方体的右侧拼接一个等大的正方体，连接，连BF，有，连，由平面结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用结合线线垂直证出线面垂直，则平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，则，同理，再结合线线垂直证出线面垂直，因此平面，则点关于平面的对称点在直线上，连交平面于点P，连接，有，于是得光线从M点出发，经平面反射后恰好经过点的路径是，令点到平面的距离为h，而三角形是正三角形，再结合三角形的面积公式得出的值，在三棱锥中，由结合三棱锥的体积公式和中点的性质，进而得出的长，连接，再结合勾股定理和余弦定理得出的长，再结合几何法和求和法得出光线从点M到点所经过的路程。
17．【答案】（1）解：设，则 ， 解得，∴，
由 得，
，即
（2）解：当斜率不存在时，，不满足题意；
当斜率存在时，设，即，
依题意得： ，
有或，
解得或 ，
直线l的方程为：或 ，
即：或.
【知识点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；直线的一般式方程；点到直线的距离公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件，联立两直线方程求出交点坐标，进而得出点C的坐标，再结合两点求斜率公式和两直线垂直斜率之积等于-1，进而得出直线CH的斜率，再结合点斜式求出直线CH的方程，再转化为直线的一般式方程。
（2） 当斜率不存在时，，不满足题意；当斜率存在时，设直线，即，再利用已知条件结合点到直线的距离公式得出直线的斜率，从而得出直线的点斜式方程，再转化为直线l的一般式方程。
18．【答案】（1）证明：取PB的中点N，连结MN，AN，MO，
M、N为PC、PB的中点 且
又 菱形ABCD，O为AD中点， 且
且， 四边形为平行四边形
，又平面，平面
平面
（2）解：连结PO、OC，又 菱形 ，
又平面平面，平面平面，平面
平面， 为正三角形， 且
如图建立以O为原点，OA、OC、OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则P（0，0，），A（1，0，0），B（2，，0），M（0，，）
设平面PAB的法向量为，
则，取且
M到平面的距离
即点M到平面PAB的距离为
【知识点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1） 取PB的中点N，连结MN，AN，MO，利用M、N为PC、PB的中点结合中点作中位线的方法和中位线的性质，所以且，再利用菱形ABCD，O为AD中点结合中点作中位线的方法和中位线的性质，所以且，再利用平行的传递性和相等的传递性，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，再利用线线平行证出线面平行，从而证出直线平面。
（2） 连结PO、OC，再利用菱形 ，所以，再利用平面平面结合面面垂直证出线面垂直，所以直线平面，再利用三角形为正三角形，所以且，再利用已知条件，建立以O为原点，OA、OC、OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求出点M到平面PAB的距离。
19．【答案】（1）解：依题意得：，由解得
∴圆C的方程为
（2）解：设M关于直线的对称点为，
由，
设过与圆C相切的直线为l，
当斜率不存在时，l：x=3，圆心到直线距离d=3-1=r符合条件；
当斜率存在时，设l： 即
圆心到直线的距离 ，解得，
则直线l的方程为： ，即：
所以反射光线所在直线为：或 .
【知识点】直线的一般式方程；圆的标准方程
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合代入法和弦长公式和勾股定理，进而结合a和r的取值范围，进而得出a，b，r的值，从而得出圆的标准方程。
（2） 设M关于直线的对称点为，再利用中点坐标公式和两直线垂直斜率之积的等于-1，进而得出点的坐标，设过与圆C相切的直线为l，再利用分类讨论的方法结合点到直线的距离公式得出直线的斜率，从而得出反射光线所在直线方程。
20．【答案】（1）证明：在直三棱柱中，侧面为正方形，则，，而，
即有，又平面，因此平面，
而平面，则，显然，
以B为原点，BA、BC、所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
则，设，即，
有，即有，
所以.
（2）解：设平面DEF的法向量为，由（1）知，，
则，令，得，而，
设直线AB与平面DFE所成的角为，则，
显然当时，，
所以当时，直线AB与平面DFE所成角的正弦值最大.
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；数量积的坐标表达式；数量积表示两个向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1） 在直三棱柱中，侧面为正方形，则，，而，即有，再利用线线垂直证出线面垂直，因此平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，则，显然，以B为原点，BA、BC、所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，从 而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再结合数量积的坐标表示和数量积为0两向量垂直的等价关系，进而证出。
（2） 由（1）知，，再结合平面的法向量求解方法得出平面DEF的法向量，再利用结合数量积求向量夹角公式和诱导公式得出，再利用二次函数的图象求最值的方法得出当时，直线AB与平面DFE所成角的正弦值的最大值。
21．【答案】（1）解：如图：以点为原点建立坐标系，则台风正以20公里/小时的速度沿直线 移动，设经过小时台风到达点，则，，
依题意得：即，
整理得：，
所以（小时），
经过20小时A市受到台风影响，影响时间为20小时.
（2）解：依题意得：，
整理得：，解得，
所以（小时），
台风B影响A市的时间为小时.
【知识点】一元二次不等式的解法；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1） 以点为原点建立坐标系，则台风正以20公里/小时的速度沿直线 移动，设经过小时台风到达点，则，，依题意得：，再利用两点距离公式得出，再结合一元二次不等式求解方法和作差法得出经过20小时A市受到台风影响，影响时间为20小时。
（2） 依题意得：，整理得：，再利用一元二次不等式求解方法和作差法，进而得出台风B影响A市的时间为小时。
22．【答案】（1）解：由椭圆的对称性知，，必在椭圆上，则不在椭圆上，有在椭圆上，
因此，解得，
所以椭圆C的方程为.
（2）解：当直线l的斜率不存在时，设，则点，
因，则，解得，即原点O到直线l的距离为，
当直线l的斜率存在时，设直线，，
由消去y并整理得：，
有，，，
因，则
，整理得，满足，
原点O到直线l的距离，
综上得：原点O到直线l的距离恒为，即直线l与圆相切，
所以直线l与定圆相切，.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 由椭圆的对称性知，，必在椭圆上，则不在椭圆上，有在椭圆上，再利用代入法得出a，b的值，从而得出椭圆C的标准方程。
（2） 当直线l的斜率不存在时，设直线，则点，再利用，则，从而得出原点O到直线l的距离；当直线l的斜率存在时，设直线，，由结合判别式法得出和，，再利用结合两向量垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积的坐标表示得出，满足，再利用点到直线的距离公式得出原点O到直线l的距离，所以原点O到直线l的距离恒为，即直线l与圆相切，进而证出直线l与定圆相切，进而得出的值。
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